2017-2018学年内蒙古太仆寺旗宝昌一中高二上学期期末考试数学试题（解析版） 10页

2017-2018 学年内蒙古太仆寺旗宝昌一中高二上学期期末考 试数学试题 一、单选题 1．直线 的倾斜角为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】一般式化为斜截式： ，故 k= ，故倾斜角为 .故 选 C. 2．若直线 l 过点 A ，B ，则 l 的斜率为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】由斜率公式得 故选 B 3．抛物线 的焦点到准线的距离是 A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】先根据抛物线的方程求出 p 的值，即可得到答案． 解：由 y2=2px=8x，知 p=4，又交点到准线的距离就是 p． 故选 C． 4．4．“ ”是“ ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】若 ，则 成立；若 ，则 或 ，故若 ，则 不成立，故“ ”是“ ”的充分不必要条件. 5．过椭圆 的焦点 作直线交椭圆于 两点， 是椭圆的另一焦点， 则 的周长是 A. 12 B. 24 C. 22 D. 10 【答案】B 【解析】根据图像和椭圆定义知道该三角形的周长是 4a=24. 3 1 0x y+ − = 6 π 3 π 2 3 π 5 6 π 3 1y x= − + 3− 2 3 π 2 8x y= 1a = 2 1a = 1a = 2 1 0a − = 2 1 0a − = 1a = 1a = − 2 1 0a − = 1a = 1a = 2 1 0a − = 2 2 136 25 x y+ = 1F A B、 2F 2ABF∆ 故答案为：B。 6．6．命题“ ”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】试题分析：命题“ ”的否定是“ ”；故 选 D． 【考点】全称命题的否定． 7．已知命题 P：2＋2＝5，命题 Q:3>2,则下列判断错误的是 A. “ ”为真，“ ”为假 B. “ ”为假，“ ”为假 C. “ ”为假，“ ”为假 D. “ ”为假，“ ”为真 【答案】C 【解析】根据题干知命题 P 是假命题；命题 Q 是真命题；故“ ”为假，“ ”为假。 故答案为：C。 8．抛物线 y＝ax2 的准线方程为 y＝2，则实数 a 的值为 A. － B. C. 8 D. －8 【答案】B 【解析】将抛物线化为标准式得到 ，准线方程为 故答案为 A。 点睛：这个题目考查了抛物线的标准方程的应用。在圆锥曲线中无论是椭圆，双曲线还 是抛物线只要和方程有关的题目一般是先化为标准式，再解决问题。这样不易出错。抛 物线有四种基本的方程，因开口方向不同而定，可以结合图像来解决这个题目中的问题 。 9．与直线 的距离等于 的直线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C , 1x R x x+∀ ∈ > + , 1x R x x+∀ ∈ < + , 1x R x x+∀ ∈ ≤ + 0 0 0, 1x R x x+∃ ∈ < + 0 0 0, 1x R x x+∃ ∈ ≤ + , 1x R x x+∀ ∈ > + 0 0 0, 1x R x x+∃ ∈ ≤ + p q∨ q¬ p q∧ q¬ p q∧ p¬ p q∧ p q∨ p q∧ p¬ 1 8 1 8 2 1x ya = 1 124 8y aa = − = ⇒ = − 2 1 0x y+ + = 5 5 2 0x y+ = 2 2 0x y+ − = 2 0x y+ = 2 2 0x y+ + = 2 0x y+ = 2 2 0x y+ − = 【解析】设与直线 2x+y+1=0 的距离为 的直线方程为 2x+y+k=0， 则 = ，解得 k=0 或 k=2， ∴与直线 2x+y+1=0 的距离为 的直线方程为 2x+y=0 或 2x+y+2=0． 故答案为：2x+y=0 或 2x+y+2=0． 故答案为：C。 10．双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意可得： ， 双曲线的渐近线方程为： ，即 . 11．设椭圆 C： 的左、右焦点分别为 F1、F2，P 是 C 上的点 PF2 ⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则 C 的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝ m， 故离心率 e＝ 选 D. 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的 方程或不等式，再根据 的关系消掉 得到 的关系式，而建立关于 的方 程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 12．若过点 的直线 与圆 有公共点，则直线 斜率的取值范围 为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 5 5 1 5 k − 5 5 5 5 2 2 2 2 1( 0, 0)y x a ba b − = > > 10 3y x= ± 1 2y x= ± 2y x= ± 1 3y x= ± 2 2 2 2 2 2 210, 10, 9c c a b be a a a a += = ∴ = = = ay xb = ± 1 3y x= ± 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 6 6 1 3 1 2 3 3 3 1 2 1 2 2 3 3 2 2 3 F Fc m a PF PF m m = = =+ + , ,a b c , ,a b c b ,a c , ,a b c ( )3,0Α l ( )2 21 1x y− + = l 3, 3 −  ( )3, 3− 3 3,3 3  −    3 3,3 3  −    【 解 析 】 试 题 分 析 ： 设 直 线 的 斜 率 为 ， 则 直 线 的 方 程 为 ， 即 ，圆 的圆心 ，半径 ，圆心 到直线 的距 离 ，因为直线 与圆 有公共点，所以 ， 即 ，解得： ，所以直线 斜率的取值范围是 ， 故选 C． 【考点】直线与圆的位置关系． 二、填空题 13 ． 命 题 “ 若 、 都 是 偶 数 ， 则 是 偶 数 ” 的 逆 命 题 是 _____________________________________． 【答案】13．若 是偶数，则 、 都是偶数 【解析】逆命题就是将结论和条件互换位置即可。故逆命题应该为：若 是偶数， 则 、 都是偶数。 故答案为：若 是偶数，则 、 都是偶数。 14．抛物线 上的一点 到 轴的距离为 12，则 与焦点 间的距离 =______． 【答案】13 【解析】依题意可知点 P 的纵坐标|y|=12，代入抛物线方程求得 x=9 抛物线的准线为 x=-4， 根据抛物线的定义可知点 P 与焦点 F 间的距离 9+4=13 故答案为：13 点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是利用了抛物线的定义。一般和 抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论 的总结和应用。尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的 转化。 15．已知 是双曲线 的左焦点，定点 ， 是双曲线右支上的动点 ，则 的最小值是_____________； 【答案】9 【解析】由双曲线方程有 ,设双曲线的右焦点为 ,则 ,由双曲线 的定义有 ,所以 ,当 三点在 一条直线上时, 有最小值为 . 点睛: 本题主要考查双曲线中的最值问题,属于中档题. 本题方法: 利用双曲线的定义, 将 的长度转化为 ,所以当三点共线时, 有最小值.考查了学 l k l ( )3y k x= − ( )2 21 1x y− + = ( )C 1,0 1r = C l ( )2 22 0 3 2 11 k k kd kk − −= = ++ − l ( )2 21 1x y− + = d r≤ 2 2 1 1 k k ≤ + 3 3 3 3k− ≤ ≤ l 3 3,3 3  −    a b a b+ a b+ a b a b+ a b a b+ a b 2 16y x= P PF F 2 2 14 12 x y− = P PF PA+ 2, 4a c= = 'F ( )' 4,0F ' 2 4PF PF a− = = ' 4PF PA PF PA+ = + + , , 'A P F PF PA+ ( ) ( )2 2' 4 1 4 4 0 4 9AF + = − + − + = PF ' 4PF + PF PA+ 生分析解决问题的能力. 16．若方程 所表示的曲线为 C，给出下列四个命题： ①若 C 为椭圆，则 ； ②若 C 为双曲线，则 或 ； ③曲线 C 不可能是圆； ④若 ，曲线 C 为椭圆，且焦点坐标为 ； ⑤若 ，曲线 C 为双曲线，且虚半轴长为 ． 其中真命题的序号为____________.（把所有正确命题的序号都填在横线上） 【答案】②④⑤ 【解析】试题分析：：①若 C 为椭圆，则 ，∴1＜t＜4 且 t≠ ，故①不 正确； ②若 C 为双曲线，则（4-t）（t-1）＜0，∴t＞4 或 t＜1，故②正确； ③t= 时，曲线 C 是圆，故③不正确； ④若 1＜t＜ ，曲线 C 为椭圆，此时焦点在 x 轴上，且焦点坐标为（± ，0）， 故④正确； ⑤若 t＜1，曲线 C 为双曲线，此时焦点在 x 轴上，且虚半轴长为 ，故⑤正确． 综上真命题的序号为②④⑤ 【考点】圆锥曲线的共同特征；命题的真假判断与应用 三、解答题 17．（1 0 分） 已知⊙C 经过点 、 两点，且圆心 C 在直线 上. 求⊙C 的方程； 【答案】（1） （2） 【解析】试题分析：设出圆的方程的一般式，根据圆上的点代入圆的方程得到方程组， 再根据圆心所在直线，将圆心代入即可。 解析： 设圆的方程为 ， 则 ， 所以⊙C 方程为 . 114 22 =−+− t y t x 1 4t< < 4t > 1t < 51 2t< < ( 5 2 ,0)t± − 1t < 1 t− 4 0 1 0 4 1 t t t t − >  − >  − ≠ − 5 2 5 2 5 2 5 2t− 1 t− ( )2,4A ( )3,5B 2 2 0x y− − = 2 2 6 8 24 0x y x y+ − − + = 30 4k≤ ≤ 2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = 2 2 2 2 2 4 2 4 0 6 { 3 5 3 5 0 { 8 242 2 02 2 D E F D D E F E FD E + + + + = = − + + + + = ⇒ = − =   − − − − =       2 2 6 8 24 0x y x y+ − − + = 18．已知抛物线的方程为 ，过点 作直线 交抛物线于 、 两点，且 为线段 的中点. （Ⅰ）求直线 的方程； （Ⅱ）求线段 的长度. 【答案】(1) ;(2) . 【解析】试题分析：（Ⅰ）用“点差法”可求得直线 AB 的斜率，再用点斜式得到直线 方程。（Ⅱ）把直线方程代入抛物线方程得 ，从而 ， ，再利用弦长公式求解。 试题解析： （Ⅰ）设 ， ， 因为 、 在抛物线上，所以有 ， ①-②得 ， 所以 ， 因为 为线段 的中点， 所以 ， ， 所以 ， 又因为直线 过点 ， 所以直线 的方程为 ， 即 ； （Ⅱ）由 消去 y 整理得 ， 显然 又 ， ， 所以 ， 所以线段 的长度为 . 19．已知命题 ，命题 。 （1）若 p 是 q 的充分条件，求实数 m 的取值范围； （2）若 m=5，“ ”为真命题，“ ”为假命题，求实数 x 的取值范围。 2 4y x= ( )2,1M l A B M AB l AB 2 3 0x y− − = 35 24 16 9 0x x− + = 1 2 4x x+ = 1 2 9 4x x = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y A B 2 1 1 2 2 2 4{ 4 y x y x = = ① ② ( )( ) ( )1 2 1 2 1 24y y y y x x− + = − 1 2 1 2 1 2 4 AB y yk x x y y −= =− + ( )2,1M AB 1 2 4x x+ = 1 2 2y y+ = 2ABk = l ( )2,1M l ( )1 2 2y x− = − 2 3 0x y− − = 2 2 3 0{ 4 x y y x − − = = 24 16 9 0x x− + = 0∆ > 1 2 4x x+ = 1 2 9 4x x = ( )22 1 2 1 2 1 21 2 5 4 35AB x x x x x x= + − = + − = AB 35 【答案】（1） ；（2） . 【解析】试题分析：（1）当命题是用集合表示时，若 是 的充分条件，则表示命 题 所对应的集合是命题 所对应集合的子集，转化为子集问题解决，通过数轴，列不 等式组; (2) ”为真命题，“ ”为假命题表示 一真一假，所以分两种情况，真代表集合 本身，假代表集合的补集，列不等式解决. 试题解析：解：（1）， ， , ,那么 解得： (2)根据已知 一真一假， 真 假时， 解得 ，或 假 真时， 解得 【考点】命题的真假判定与应用 20．（12 分）设椭圆 的左、右焦点分别为 。过 的 直线 交 于 两点，且 成等差数列. （1）求 ； （2）若直线 的斜率为 1，求 . 【答案】（1） ； （2） 【解析】试题分析：（1）因为椭圆 的左、右焦点分别为 。过 的直线 交 于 两点，且 成等差数列.结合定义 得到|AB|的值。（2）联立方程组，然后结合韦达定理，得到根与系数的关系，然后直 线的斜率为 1，得到弦长公式的表达式，从而的得到参数 m 的值。 解析： （1）由椭圆定义知 又 （2）设 的方程为 y=x+c,其中 2 2 2: 1(0 1)yC x mm + = < < 1 2F F、 1F l C BA、 2 2AF BFAB、 、 AB l m 4AB 3 = 2 2m = 2 2 2: 1(0 1)yC x mm + = < < 1 2F F、 1F l C BA、 2 2AF BFAB、 、 2 2F + F 4Α ΑΒ + Β = 2 2 42 AB = AF F , AB 3 + Β =得 l 21c m= − 设 由 化简得 则 因为直线 AB 的斜率为 1，所以 即 则 解得 点睛：本试题主要是考查了椭圆的定义，以及直线与椭圆的位置关系的综合运用。也考 查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．涉及直线与圆 锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率 是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利 用根与系数关系写出 ，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件 的约束作用． 21．（12 分）已知中心在原点的双曲线 的右焦点为 ，实轴长 . （1）求双曲线的方程 （2）若直线 与双曲线恒有两个不同的交点 ，且 为锐角(其 中 为原点)，求 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】试题分析; （1）依题意先设双曲线的方程为 ，依据 题中条件得到 、 的值，进而由 得到 的值，进而写出双曲线的方程即 可；（2）设 ，联立直线 与双曲线的方程，消去 得到二次方程， 要使 为锐角，只须 即可，将 进行坐标化并将根据韦达定 理得到表达式，可求范围。 解析： 1 1 1 1( ),B( )A x y x y， ， 2 2 2 2{ y x c m x y m = + + = ( )2 2 2 21 2 0m x cx c m+ + + − = 2 2 1 2 1 22 2 2 ,1 1 c c mx x x xm m −+ = − =+ + 2 12 x xΑΒ = − 2 1 4 23 x x= − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 2 1 2 1 2 2 222 2 4 1 4 1 28 849 11 1 m m mx x x x mm m − − = + − = − =++ + 2 2m = 1 2 1 2,x x x x+ ⋅ C ( )2,0 2 3 : 2l y kx= + A B、 AOB∠ O k 2 2 13 x y− = 3 31, ,13 3k    ∈ − − ∪          2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > a c 2 2 2b c a= − 2b ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y l y AOB∠ · 0OAOB >  · 0OAOB >  （1）依题意可设双曲线的方程为 则有 且 ，所以 ， 所以该双曲线的方程为 （2） 设 ， 即 综上： . 点睛： 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的 方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关 系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的 重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要 忽视判别式的作用． 22．（12 分）已知双曲线的中心在原点，焦点 F1、F2 在坐标轴上，离心率为 且过点 M(4，－ )． (1)求双曲线方程； (2)求△F1MF2 的面积． 【答案】（1） ；(2)详见解析（3）6. 【解析】试题分析：（1）根据双曲线的离心率，得到双曲线为等轴双曲线，设双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 2 3a = 2c = 3a = 2 2 2 4 3 1b c a= − = − = 2 2 13 x y− = ( )22 2 2 2{ 3 2 3 3 3 y kx x kx x y = + ⇒ − + = − = ( )2 21 3 6 2 9 0k x kx⇒ − − − = ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 3 0 6 2 36 1 3 0 2 1 2 0 1 6 2{ ,1 3 9 1 3 k k k k k k kx x k x x k − ≠ ∆ = × + − > ⇒ + − > ⇒ < + = − −= − ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y ( )( )1 2 2· 2 2OAOB x x kx kx= + + +  ( ) ( )2 1 2 1 21 2 2k x x k x x= + + + + ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9 12 9 9 12 2 6 3 71 2 01 3 1 3 1 3 1 3 k k k k kk k k k k − − − + + − − −= + + + = = >− − − − 23 7 0k− − < 21 3 0k∴ − < 2 1 3k > 3 31, ,13 3k    ∈ − − ∪          2 10 2 2 16 6 x y− = 方程为 x2-y2=λ，点代入求出参数 λ 的值，从而求出双曲线方程，（2）求出三角形的高， 即 m 的值，可得其面积． 解析： (1)∵离心率 e＝ ，∴设所求双曲线方程为 x2－y2＝λ(λ≠0)，则由点(4，－ )在 双曲线上，知 λ＝42－(－ )2＝6， ∴双曲线方程为 x2－y2＝6，即 . (2)S△F1MF2＝ ×2c×|m|＝c|m|＝ 2 × ＝ . 2 10 10 2 2 16 6 x y− = 1 2 1 2 3 10 30