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- 2021-06-09 发布
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河南省郑州市第一中学2018届高三上学期第二次月考
数学(理)试题
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,,,则 ( )
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位,复数,则等于( )
A.2 B. C. D.0
3.执行如图所示的程序框图,如果输入,,则输出的的值为( )
A.12 B.6 C.3 D.0
4.已知,是定义在上连续函数,则“对一切成立”是“的最大值小于的最小值”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.如下左图所示的一个正三棱柱被平面截得的几何体,其中,,,,几何体的俯视图如下右图所示,则该几何体的正视图是( )
6.设,则的概率为( )
A. B. C. D.
7.设为锐角,且,,则( )
A.1 B.2 C. D.
8.若非零向量的夹角为锐角,且,则称被“同余”.已知被“同余”,则在上的投影是( )
A. B. C. D.
9.已知椭圆:与双曲线:的焦点重合,分别为的离心率,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
10.平面过正方体的面对角线,且平面平面,平面平面 ,则的正切值为( )
A. B. C. D.
11.已知点在曲线:上运动,给出以下命题:
:在轴上一定存在两个不同的定点,满足为定值;
:在轴上一定存在两个不同的定点,满足为定值;
:的最小值为1;
:的最大值为.
则下列命题为真命题的是( )
A. B. C. D.
12.( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知是任意实数,则关于的不等式的解集为 .
14.已知甲、乙、丙三人恰好都去过北京、上海中的某一个城市,三人分别给出了以下说法:
甲说:“我去过上海,乙也去过上海,丙去过北京.”
乙说:“我去过上海,甲说得不完全对.”
丙说:“我去过北京,乙说得对.”
已知甲、乙、丙三人中恰好有1人说得不对,则去过北京的是 .
15.已知函数,若存在满足,且,则的最小值为 .
16.在斜三角形中,为的中点,且,则的值是 .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.对于数列(),若存在,,,则称数列,分别为数列的“商数数列”和“余数数列”.已知数列是等差数列,是其前()项和,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)证明:.
18.为了增强高考与高中学习的关联度,考生总成绩由统一高考的语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试3个科目成绩组成.保持统一高考的语文、数学、外语科目不变,分值不变,不分文理科,外语科目提供两次考试机会.计入总成绩的高中学业水平考试科目,由考生根据报考高校要求和自身特长,在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物、信息技术七科目中自主选择三科.
(1)某高校某专业要求选考科目物理,考生若要报考该校该专业,则有多少种选考科目的选择;
(2)甲、乙、丙三名同学都选择了物理、化学、历史组合,各成绩达到二级的概率都是0.8,且三人约定如果达到二级不参加第二次考试,达不到二级参加第二次考试,如果设甲、乙、丙参加第二次考试的总次数为,求的分布列和数学期望.
19.如图,在四棱柱为长方体,点是上的一点.
(1)若为的中点,当为何值时,平面平面;
(2)若,,当时,直线与平面所成角的正弦值是否存在最大值?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
20.已知椭圆:的左焦点和上顶点在直线上,为椭圆上位于轴上方的一点且轴,为椭圆上不同于的两点,且.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线与轴交于点,求实数的取值范围.
21.已知函数.
(1)若函数在上是减函数,求实数的取值范围;
(2)当时,分别求函数的最小值和的最大值,并证明当时,成立;
(3)令,当时,判断函数有几个不同的零点并证明.
请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线过极坐标系内的两点和.
(1)写出曲线的普通方程,并求直线的斜率;
(2)设直线与曲线交于两点,求.
23.选修4-5:不等式选讲
已知函数.
(1)若不等式的解集为,求实数的值;
(2)若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5:ACCBA 6-10:BAACD 11、12:BD
二、填空题
13. 14.甲、丙 15.8 16.1
三、解答题
17.(1)设等差数列的公差为.
由题意可得解得
所以.
(2)证明:因为,所以,
因为是除以4的余数,所以是除以4的余数,
由两边同时除以4,得
左边的余数为,右边的余数为,所以.
18、(1)考生要报考该校该专业,除选择物理外,还需从其他六门中任选两科,故共有
种不同选择.
(2)因为甲乙丙三名同学每一达到二级的概率都相同且相互独立,所以参加第二次考试的总次数服从二项分布,所以分布列为
所以的数序期望.
19、(1)要使平面平面,只需平面.
因为四棱柱为长方体,
所以平面,所以.
又因为,所以只需,
只需,只需∽,
因为,所以只需,
因为为的中点,所以,所以.
所以当时,平面平面.
(2)存在.理由如下:建立如图所示的空间直角坐标系,
则,所以,
由得,则,
设平面的法向量为,则,
所以,取,则,
所以,
设直线与平面所成的角为,
则
令,则,,
所以
所以当,即,时,取得最大值1.
20、(1)依题意得椭圆的左焦点为,上顶点为,
故,所以,
所以椭圆的标准方程为.
(2)设直线的斜率为,因为,所以关于直线对称,
所以直线的斜率为,
易知,所以直线的方程是,
设,
联立,消去,得,
所以,
将上式中的换成,得,
所以,
所以直线的方程是,
代入椭圆方程,得,
所以,解得,
又因为在点下方,所以,
所以.
21、(1)由题意得在上恒成立,
令,有即
得,所以.
(2)由题意可得
令,则,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以当时,取最小值3.
,令,得,
当,,在上单调递增,
所以,
因为当时,,
所以当时,.
(3)因为,
所以,
其定义域为,
,
因为,所以,所以在上单调递减,
因为,所以,,
所以,
又,所以函数只有1个零点.
22、(1)由题意得曲线的普通方程为,
∵,∴直线的斜率为.
(2)易知直线的参数方程为(为参数)
代入,得,
设方程的两个根为,
所以.
23、解:(1)由题意知,不等式的解集为,
由得,
∴,解得.
(2)不等式等价于,
因为不等式对任意恒成立,
所以
因为,
所以,解得或.