高考理科数学复习练习作业27 10页

题组层级快练(二十七)‎ ‎1．(2016·天津)在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝(　　)‎ A．1　　　　　　　　　　 B．2‎ C．3 D．4‎ 答案　A 解析　设△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a＝3，c＝，∠C＝120°，由余弦定理得13＝9＋b2＋3b，解得b＝1，即AC＝1.‎ ‎2．(2017·安徽合肥模拟)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为(　　)‎ A. B. C．2 D．2‎ 答案　B 解析　因为S＝AB·ACsinA＝×2×AC＝，所以AC＝1，‎ 所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3.所以BC＝.‎ ‎3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2A＋cos2B＝2cos2C，则cosC的最小值为(　　)‎ A. B. C. D．－ 答案　C 解析　由cos2A＋cos2B＝2cos2C，得1－2sin2A＋1－2sin2B＝2(1－2sin2C)，‎ 即sin2A＋sin2B＝2sin2C，由正弦定理可得a2＋b2＝2c2.由余弦定理可得c2＋2abcosC＝2c2，所以cosC＝＝≥＝，所以cosC的最小值为，故选C.‎ ‎4．(2016·山东)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)．则A＝(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝2b2－2b2cosA，所以2b2(1－sinA)＝2b2(1－cosA)，‎ 所以sinA＝cosA，即tanA＝1，又0b，∴C＝60°或C＝120°.∴A＝90°或A＝30°.‎ ‎∴S△ABC＝bcsinA＝或.‎ ‎12．(2015·重庆，文)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，‎ cosC＝－，3sinA＝2sinB，则c＝________．‎ 答案　4‎ 解析　由3sinA＝2sinB及正弦定理，得3a＝2b，所以b＝a＝3.由余弦定理cosC＝，得－＝，解得c＝4.‎ ‎13．(2017·河北唐山一模)在△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且A－C＝90°，则cosB＝________．‎ 答案　 解析　∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.∴2sinB＝sinA＋sinC.‎ ‎∵A－C＝90°，∴2sinB＝sin(90°＋C)＋sinC.‎ ‎∴2sinB＝cosC＋sinC.∴2sinB＝sin(C＋45°)． ①‎ ‎∵A＋B＋C＝180°且A－C＝90°，∴C＝45°－，‎ 代入①式中，2sinB＝sin(90°－)．‎ ‎∴2sinB＝cos.∴4sincos＝cos.∴sin＝.∴cosB＝1－2sin2＝1－＝.‎ ‎14．对于△ABC，有如下命题：①若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形；②若sinA＝cosB，则△ABC为直角三角形；③若sin2A＋sin2B＋cos2C<1，则△ABC为钝角三角形．其中正确命题的序号是________．(把你认为所有正确的都填上)‎ 答案　③‎ 解析　①sin2A＝sin2B，∴A＝B⇒△ABC是等腰三角形，或2A＋2B＝π⇒A＋B＝，即△ABC是直角三角形．故①不对．‎ ‎②sinA＝cosB，∴A－B＝或A＋B＝.∴△ABC不一定是直角三角形．‎ ‎③sin2A＋sin2B<1－cos2C＝sin2C，∴a2＋b2a，∴B＝60°或120°.‎ 若B＝60°，C＝90°，∴c＝＝2.若B＝120°，C＝30°，∴a＝c＝.‎ ‎3．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　由余弦定理，得()2＝22＋AB2－2×2ABcos60°，即AB2－2AB－3＝0，得AB＝3.故BC边上的高是ABsin60°＝.选B.‎ ‎4．(2017·北京西城期末)已知△ABC中，a＝1，b＝，B＝45°，则A等于(　　)‎ A．150° B．90°‎ C．60° D．30°‎ 答案　D 解析　由正弦定理，得＝，得sinA＝.‎ 又aa，c>b，即角C最大，所以a3＋b3＝a·a2＋b·b20，则00.∴|m|＝2sin.又∵|n|＝2，‎ ‎∴cosθ＝＝＝cos＝.∴＝，∴B＝π.‎ ‎(2)由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2accosπ＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2－()2＝(a＋c)2，当且仅当a＝c时，取等号．∴(a＋c)2≤4，即a＋c≤2.‎ 又a＋c>b＝，∴a＋c∈(，2]．‎ ‎11.如图所示，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝.‎ ‎(1)求sin∠BAD；‎ ‎(2)求BD，AC的长．‎ 答案　(1)　(2)BD＝3，AC＝7‎ 解析　(1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝，所以sin∠ADC＝.‎ 所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB ‎＝×－×＝.‎ ‎(2)在△ABD中，由正弦定理，得BD＝＝＝3.‎ 在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB ‎＝82＋52－2×8×5×＝49.‎ 所以AC＝7.‎