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  • 2021-06-09 发布

高考理科数学复习练习作业27

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题组层级快练(二十七)‎ ‎1.(2016·天津)在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,则AC=(  )‎ A.1           B.2‎ C.3 D.4‎ 答案 A 解析 设△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则a=3,c=,∠C=120°,由余弦定理得13=9+b2+3b,解得b=1,即AC=1.‎ ‎2.(2017·安徽合肥模拟)在△ABC中,A=60°,AB=2,且△ABC的面积为,则BC的长为(  )‎ A. B. C.2 D.2‎ 答案 B 解析 因为S=AB·ACsinA=×2×AC=,所以AC=1,‎ 所以BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos60°=3.所以BC=.‎ ‎3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2A+cos2B=2cos2C,则cosC的最小值为(  )‎ A. B. C. D.- 答案 C 解析 由cos2A+cos2B=2cos2C,得1-2sin2A+1-2sin2B=2(1-2sin2C),‎ 即sin2A+sin2B=2sin2C,由正弦定理可得a2+b2=2c2.由余弦定理可得c2+2abcosC=2c2,所以cosC==≥=,所以cosC的最小值为,故选C.‎ ‎4.(2016·山东)△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sinA).则A=(  )‎ A. B. C. D. 答案 C 解析 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=2b2-2b2cosA,所以2b2(1-sinA)=2b2(1-cosA),‎ 所以sinA=cosA,即tanA=1,又0b,∴C=60°或C=120°.∴A=90°或A=30°.‎ ‎∴S△ABC=bcsinA=或.‎ ‎12.(2015·重庆,文)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,‎ cosC=-,3sinA=2sinB,则c=________.‎ 答案 4‎ 解析 由3sinA=2sinB及正弦定理,得3a=2b,所以b=a=3.由余弦定理cosC=,得-=,解得c=4.‎ ‎13.(2017·河北唐山一模)在△ABC中,角A,B,C的对边a,b,c成等差数列,且A-C=90°,则cosB=________.‎ 答案  解析 ∵a,b,c成等差数列,∴2b=a+c.∴2sinB=sinA+sinC.‎ ‎∵A-C=90°,∴2sinB=sin(90°+C)+sinC.‎ ‎∴2sinB=cosC+sinC.∴2sinB=sin(C+45°). ①‎ ‎∵A+B+C=180°且A-C=90°,∴C=45°-,‎ 代入①式中,2sinB=sin(90°-).‎ ‎∴2sinB=cos.∴4sincos=cos.∴sin=.∴cosB=1-2sin2=1-=.‎ ‎14.对于△ABC,有如下命题:①若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形;②若sinA=cosB,则△ABC为直角三角形;③若sin2A+sin2B+cos2C<1,则△ABC为钝角三角形.其中正确命题的序号是________.(把你认为所有正确的都填上)‎ 答案 ③‎ 解析 ①sin2A=sin2B,∴A=B⇒△ABC是等腰三角形,或2A+2B=π⇒A+B=,即△ABC是直角三角形.故①不对.‎ ‎②sinA=cosB,∴A-B=或A+B=.∴△ABC不一定是直角三角形.‎ ‎③sin2A+sin2B<1-cos2C=sin2C,∴a2+b2a,∴B=60°或120°.‎ 若B=60°,C=90°,∴c==2.若B=120°,C=30°,∴a=c=.‎ ‎3.在△ABC中,AC=,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于(  )‎ A. B. C. D. 答案 B 解析 由余弦定理,得()2=22+AB2-2×2ABcos60°,即AB2-2AB-3=0,得AB=3.故BC边上的高是ABsin60°=.选B.‎ ‎4.(2017·北京西城期末)已知△ABC中,a=1,b=,B=45°,则A等于(  )‎ A.150° B.90°‎ C.60° D.30°‎ 答案 D 解析 由正弦定理,得=,得sinA=.‎ 又aa,c>b,即角C最大,所以a3+b3=a·a2+b·b20,则00.∴|m|=2sin.又∵|n|=2,‎ ‎∴cosθ===cos=.∴=,∴B=π.‎ ‎(2)由余弦定理,得 b2=a2+c2-2accosπ=a2+c2+ac=(a+c)2-ac≥(a+c)2-()2=(a+c)2,当且仅当a=c时,取等号.∴(a+c)2≤4,即a+c≤2.‎ 又a+c>b=,∴a+c∈(,2].‎ ‎11.如图所示,在△ABC中,∠B=,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,cos∠ADC=.‎ ‎(1)求sin∠BAD;‎ ‎(2)求BD,AC的长.‎ 答案 (1) (2)BD=3,AC=7‎ 解析 (1)在△ADC中,因为cos∠ADC=,所以sin∠ADC=.‎ 所以sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B)=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB ‎=×-×=.‎ ‎(2)在△ABD中,由正弦定理,得BD===3.‎ 在△ABC中,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB ‎=82+52-2×8×5×=49.‎ 所以AC=7.‎