数学理卷·2018届辽宁省实验中学等部分重点中学协作体高三模拟考试（2018 11页

‎2018年辽宁省部分重点中学协作体高三模拟考试 理科数学试卷 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．中国古代第一部数学专著《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆内的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是（ ）‎ A．圆面 B．矩形面 C．梯形面 D．椭圆面或部分椭圆面 ‎5．若实数满足，则的最大值为（ ）‎ A．-3 B．-4 C．-6 D．-8‎ ‎6．已知是边长为1的正三角形，若点满足，则的最小值为（ ）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎7．下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面三角形中为直角三角形的个数为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎8．已知函数，若，的图象恒在直线的上方，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．如果下面程序框图运行的结果，那么判断框中应填入（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．函数，若，，，则有（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．直线与圆有公共点，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．2‎ ‎12．已知函数，若有且仅有两个整数，使得，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．某校的一个志愿者服务队由高中部学生组成，成员同时满足以下三个条件：‎ ‎（1）高一学生人数多于高二学生人数；‎ ‎（2）高二学生人数多于高三学生人数；‎ ‎（3）高三学生人数的3倍多于高一高二学生人数之和 若高一学生人数为7，则该志愿者服务队总人数为 ．‎ ‎14．若，则 ．‎ ‎15．在中，角所对的边分别为.若，，若，则角的大小为 ．‎ ‎16．已知是双曲线的左焦点，过点倾斜角为30°的直线与的两条渐近线依次交于两点，若，则的离心率为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17． 已知等差数列满足，数列的前项和记为，且.‎ ‎（1）分别求出的通项公式；‎ ‎（2）记，求的前项和.‎ ‎18． 某地区2011年至2017年农村居民家庭人均纯收入（单位：千元）的数据如下表：‎ ‎（1）若关于的线性回归方程为，根据图中数据求出实数并预测2018年该地区农村居民家庭人均纯收入；‎ ‎（2）在2011年至2017年中随机选取三年，记表示三年中人均纯收入高于3.6千元的个数，求的分布列和.‎ ‎19． 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，底面，分别是的中点.‎ ‎（1）证明：直线平面；‎ ‎（2）设二面角为30°，且，，求四棱锥的体积.‎ ‎20． 已知是椭圆上的一点，是该椭圆的左右焦点，且.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设点是椭圆上与坐标原点不共线的两点，直线的斜率分别为，且.试探究是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由.‎ ‎21． 设函数在开区间内有极值.‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，.求证：.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设直线的极坐标方程为，曲线.‎ ‎（1）写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程；‎ ‎（2）设点是曲线上的动点，当点到直线的距离最大时，求点的坐标.‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）证明：.‎ ‎2018年辽宁省部分重点中学协作体高三模拟考试 数学（理科）参考答案与评分标准 一、选择题 ‎1-5:CAACB 6-10:CDCAD 11、12：BB 二、填空题 ‎13．18 14． 15． 16．2‎ 三、解答题 ‎17．解：（Ⅰ）因为所以当时，；‎ 当时，‎ 所以，故 设，则 所以，则 所以 因此，即 ‎（Ⅱ）由（1）知即 所以 ‎ ‎ ‎18．解：（Ⅰ）由题，，‎ ‎，‎ 代入得，‎ 当时，（千元）‎ （2） 可取0，1，2，3.‎ ‎，‎ 则的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 则 ‎19．解：（Ⅰ）取中点，连结.‎ 因为是中点，所以且 又因为且，且是的中点，‎ 所以且.所以四边形是平行四边形.‎ 于是.又平面，平面 因此平面.‎ ‎（Ⅱ）四棱锥底面是平行四边形，且，‎ 所以， 又因为，‎ 所以两两互相垂直 以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 ‎.‎ 连结，由.是中点.‎ 又平面.又平面.‎ 即平面的法向量.设，所以.‎ 设平面的法向量为.‎ 由，‎ ‎.‎ 令.由二面角为 所以，即，解得 所以四棱锥的体积 ‎.‎ ‎20．解：（Ⅰ）由题意，，根据椭圆定义，‎ 所以 所以，‎ 因此，椭圆 ‎ ‎（用待定系数法，列方程组求解同样给分）‎ ‎（Ⅱ）设直线，，由 消去y得 因为，所以 即，解得 ‎ ‎ 所以，‎ ‎21．(Ⅰ)解：或时，‎ ‎ ‎ 由在内有解．令 不妨设，则， ，‎ 所以 解得 ‎(Ⅱ)解:由或，‎ 由或，‎ 得在内递增，在内递减，在内递减，在递增．‎ 由，得，‎ 由得， ‎ 所以.‎ 因为，，‎ 所以 因为（）‎ 令 则 所以在上单调递增，‎ 所以 ‎22．解：（Ⅰ）由得，‎ 所以直线，‎ ‎ 由得，‎ 曲线参数方程为 （为参数）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）在上任取一点，‎ 则点到直线的距离为 ‎ 当，即时，‎ 所以，点的直角坐标为．‎ ‎23．解：（Ⅰ）当时，，‎ 原不等式等价于或或 解得或 所以，不等式的解集为 ‎（Ⅱ）证明：‎ ‎（当且仅当且时等号成立）‎