高考数学专题复习教案： 函数与方程备考策略 5页

函数与方程备考策略 主标题：函数与方程备考策略 副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。‎ 关键词：零点，零点存在性定理，备考策略 难度：4‎ 重要程度：5‎ 内容 考点一　函数零点的求解与判断 ‎【例1】 (1)设x0是方程ln x＋x＝4的解，则x0属于(　　)．‎ A．(0,1) B．(1,2) ‎ C．(2,3) D．(3,4)‎ ‎(2)函数f(x)＝的零点个数是________．‎ 解析　(1)令f(x)＝ln x＋x－4，‎ 则f(1)＝－3＜0，f(2)＝ln 2－2＜0，‎ f(3)＝ln 3－1＞0，‎ ‎∴x0∈(2,3)．‎ ‎(2)当x＞0时，令g(x)＝ln x，h(x)＝x2－2x.‎ 画出g(x)与h(x)的图象如图：‎ 故当x＞0时，f(x)有2个零点．‎ 当x≤0时，由4x＋1＝0，得x＝－，‎ 综上函数f(x)的零点个数为3.‎ 答案　(1)C　(2)3‎ ‎【备考策略】 (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．‎ ‎(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且 f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．‎ ‎(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．‎ 考点二　根据函数零点的存在情况，求参数的值 ‎【例2】 已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋(x>0)．‎ ‎(1)若y＝g(x)－m有零点，求m的取值范围；‎ ‎(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．‎ 解　(1)法一　∵x＞0时，g(x)＝x＋≥2＝2e，‎ 等号成立的条件是x＝e，‎ 故g(x)的值域是[2e，＋∞)，‎ 因而只需m≥2e，则y＝g(x)－m就有零点．‎ ‎∴m的取值范围是[2e，＋∞)．‎ 法二　作出g(x)＝x＋(x>0)的大致图象如图：‎ 可知若使y＝g(x)－m有零点，则只需m≥2e.‎ ‎∴m的取值范围是[2e，＋∞)．‎ ‎(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)＝x＋(x>0)的大致图象．∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，∴其图象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．‎ ‎∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．‎ ‎【备考策略】 函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．‎ 考点三　与二次函数有关的零点分布 ‎【例3】 是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．‎ 审题路线　由f(x)在[－1,3]上只有一个零点⇔f(x)＝0在[－1,3]上有且只有一个实数根⇒计算知Δ＞0恒成立⇒令f(－1)·f(3)≤0⇒求出a的范围⇒对端点值检验⇒得出结论．‎ 解　令f(x)＝0，则Δ＝(3a－2)2－4(a－1)＝9a2－16a＋8＝92＋＞0，即f(x)＝0有两个不相等的实数根，‎ ‎∴若实数a满足条件，则只需f(－1)·f(3)≤0即可．‎ f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0，∴a≤－或a≥1.‎ 检验：(1)当f(－1)＝0时，a＝1，所以f(x)＝x2＋x.‎ 令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.‎ 方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a≠1.‎ ‎(2)当f(3)＝0时，a＝－，‎ 此时f(x)＝x2－x－.‎ 令f(x)＝0，即x2－x－＝0，‎ 解得x＝－或x＝3.‎ 方程在[－1,3]上有两个实数根，‎ 不合题意，故a≠－.‎ 综上所述，a的取值范围是∪(1，＋∞)．‎ ‎【备考策略】解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组．‎ 考点四 函数的零点与函数极值点的交汇 ‎【典例】 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2.若f(x1)＝x1＜x2，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数为(　　)．‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ 突破：条件“函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2”等价于“方程f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝0有两个不等实数根x1，x2”；条件：“若f(x1)＝x1＜x2，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的根”等价于“方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0有两个不等实根，f(x)＝x1，f(x)＝x2”．‎ 解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋b，原题等价于方程3x2＋2ax＋b＝0有两个不等实数根x1，x2，且x1＜x2，x∈(－∞，x1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；x∈(x1，x2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；x∈(x2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．∴x1为极大值点，x2为极小值点．∴方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0有两个不等实根，f(x)＝x1，f(x)＝x2.‎ ‎∵f(x1)＝x1，∴由图知f(x)＝x1有两个不同的解，f(x)＝x2仅有一个解．‎ 答案　A ‎【备考策略】 (1)强化函数零点的求法，函数与方程的转化技巧，本题的突破点是方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数转化为f(x)＝x1与f(x)＝x2‎ 的根的个数之和．‎ ‎(2)本题把函数的零点与函数的极值点交汇在一起考查，体现了新课标高考的指导思想．‎