江苏省南通中学2013届高三上学期期中考试数学（理）试题 19页

江苏省南通中学2012—2013学年度第一学期期中考试 高三数学试卷（理）‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上 ‎ （必做题部分）‎ 一、填空题（每小题5分，共70分）‎ ‎1、已知集合，，则 ▲ ．‎ ‎2、已知，，，命题“若，则≥”的否命题是______▲_____．‎ ‎3、若的值为 ▲ .‎ ‎4、函数单调递减区间是 ▲ ．‎ ‎5、已知|a|=，|b|=3，a和b的夹角为45°，若向量(λa+ b)⊥(a+λb)，则实数λ的值 为 ▲ ． ‎ ‎6、设函数是定义在R上的奇函数，且对任意都有，当时，，则＝ ▲ ．‎ ‎7、设是正项数列，其前项和满足：,则= ▲ ．‎ ‎8、已知命题：在上有意义，命题：函数的定义域为．如果和有且仅有一个正确，则的取值范围 ▲ ． ‎ ‎9、设函数的图象为曲线，动点在曲线上，过且平行于轴的直线交曲线于点可以重合），设线段的长为，则函数单调递增区间 ▲ ． ‎ ‎10、当时，恒成立，则实数a的取值范围是 ▲ ．‎ ‎11、已知存在实数，满足对任意的实数，直线都不是曲线的切线，则实数的取值范围是 ▲ ‎ ‎12、设x∈，则函数y＝的最小值为___▲_____．‎ ‎13、设实数，若仅有一个常数c使得对于任意的，都有满足方程，这时，实数的取值的集合为 ▲ ．‎ ‎14、已知函数，把函数g(x)=f(x)-x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和,则＝ ▲ ．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15、设向量＝(4cosα，sinα)，＝(sinβ，4cosβ)，＝(cosβ，－4sinβ)．‎ ‎(1)若与垂直，求tan(α＋β)的值；‎ ‎(2)求的最大值；‎ ‎(3)若tanαtanβ＝16，求证：∥.‎ ‎16、(本题满分14分)‎ 已知函数，其中且.‎ ‎（1）求函数的解析式，并判断其奇偶性和单调性；‎ ‎（2）对于函数，当时，，求实数m的取值范围；‎ ‎（3）当时，的值恒为负数，求函数a的取值范围.‎ ‎17、设数列的前项和为，且满足＝…．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足，且，求数列的通项公式；‎ ‎（III）设，求数列的前项和．‎ ‎18、某广告公司为2010年上海世博会设计了一种霓虹灯，样式如图中实线部分所示．其上部分是以AB为直径的半圆，点O为圆心，下部分是以AB为斜边的等腰直角三角形，DE、DF是两根支杆，其中AB＝‎2 m，∠EOA＝∠FOB＝2x(0＜x＜)．现在弧EF、线段DE与线段DF上装彩灯，在弧AE、弧BF、线段AD与线段BD上装节能灯．若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比，且彩灯的比例系数为2k，节能灯的比例系数为k(k＞0)，假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y是所有灯“心悦效果”的和．‎ ‎(1) 试将y表示为x的函数；‎ ‎(2) 试确定当x取何值时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳？‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 已知函数（）的图象为曲线．‎ ‎（1）求曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围；‎ ‎（2）若曲线上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线的切点的横坐标的取值范围；‎ ‎（3）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由． ‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 已知数列，满足：．‎ ‎（1）若，求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，且．‎ ‎ ①记，求证：数列为等差数列；‎ ‎②若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项应满足的条件．‎ 江苏省南通中学2012—2013学年度第一学期期中考试 数学Ⅱ（理科附加题）‎ ‎21、自圆O外一点P引圆的一条切线PA，切点为A，M为PA的中点，过点M引圆O的割线交该圆于B、C两点，且∠BMP＝100°，∠BPC＝40°，则∠MPB的大小　　　　．‎ ‎22、 如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F．‎ ‎⑴判断BE是否平分∠ABC，并说明理由． ⑵若AE=6，BE=8，求EF的长．‎ A B C O E F D ‎23. 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如右图所示），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种 一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，‎ 不同的栽种方法有______种. ‎ ‎24．已知展开式的各项依次记为．‎ 设．‎ ‎（1）若的系数依次成等差数列，求的值；‎ ‎（2）求证：对任意，恒有.‎ 江苏省南通中学2012—2013学年度第一学期期中考试 ‎ 班级___________ 答题卡号 _____________ 座位号__________ 姓名 ___________‎ ‎ 装订线内请勿答题 ‎ 高三数学答卷（理）‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。‎ ‎1. 2. 　　　　　　　　　3. 4. ‎ ‎ ‎ ‎5. 6. 7. 8. 9. ‎ ‎10. 11. 12. 13. 14. ‎ 二、解答题：本大题共5小题；共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ ‎ ‎ ‎[来源:学科网ZXXK]‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ ‎ ‎ ‎17．（本小题满分15分）‎ ‎ ‎ ‎18．（本小题满分15分）‎ ‎ ‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ ‎ ‎ ‎[来源:学科网]‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ ‎ ‎ ‎[来源:学.科.网]‎ 数学Ⅱ（理科附加题）答卷 ‎ 班级___________ 答题卡号 _____________ 座位号__________ 姓名 ___________‎ ‎ 装订线内请勿答题 ‎ ‎21、已知OA、OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，P是线段OA上一点，直线BP交⊙O于点Q，过Q作⊙O的切线交直线OA于点E，则∠OBP＋∠AQE的度数为 ‎ ‎22、 如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F．‎ ‎⑴判断BE是否平分∠ABC，并说明理由． ⑵若AE=6，BE=8，求EF的长．‎ A B C O E F D ‎23. 某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校．该学生不同的报考方法种数是　　．（用数字作答）‎ ‎24．已知展开式的各项依次记为．‎ 设．‎ ‎（1）若的系数依次成等差数列，求的值；‎ ‎（2）求证：对任意，恒有.‎ 江苏省南通中学2012—2013学年度第一学期中考试 高三数学试卷（理）‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上 ‎ （必做题部分）‎ 一、填空题（每小题5分，共70分）‎ ‎1、已知集合，，则 {4} .‎ ‎2、已知，，，命题“若，则≥的否命题是___________．‎ 若，则＜；‎ ‎3、若的值为 .‎ ‎4、函数单调递减区间是 ▲ 。（0，2）‎ ‎5、已知|a|=，|b|=3，a和b的夹角为45°，若向量(λa+ b)⊥(a+λb)，则实数λ的值 为 ▲ ．‎ ‎6、设函数是定义在R上的奇函数，且对任意都有，当时，，则＝ ▲ 。‎ ‎7、设是正项数列，其前项和满足：,则= ▲ ．‎ ‎8、已知命题：在上有意义，命题：函数的定义域为．如果和有且仅有一个正确，则的取值范围 ．‎ ‎9、设函数的图象为曲线，动点在曲线上，过且平行于轴的直线交曲线于点可以重合），设线段的长为，则函数单调递增区间 ．‎ ‎ 10、当时，恒成立，则实数a 的取值范围是 ．‎ ‎11、已知存在实数，满足对任意的实数，直线都不是曲线的切线，则实数的取值范围是 ▲ ‎ ‎12、设x∈，则函数y＝的最小值为________． ‎13、设实数，若仅有一个常数c使得对于任意的，都有满足方程，这时，实数的取值的集合为 ▲ 。‎ ‎14、已知函数，把函数g(x)=f(x)-x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和,则＝ ▲ 。A． B． C．45 D．55‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15、设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．‎ ‎(1)若a与b－‎2c垂直，求tan(α＋β)的值；‎ ‎(2)求|b＋c|的最大值；‎ ‎(3)若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.‎ 解、(1)因为a与b－‎2c垂直，所以a·(b－‎2c)＝a·b－‎2a·c＝0.‎ 所以4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，所以tan(α＋β)＝2.‎ ‎(2)由条件得，b＋c＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)．[来源:Z,xx,k.Com]‎ 所以|b＋c|2＝sin2β＋2sinβcosβ＋cos2β＋16cos2β－32cosβsinβ＋16sin2β＝17－30sinβcosβ＝17－15sin2β.‎ 又17－15sin2β的最大值为32，‎ 所以|b＋c|的最大值为4.‎ ‎(3)证明：由tanαtanβ＝16得，sinαsinβ＝16cosαcosβ，即4cosα·4cosβ－sinαsinβ＝0，所以a∥b.[来源:Zxxk.Com]‎ ‎16、(本题满分14分)‎ 解：（1）由得，…………………………‎‎2’‎ ‎ 因为定义域为R，，所以为奇函数，……‎‎4’‎ ‎ 2 因为，当及时，，‎ 所以为R上的单调增函数；……………………………………………………‎‎6’‎ ‎ （2）由得，‎ ‎ 又，则，得；……………………………‎‎10’‎ ‎ （3）因为为R上的单调增函数，所以当时，的值恒为负数，‎ ‎ 所以恒成立，‎ ‎ ，…………………………………………………‎‎12’‎ 整理得，所以，‎ 又且，所以实数a的取值范围是.…………‎‎14’‎ 错误！未定义书签。‎ ‎17、设数列的前项和为，且满足＝…．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足，且，求数列的通项公式；‎ ‎（III）设，求数列的前项和．‎ ‎（Ⅰ）∵时， ∴ ‎ 当时， ∵即，∴ 两式相减：即 ‎ 故有 ∵，∴ ‎ 所以，数列为首项，公比为的等比数列， ……… 6分 ‎（Ⅱ）∵，∴ ‎ 得 … （…） ‎ 将这个等式相加 又∵，∴（…） …………… 12分 ‎（Ⅲ）∵ ‎ ‎∴ ① ‎ 而 ②‎ ①－②得：‎ ‎… 16分 ‎18、某广告公司为2010年上海世博会设计了一种霓虹灯，样式如图中实线部分所示．其上部分是以AB为直径的半圆，点O为圆心，下部分是以AB为斜边的等腰直角三角形，DE、DF是两根支杆，其中AB＝‎2 m，∠EOA＝∠FOB＝2x(0＜x＜)．现在弧EF、线段DE与线段DF上装彩灯，在弧AE、弧BF、线段AD与线段BD上装节能灯．若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比，且彩灯的比例系数为2k，节能灯的比例系数为k(k＞0)，假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y是所有灯“心悦效果”的和．‎ ‎(1) 试将y表示为x的函数；‎ ‎(2) 试确定当x取何值时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳？‎ 解：(1) 因为∠EOA＝∠FOB＝2x，所以弧EF、AE、BF的长分别为π－4x,2x,2x.(3分)‎ 连结OD，则由OD＝OE＝OF＝1，∠FOD＝∠EOD＝2x＋，‎ 所以DE＝DF＝＝＝(sinx＋cosx)．(6分)‎ 所以y＝2k[2(sinx＋cosx)＋π－4x]＋k(2＋4x)‎ ‎＝2k[2(sinx＋cosx)－2x＋＋π](9分)‎ ‎(2) 因为由y′＝4k[(cosx－sinx)－1]＝0，(11分)‎ 解得cos(x＋)＝，即x＝.(13分)‎ 又当x∈(0，)时，y′＞0，所以此时y在(0，)上单调递增；‎ 当x∈(，)时，y′＜0，所以此时y在(，)上单调递减．‎ 故当x＝时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳．(16分)‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 解：（1），则，‎ 即曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围是；------------4分 ‎（2）由（1）可知，---------------------------------------------------------6分 解得或，由或 得：；-------------------------------9分 ‎（3）设存在过点A的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B，‎ ‎，‎ ‎ 则切线方程是：，‎ ‎ 化简得：，--------------------------11分 ‎ 而过B的切线方程是， ‎ ‎ 由于两切线是同一直线，‎ ‎ 则有：，得，----------------------13分 ‎ 又由，‎ ‎ 即 ‎ ，即 ‎ 即，‎ ‎ 得，但当时，由得，这与矛盾。‎ ‎ 所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点。----------------------------------16分 ‎20．（本小题满分16分）‎ 已知数列，满足：．‎ ‎（1）若，求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，且．‎ ‎ ①记，求证：数列为等差数列；‎ ‎②若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项应满足的条件．‎ ‎20．解：（1）当时，有 ‎．‎ 又也满足上式，所以数列的通项公式是．……………4分 ‎（2）①因为对任意的，有，‎ 所以，，‎ 所以，数列为等差数列． …………………… 8分 ‎②设（其中为常数且，‎ 所以，，‎ 即数列均为以7为公差的等差数列． …………………… 10分 设．‎ ‎（其中为中一个常数）‎ 当时，对任意的，有； …………………… 12分 当时，．‎ ‎（Ⅰ）若，则对任意的有，所以数列为递减数列；‎ ‎（Ⅱ）若，则对任意的有，所以数列为递增数列．‎ 综上所述，集合．‎ 当时，数列中必有某数重复出现无数次；‎ 当时，数列均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．…… 16分 数学Ⅱ（理科附加题）‎ ‎21、、已知OA、OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，P是线段OA上一点，直线BP交⊙O于点Q，过Q作⊙O的切线交直线OA于点E，则∠OBP＋∠AQE的度数为 ‎ 证明：连结AB，则∠AQE＝∠ABP, 而OA＝OB，所以∠ABO＝45°.所以∠OBP＋∠AQE＝∠OBP＋∠ABP＝∠ABO＝45°.‎ ‎22、 如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F．‎ ‎⑴判断BE是否平分∠ABC，并说明理由． ⑵若AE=6，BE=8，求EF的长．‎ A B C O E F D ‎⑴BE平分∠ABC.∵CD＝AC，∴∠D=∠CAD. ∵AB＝AC，∴∠ABC=∠ACB，‎ ‎∵∠EBC=∠CAD，∴∠EBC=∠D=∠CAD.∵∠ABC=∠ABE+∠EBC，∠ACB=∠D+∠CAD，‎ ‎∴∠ABE=∠EBC，即BE平分∠ABC.‎ ‎⑵由⑴知∠CAD=∠EBC =∠ABE. ∵∠AEF=∠AEB，∴△AEF∽△BEA.∴，‎ ‎∵AE=6， BE=8.∴EF=；‎ ‎23. 某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校．该学生不同的报考方法种数是　　．（用数字作答）‎ ‎24．已知展开式的各项依次记为．‎ 设．‎ ‎（1）若的系数依次成等差数列，求的值；‎ ‎（2）求证：对任意，恒有.‎ ‎24．解：（1）依题意，，‎ 的系数依次为，，，‎ 所以，解得； ………4分 ‎（2）‎ 设，‎ 则 考虑到，将以上两式相加得：‎ 所以 又当时，恒成立，从而是上的单调递增函数，‎ 所以对任意，．‎ ‎ ………10分