2020届高考数学一轮复习（文·新人教A版）单元检测六数列提升卷单元检测 7页

单元检测六　数　列(提升卷)‎ 考生注意：‎ ‎1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．‎ ‎2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．‎ ‎3．本次考试时间100分钟，满分130分．‎ ‎4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．‎ 第Ⅰ卷(选择题　共60分)‎ 一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，若S21＝63，则a7＋a11＋a15等于(　　)‎ A．6B．9C．12D．15‎ 答案　B 解析　设数列{an}的公差为d，则由S21＝63，得21a1＋210d＝63，即a1＋10d＝3，所以a7＋a11＋a15＝3a1＋30d＝3(a1＋10d)＝9，故选B.‎ ‎2．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则数列{log2an}的前12项和为(　　)‎ A．66B．55C．45D．65‎ 答案　A 解析　由题得an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，又a1＝S1＝1也满足an＝2n－1，所以an＝2n－1(n∈N*)，则log2an＝n－1，所以数列{log2an}的前12项和为×12＝66.故选A.‎ ‎3．已知{an}为递增的等比数列，且a2a5＝128，＋＝，则an等于(　　)‎ A．2nB．2nC.nD. 答案　A 解析　设数列{an}的公比为q，‎ 则 又{an}递增，‎ 解得即 所以an＝2n(n∈N*)，故选A.‎ ‎4．已知数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn，若a<0，则(　　)‎ A．nan≤na1≤Sn B．Sn≤na1≤nan C．na1≤Sn≤nan D．nan≤Sn≤na1‎ 答案　D 解析　由Sn知{an}为公差d<0的等差数列，‎ ‎∴{an}为递减数列，∴nan≤Sn≤na1.‎ ‎5．已知在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n＋1，则数列的前n项和为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　由an＋1＝an＋n＋1，得an＋1－an＝n＋1，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋n－1＋…＋2＋1＝，故＝，故数列的前n项和为(2＋3＋…＋n＋1)＝，故选D.‎ ‎6．已知数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且满足a1 010＋a1 011＝π，b6·b9＝2，则tan等于(　　)‎ A．1B．－1C.D. 答案　D 解析　由题意得tan＝tan ‎＝tan＝，故选D.‎ ‎7．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1,2Sn＝an＋1－1，则数列{an}的通项公式为(　　)‎ A．an＝3n B．an＝3n－1‎ C．an＝2n D．an＝2n－1‎ 答案　B 解析　因为2Sn＝an＋1－1，所以2a1＝a2－1，又a1＝1，所以a2＝3.由题知当n≥2时，2Sn－1＝an－1，所以2an＝an＋1－an，易知an≠0，所以＝3(n≥2)，当n＝1时，也符合此式，所以{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，所以an＝3n－1(n∈N*)，故选B.‎ ‎8．已知数列{an}中，a1＝，且对任意的n∈N*，都有an＋1＝成立，则a2 020的值为(　　)‎ A．1B.C.D. 答案　C 解析　由题得a1＝；a2＝＝；a3＝＝；a4＝＝，数列{an}为周期数列，且a1＝a3＝a5＝…＝a2n－1＝(n∈N*)，a2＝a4＝a6＝…＝a2n＝(n∈N*)，所以a2 020＝，故选C.‎ ‎9．已知数列{an}的通项公式为an＝n3－n2＋24(n∈N*)，则当an取得最小值时，n等于(　　)‎ A．5B．6C．7D．8‎ 答案　C 解析　令f(x)＝x3－x2＋24(x≥1)，则f′(x)＝3x2－21x＝3x(x－7)．在区间(1,7)内，f′(x)<0；在区间(7，＋∞)内，f′(x)>0.故当x＝7时，f(x)取得最小值，即n＝7时，an取得最小值，故选C.‎ ‎10．设数列{an}满足a1＝，且对任意的n∈N*，都有an＋2－an≤3n，an＋4－an≥10×3n，则a2 021等于(　　)‎ A. B.＋2‎ C. D.＋2‎ 答案　A 解析　因为对任意的n∈N*，满足an＋2－an≤3n，an＋4－an≥10×3n，所以10×3n≤(an＋4－an＋2)＋(an＋2－an)≤3n＋2＋3n＝10×3n，所以an＋4－an＝10×3n.因为a2 021＝(a2 021－a2 017)＋(a2 017－a2 013)＋…＋(a5－a1)＋a1＝10×(32017＋32013＋…＋3)＋＝10×＋＝.‎ ‎11．记f(n)为最接近(n∈N*)的整数，如：f(1)＝1，f(2)＝1，f(3)＝2，f(4)＝2，f(5)＝2，….若＋＋＋…＋＝4038，则正整数m的值为(　　)‎ A．2018×2019 B．20192‎ C．2019×2020 D．2020×2021‎ 答案　C 解析　设x，n∈N*，f(x)＝n，则n－<0，且λa1an＝S1＋Sn对一切正整数n都成立，则数列{an}的通项公式为(　　)‎ A.B.C.D. 答案　A 解析　令n＝1，则λa＝2S1＝2a1，即a1(λa1－2)＝0，因为a1≠0，所以a1＝，所以2an＝＋Sn，①‎ 当n≥2时，2an－1＝＋Sn－1，②‎ ‎①－②，得2an－2an－1＝an，即an＝2an－1(n≥2)，所以{an}是以为首项，2为公比的等比数列，所以an＝×2n－1＝(n∈N*)，故选A.‎ 第Ⅱ卷(非选择题　共70分)‎ 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)‎ ‎13．已知等差数列{an}的前9项和等于前4项和，若ak＋a4＝0，则k＝________.‎ 答案　10‎ 解析　由S9－S4＝0，得a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0，故a7＝0，由ak＋a4＝0＝2a7，得k＋4＝14，所以k＝10.‎ ‎14．已知正项等比数列{an}满足a6＝a5＋2a4，若存在两项am，an，使得＝2a1，则＋的最小值为________．‎ 答案　 解析　设数列{an}的公比为q(q>0)，则由a6＝a5＋2a4，可得q＝2或q＝－1(舍去)，又＝2a1，∴m＋n＝4，又∵m，n∈N*，经验证m＝1，n＝3时，min＝.‎ ‎15．已知数列{an}满足a1＝2，且＋＋＋…＋＝an－2(n≥2)，则{an}的通项公式为______________．‎ 答案　an＝n＋1‎ 解析　因为＋＋＋…＋＝an－2(n≥2)，①‎ 所以＋＋＋…＋＋＝an＋1－2(n≥2)，②‎ ‎②－①，得＝(an＋1－2)－(an－2)＝an＋1－an(n≥2)，整理得＝(n≥2)，‎ 又a1＝2，且＝a2－2，所以a2＝3，则···…··＝×××…××，整理得＝，所以an＝n＋1(n∈N*)(经检验n＝1也符合)．‎ ‎16．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品的销售价格，即根据商品的最低销售限价a、最高销售限价b(b>a)以及常数x(00，‎ 则由a1＝2，a3＝a2＋4，得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，‎ 解得q＝2.‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝2·2n－1＝2n，n∈N*.‎ ‎(2)由题意得Sn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)＝＋n×1＋×2＝2n＋1＋n2－2.‎ ‎18．(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足3Sn＝4an－2(n∈N*)．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝logan，求数列的前n项和Tn.‎ 解　(1)当n≥2时，3Sn＝4an－2，①‎ ‎3Sn－1＝4an－1－2，②‎ ‎①－②得3an＝4(an－an－1)，‎ 所以an＝4an－1，即＝4.‎ 又3S1＝4a1－2，所以a1＝2，‎ 所以数列{an}是以2为首项，4为公比的等比数列，所以an＝2×4n－1＝22n－1(n∈N*)．‎ ‎(2)因为bn＝logan＝log22n－1＝1－2n，‎ 所以＝ ‎＝，‎ 所以Tn＝＝＝(n∈N*)．‎ ‎19．(13分)已知数列{an}满足an≠0，a1＝1，n(an＋1－2an)＝2an.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)求数列的前n项和Sn.‎ 解　(1)因为n(an＋1－2an)＝2an，故an＋1＝an，‎ 得＝2·.‎ 设bn＝，所以bn＋1＝2bn.‎ 因为an≠0，所以bn≠0，所以＝2.‎ 又因为b1＝＝1，所以数列{bn}是以1为首项，公比为2的等比数列，‎ 故bn＝2n－1＝，an＝n·2n－1(n∈N*)．‎ ‎(2)由(1)可知＋3n－5＝2n－1＋3n－5，‎ 故Sn＝(20＋3×1－5)＋(21＋3×2－5)＋…＋(2n－1＋3n－5)＝(20＋21＋…＋2n－1)＋3(1＋2＋…＋n)－5n＝2n＋－1.‎ ‎20．(13分)已知函数f(x)＝的图象过原点，且关于点(－1,2)成中心对称．‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝f(an)，试证明数列为等比数列，并求出数列{an}的通项公式．‎ 解　(1)∵f(0)＝0，∴c＝0.‎ ‎∵f(x)＝的图象关于点(－1,2)成中心对称，‎ ‎∴f(x)＋f(－2－x)＝4，即＋＝4，‎ 解得b＝2.‎ ‎∴f(x)＝.‎ ‎(2)∵an＋1＝f(an)＝，‎ ‎∴当n≥2时，＝·＝·＝·＝2.‎ 又＝2≠0，‎ ‎∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，‎ ‎∴＝2n，∴an＝(n∈N*)．‎