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  • 2021-06-09 发布

数学理卷·2018届辽宁省实验中学等部分重点中学协作体高三模拟考试(2018

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‎2018年辽宁省部分重点中学协作体高三模拟考试 理科数学试卷 第Ⅰ卷(共60分)‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.在复平面内,复数(为虚数单位)对应的点位于( )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.中国古代第一部数学专著《九章算术》中有如下问题:“今有勾五步,股一十二步,问勾中容圆,径几何?”其大意:“已知直角三角形两两直角边分别为5步和12步,问其内切圆的直径为多少步?”现若向此三角形内随机投一粒豆子,则豆子落在其内切圆内的概率是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水,将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时,指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是( )‎ A.圆面 B.矩形面 C.梯形面 D.椭圆面或部分椭圆面 ‎5.若实数满足,则的最大值为( )‎ A.-3 B.-4 C.-6 D.-8‎ ‎6.已知是边长为1的正三角形,若点满足,则的最小值为( )‎ A. B.1 C. D.‎ ‎7.下图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的表面三角形中为直角三角形的个数为( )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎8.已知函数,若,的图象恒在直线的上方,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.如果下面程序框图运行的结果,那么判断框中应填入( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.函数,若,,,则有( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.直线与圆有公共点,则的最大值为( )‎ A. B. C. D.2‎ ‎12.已知函数,若有且仅有两个整数,使得,则的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷(共90分)‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.某校的一个志愿者服务队由高中部学生组成,成员同时满足以下三个条件:‎ ‎(1)高一学生人数多于高二学生人数;‎ ‎(2)高二学生人数多于高三学生人数;‎ ‎(3)高三学生人数的3倍多于高一高二学生人数之和 若高一学生人数为7,则该志愿者服务队总人数为 .‎ ‎14.若,则 .‎ ‎15.在中,角所对的边分别为.若,,若,则角的大小为 .‎ ‎16.已知是双曲线的左焦点,过点倾斜角为30°的直线与的两条渐近线依次交于两点,若,则的离心率为 .‎ 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎17. 已知等差数列满足,数列的前项和记为,且.‎ ‎(1)分别求出的通项公式;‎ ‎(2)记,求的前项和.‎ ‎18. 某地区2011年至2017年农村居民家庭人均纯收入(单位:千元)的数据如下表:‎ ‎(1)若关于的线性回归方程为,根据图中数据求出实数并预测2018年该地区农村居民家庭人均纯收入;‎ ‎(2)在2011年至2017年中随机选取三年,记表示三年中人均纯收入高于3.6千元的个数,求的分布列和.‎ ‎19. 如图,已知四棱锥的底面是平行四边形,底面,分别是的中点.‎ ‎(1)证明:直线平面;‎ ‎(2)设二面角为30°,且,,求四棱锥的体积.‎ ‎20. 已知是椭圆上的一点,是该椭圆的左右焦点,且.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设点是椭圆上与坐标原点不共线的两点,直线的斜率分别为,且.试探究是否为定值,若是,求出定值,若不是,说明理由.‎ ‎21. 设函数在开区间内有极值.‎ ‎(1)求实数的取值范围;‎ ‎(2)若,.求证:.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,设直线的极坐标方程为,曲线.‎ ‎(1)写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程;‎ ‎(2)设点是曲线上的动点,当点到直线的距离最大时,求点的坐标.‎ ‎23.选修4-5:不等式选讲 已知函数.‎ ‎(1)当时,求不等式的解集;‎ ‎(2)证明:.‎ ‎2018年辽宁省部分重点中学协作体高三模拟考试 数学(理科)参考答案与评分标准 一、选择题 ‎1-5:CAACB 6-10:CDCAD 11、12:BB 二、填空题 ‎13.18 14. 15. 16.2‎ 三、解答题 ‎17.解:(Ⅰ)因为所以当时,;‎ 当时,‎ 所以,故 设,则 所以,则 所以 因此,即 ‎(Ⅱ)由(1)知即 所以 ‎ ‎ ‎18.解:(Ⅰ)由题,,‎ ‎,‎ 代入得,‎ 当时,(千元)‎ (2) 可取0,1,2,3.‎ ‎,‎ 则的分布列为:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 则 ‎19.解:(Ⅰ)取中点,连结.‎ 因为是中点,所以且 又因为且,且是的中点,‎ 所以且.所以四边形是平行四边形.‎ 于是.又平面,平面 因此平面.‎ ‎(Ⅱ)四棱锥底面是平行四边形,且,‎ 所以, 又因为,‎ 所以两两互相垂直 以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则 ‎.‎ 连结,由.是中点.‎ 又平面.又平面.‎ 即平面的法向量.设,所以.‎ 设平面的法向量为.‎ 由,‎ ‎.‎ 令.由二面角为 所以,即,解得 所以四棱锥的体积 ‎.‎ ‎20.解:(Ⅰ)由题意,,根据椭圆定义,‎ 所以 所以,‎ 因此,椭圆 ‎ ‎(用待定系数法,列方程组求解同样给分)‎ ‎(Ⅱ)设直线,,由 消去y得 因为,所以 即,解得 ‎ ‎ 所以,‎ ‎21.(Ⅰ)解:或时,‎ ‎ ‎ 由在内有解.令 不妨设,则, ,‎ 所以 解得 ‎(Ⅱ)解:由或,‎ 由或,‎ 得在内递增,在内递减,在内递减,在递增.‎ 由,得,‎ 由得, ‎ 所以.‎ 因为,,‎ 所以 因为()‎ 令 则 所以在上单调递增,‎ 所以 ‎22.解:(Ⅰ)由得,‎ 所以直线,‎ ‎ 由得,‎ 曲线参数方程为 (为参数)‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)在上任取一点,‎ 则点到直线的距离为 ‎ 当,即时,‎ 所以,点的直角坐标为.‎ ‎23.解:(Ⅰ)当时,,‎ 原不等式等价于或或 解得或 所以,不等式的解集为 ‎(Ⅱ)证明:‎ ‎(当且仅当且时等号成立)‎

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