数学理卷·2017届安徽省安庆市第十中学、安庆二中、桐城天成中学高三上学期期末联考（2017 10页

‎2016～2017学年度高三年级第一学期期末联考 数学（理科）试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1. 已知复数z满足（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2．用数学归纳法证明“”（）时，从 “”时，左边应增添的式子是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 已知函数的最小正周期是，若将其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象（ ）‎ A.关于点对称 B.关于直线对称 C.关于点对称 D.关于直线对称 ‎4. 下列说法错误的是（ ）‎ A.对于命题 B.的充分不必要条件 C.若命题为假命题，则p,q都是假命题 D.命题“若”的逆否命题为：“若”‎ ‎5．阅读下边的程序框图, 运行相应的程序, 则输出的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知在中，，点为边所在直线上的一个动点，则满足（ ）‎ A. 最大值为16 B.最小值为4 C.为定值8 D.与的位置有关 ‎7．已知函数有平行于轴的切线且切点在轴右侧，则的范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8. 点P（4，-2）与圆上任一点连线段的中点的轨迹方程是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎9. 等比数列的前n项和为，已知，且的等差中项为，则 （ ）‎ A.29 B.31 C.33 D.36‎ ‎10. 已知双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，P是双曲线上在第一象限内的点，直线，分别交双曲线C左、右支于另一点，则双曲线C的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11. 已知函数，且当时，‎ 时，函数与轴有交点，则实数a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎12．设D是函数定义域内的一个区间，若存在，使，则称 是的一个“次不动点”，也称在区间D上存在次不动点，若函数在区间[1,4]上存在次不动点，则实数的取值范围是(　　 )‎ A. B. C. D. ‎ 第II卷（非选择题）‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）‎ ‎13. 已知向量，，则的最大值为___________ ‎ ‎14．设实数x、y满足x+2xy-1=0，则x+y取值范围是 ‎ ‎15. 若函数满足且时，，函数，则实数在区间内零点的个数为 .‎ ‎16．如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的射影，给出下列结论：‎ ‎①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC；⑤．‎ 其中正确命题的序号是 ．‎ 三、解答题（70分）‎ ‎17. （本题满分12分）‎ 在中，角A，B,C的对边分别是且满足 ‎（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若的面积为为，求的值.‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 设数列，其前项和，为单调递增的等比数列，，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，数列的前项和，求证：.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图,四棱锥中，底面是矩形，⊥底面，点是的中点,点在边上移动.‎ ‎（Ⅰ）求证：无论点E在BC边的何处,都有；‎ ‎（Ⅱ）当为何值时，与平面所成角的大小为 ‎20.（本题满分12分）‎ 已知分别是椭圆：的两个焦点，是椭圆上一点，且成等差数列．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知动直线过椭圆右焦点，且与椭圆交于两点，试问轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎21.（本题满分12分）‎ 已知为坐标原点，为函数图像上一点，记直线的斜率．（Ⅰ）若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ 请考生在第22和第23题中任选一题作答，如果多做，则按第22题计分.‎ ‎22．（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(其中为参数)，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）若为曲线，的公共点，求直线的斜率；‎ ‎（Ⅱ）若分别为曲线，上的动点，当取最大值时，求的面积．‎ ‎23．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若存在满足，求的取值范围．‎ ‎2016～2017学年度高三年级第一学期期末联考 数学（理科）试题参考答案及评分标准 一、选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D B D C B C A A B B D D 二、填空题 ‎13．14. 15. 8 16．①②③⑤‎ 二、解答题 ‎17. 解：（1）∵，∴‎ ‎∴‎ ‎∵，∴‎ 又∵‎ ‎(2)，‎ ‎∴…………12分 ‎18. 解：(1)当时，，‎ 当时，，当时，也满足，∴，∵等比数列，∴，‎ ‎∴，又∵，‎ ‎∴或（舍去），‎ ‎∴（4分）；‎ ‎（2）由（1）可得：，∴‎ ‎，显然数列是递增数列，∴，即.(12分）‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ ‎(I)证明：建立如图所示空间直角坐标系，则P(0,0,1)，B(0,1,0)，‎ F(0，，)，D(，0,0)，‎ 设BE＝x(0≤x≤)，则E(x,1,0)，‎ ‎＝(x,1，－1)·(0，，)＝0，‎ ‎∴PE⊥AF. ‎ ‎(II)设平面PDE的法向量为m＝(p，q,1)，‎ 由，得m＝(，，1)．‎ 而＝(0,0,1)，依题意PA与平面PDE所成角为45°，‎ 所以sin45°＝＝，‎ ‎∴＝，‎ 得BE＝x＝－或BE＝x＝＋>(舍)．‎ 故BE＝－时，PA与平面PDE所成角为45°‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 解（1）成等差数列，所以.‎ 将，代入化简，得， 所以，由，解得，‎ 所以椭圆的标准方程为.………………4分 ‎（2）假设在轴上存在点，使得恒成立.‎ ‎①当直线的斜率不存在时，，，‎ 由于（，解得或；‎ ‎②当直线的斜率为0时，，则，解得，由①②可得.………………6分 下面证明时，恒成立.‎ 当直线的斜率为0时，结论成立；‎ 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为,‎ 由及得,‎ 所以.‎ ‎,‎ ‎.‎ 综上所述，在轴上存在点使得恒成立. ………………12分 ‎21. 解：(Ⅰ) 由题意 ‎…………………1分 当时，当时，‎ 在上单调递增，在上单调递减，‎ 故在处取得极大值…………………3分 ‎∵函数在区间上存在极值，‎ ‎∴得，即实数的取值范围是…………6分 ‎(Ⅱ)由得…………………8分 设,则 设,则 在上是增函数 在上是增函数 ‎…………………11分 的取值范围是…………………12分 ‎22.（本小题满分10分）‎ 解：（Ⅰ）消去参数得曲线的普通方程．…（1） ……1分 ‎ 将曲线化为直角坐标方程得（2）……3分 ‎ 由得，即为直线的方程，故直线的斜率为．5分 ‎ 注：也可先解出…1分，再求的斜率为． …1分 ‎ （Ⅱ）由知曲线是以为圆心，半径为1的圆；由知曲线是以为圆心，半径为2的圆．……6分 因为，所以当取最大值时，圆心在直线上，‎ 所以直线（即直线）的方程为：． ………7分 因为到直线的距离为， …………8分 又此时， …………9分 所以的面积为．……10分 ‎23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 解：（Ⅰ）当时，． 由得．‎ ‎ 当时，不等式等价于，解得，所以；…1分 ‎ 当时，不等式等价于，即，所以；…2分 ‎ 当时，不等式等价于，解得，所以．3分 ‎ 所以原不等式的解集为或．　…………5分 ‎（Ⅱ）．7分 ‎ 因为原命题等价于， …………9分 ‎ 所以，所以为所求实数的取值范围． ………10分