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- 2021-06-09 发布
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四川省2020届高三数学理一轮复习典型题专项训练
导数及其应用
一、选择、填空题
1、(达州市2019届高三第一次诊断性测试)若是上的减函数,则实数的取值范围是
A. B. C. D.
2、(绵阳市2019届高三第一次(11月)诊断性考试)设是函数的导函数,且,(为自然对数的底数),则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
3、(绵阳市2019届高三第一次(11月)诊断性考试)若直线与函数的图像相切,则的值为 .2
4、(泸州市2019届高三第二次教学质量诊断性考试)已知函数f(x)=(ex﹣a)(x+a2)(a∈R),则满足f(x)≥0恒成立的a的取值个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
5、(绵阳市2019届高三第二次(1月)诊断性考试)函数在
(一∞,十∞)上单调递增,则实数a的范围是
A. {1} B. (-1,1) C. (0. 1) D. {-1,1}
6、(南充市2019届高三第二次诊断考试)设过曲线f(x)= -ex -x(e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1,总存在曲线g(x)=ax+2cosx 上一点处的切线l2,使得l1⊥l2,则实数a 的取值范围为 6、[-1,2]
7、(攀枝花市2019届高三第一次统一考试)曲线在点处的切线与直线垂直,则实数 . 7、1
8、(遂宁市2019届高三第三次诊断性考)已知函数,若,,,,,则实数的最小值为
A. B. C. D.
9、(遂宁市2019届高三第三次诊断性考)曲线在点处的切线的斜率为 ▲ 9、
10、(自贡市2019届高三上学期第一次诊断性考试)函数存在唯一的零点,且,则实数的取值范围是 . 10、
11、曲线在点处的切线的斜率为,则________.11、
12、已知为偶函数,当时,,则曲线在点处的切线方程是_______________。 12、
13、(达州市2017届高三第一次诊断)曲线在处的切线的倾斜角为,则的值为( )
A. B. C. D.
14、(遂宁市2018届高三第一次诊断)若且函数在处有极值,则的最大值等于
A.121 B.144 C.72 D.80
15、(遂宁市2018届高三三诊考试)设函数是定义在上的可导函数,其导函数为,且有,则不等式的解集为
A. B. C. D.
参考答案:
1、D 2、C 3、2 4、B 5、A
6、[-1,2] 7、1 8、A 9、 10、
11、 12、
13、A 14、C 15、B
二、解答题
1、(成都市2019届高三第一次(12月)诊断性检测)已知函数.
(I)当时,讨论函数的单调性;
(II)当时,若关于x的不等式恒成立,求实数b的取值范围.
2、(达州市2019届高三第一次诊断性测试)已知>0,函数.
(1)求证:;
(2)讨论函数零点个数;
3、(绵阳市2019届高三第一次(11月)诊断性考试)设函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若函数在区间上的最小值是4,求的值.
4、(遂宁市2019届高三零诊)已知函数
(1)当,时,有在上有解,求实数的取值范围;
(2)若,,是否存在整数,使得函数在区间上存在极小值?若存在,求出所有整数的值;若不存在,请说明理由.
5、(成都市2019届高三第二次诊断)已知函数,a∈R。
(I)若f(x)≥0,求实数a取值的集合;
(Ⅱ)证明:。
6、(树德中学2019届高三11月阶段性测试)已知函数。
(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;
(Ⅱ)当时,设函数,若存在区间,使得函数在上的值域为,求实数的取值范围。
7、(广元市2019届高三第二次高考适应性统考)已知函数f(x)=.
(Ⅰ)若m∈(-2,2)时,求函数y=f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若m∈(0,],则当x∈[1,m+1]时,记f(x)
的最小值为M,g(x)=x的最大值为N,判断M与N的大小关系,并写出判断过程。
8、(泸州市2019届高三第二次教学质量诊断性考试)已知函数f(x)=lnx﹣ex+a.
(Ⅰ)若曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴正半轴有公共点,求a的取值范围;
(Ⅱ)求证:a>1﹣时,f(x)<﹣e﹣1.
9、(绵阳市2019届高三第二次(1月)诊断性考试) 己知函数.
(1)若f(x)有两个极值点,求实数m的取值范围:
(2)若函数有且只有三个不同的零点,分别记为x1,x2,x3,
设x1<x2<x3,且的最大值是e2,求x1x3的最大值.
10、(南充市2019届高三第二次诊断考试)已知函数f(x)=ax﹣ln(﹣x),x∈[﹣e,0),其中e为自然对数的底数.
(1)(1)当=-1 时,证明:f(x)+ .
(2)是否存在实数a,使f(x)的最小值为3,如果存在,求出a 的值;如果不存在,请说明理由.
11、(南充市2019届高三上学期第一次高考适应性考试)已知函数.
(1)若,求的单调区间;
(2)设函数,求证:.
12、(攀枝花市2019届高三第一次统一考试)已知函数,(其中为自然对数的底数).
(Ⅰ)若对所有的恒成立,求实数的取值范围;
(Ⅱ)求最大的整数,使在上为单调递增函数.
13、(遂宁市2019届高三第三次诊断性考)已知函数,
(1)设曲线在处的切线的斜率为,且。求的值;
(2)当时.
①求的单调区间;
②求证:.
14、(棠湖中学2019届高三4月月考)已知函数.
(Ⅰ)讨论函数的单调性;
(Ⅱ)若对恒成立,求的取值范围.
15、(宜宾市2019届高三第二次诊断性考试)已知函数.
(1)当时,判断有没有极值点?若有,求出它的极值点;若没有,请说明理由;
(2)若,求的取值范围.
16、(自贡市2019届高三上学期第一次诊断性考试)已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)若有极值,对任意的,当,存在使,证明:
参考答案:
1、
2、
3、(I).
当时,,在上单调递增;
当时,解得,由解得.
综上所述:当时,函数在上单调递增;
当时,函数在上单调递增,
函数在上单调递减.
(II)由(I)知,当当时,函数在上单调递增,
∴函数在上的最小值为,
即,矛盾.
当时,由(I)得是函数在上的极小值点.
当即时,函数在上单调递增,
则函数的最小值为,即,符合条件.
②当即时,函数在上单调递减,
则函数的最小值为即,矛盾.
③当即时,函数在上单调递减,函数在上单调递增,
则函数的最小值为即.
令(),则,
∴在上单调递减,
而,
∴在上没有零点,
即当时,方程无解.
综上,实数的值为.
4、解析:(1)由,有,, ……2分
∴ ,又,
由可得,
设,则,
∵,∴,则在上是减函数,
∴,
∵在上有解,即在上有解,
∴,故实数的取值范围为 ……5分
(2),
∴, ……6分
①当时,,单调递增,无极值; ……7分
②当时,若或,则;
若,则,
∴当时,有极小值.
在上有极小值,∴,此时整数; ……9分
③当时,若或,则;
若,则,
∴当时,有极小值.
在上有极小值,
∴,即,此时整数不存在. ……11分
综上,存在整数,使得函数在区间上存在极小值.…12分
5、
6、解:(Ⅰ)当时,函数导数为
·············· 2分
若时,,单调递减
若时,,当或时,,当时,,
即函数在区间上单调递减,在区间上单调递增。
若时,,当或时,,当时,,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增。
综上,若时,函数的减区间为,无增区间
若时,函数的减区间为,增区间为
若时,函数的减区间为,增区间为
············· 5分
(Ⅱ)当时,设函数
令,
当时,,为增函数,,为增函数,在区间上递增, ∵在[m,n]上的值域是,
所以在上至少有两个不同的正根,
,令 ··········· 8分
求导得,
令
则
所以在递增,,
当,,当,,
所以在上递减,在上递增,
∴,∴. ········· 12分
7、
8、
9、解:(1)由题意得,x>0.
由题知=0有两个不等的实数根,
即有两个不等的实数根. ……………………………………………2分
令,则.
由>0,解得,故在(0,e)上单调递增;
由<0,解得x>e,故在(e,+∞)上单调递减;
故在x=e处取得极大值,且,
结合图形可得.
∴当函数f(x)有两个极值点时,实数m的取值范围是(0,). …………5分
(2)因为g(x)=xlnx-mx2-elnx+mex=(x-e)(lnx-mx),
显然x=e是其零点.
由(1)知lnx-mx=0的两个根分别在(0,e),(e,+∞)上,
∴ g(x)的三个不同的零点分别是x1,e,x3,且0e. …………6分
令,则t∈.
则由 解得
故,t∈. …………………………8分
令,则.
令,则.
所以在区间上单调递增,即>. …………………11分
所以,即在区间上单调递增,
即≤=,
所以,即x1x3≤.
所以x1x3的最大值为. ……………………………………………12分
10、
11、解:(1)当时,()
,
令,则,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增.
所以
所以在单调递增.
(2)证明:,当时,
所以
由此得
故()
12、解:(Ⅰ)不等式为,令
令,,所以在上单调递减,, 即,所以在上单调递增,则
所以.………………………4分
(Ⅱ)对一切恒成立,
令,,
所以为上的增函数,又,,所以在上存在唯一的零点,令为,则………………………7分
由(Ⅰ)知当时,
所以,………………………9分
在(Ⅰ)中令得当时,,所以
…………………11分
所以
所以最大的整数为14.………………………12分
13、【解析】:(1)因为, ……………………1分
则,所以,由得,即,解得或
……………………4分
(2)①因为当时,,所以,令,则, ……………………5分
当时,;
当时,;
所以函数的单调递增区间为;单调递减区间为;
……………………7分
②证明:(法一)因为当时,
设。则只需证明
,又设,则,所以在上单调递增,因为,,所以存在,使得,且当时,,当时,;所以当时,,单调递减;当时,,单调递增;所以,由,得,所以,设,
,,所以当时,,在单调递减,所以,因此,即得证。 ……………………12分
(法二)因为当时,
先证当时,,即证
设,则,又令,且,而,所以在上单调递增,,所以在上单调递增,则当时,
(也可直接分析
显然成立)
……………………10分
再证当时,
设,则,令,解得,且当时,,单调递减;当时,,单调递增;所以,即
又,所以成立,
即得证。
……………………12分
14、解:(1),.................1分
当时,,∴在上单调递增.
当时,,故当或时,在上单调递增.
当时,令,得或;
令,得..................3分
∴在上单调递减,在,上单调递增..................5分
(2)设,则,
当时,,或,,则,
∴在上递增,从而.
此时,在上恒成立.
若,令,当时,;
当时,.
∴,则不合题意.
故的取值范围为..................12分
15、解:定义域为 ……………..…………1分
⑴当时, ……………..…………2分
令,则,
① 当时,,为减函数,,
,无极值点
②当时,,为增函数,,
,无极值点
综上,当时, 没有极值点 ……………..…………4分
⑵ 法一:由,得
令则……………..…………5分
①当时,时;时,
成立. 合题意. ……………..…………7分
②当时,
当时,为减函数,成立
当时,为减函数,成立
合题意. ……………..…………9分
③当时,由得,
设两根为
由得,解集为
在上为增函数,
,不合题意; ……………..…………11分
综上,的取值范围是 ……………..…………12分
16、解:(1)的定义域为,
.
理科①若,则,所以 在上是单调递增.
②若,当时,,单调递增.
当时,,单调递减.
(2) 由(1)当时,存在极值.
由题设得.
又,……5分
设.则.
令,则
所以在上是增函数,所以
又,所以,
因此
即
又由知在上是减函数,
所以,即.