2018-2019学年辽宁省大连市第二十四中学高二上学期期中数学试题（解析版） 15页

‎2018-2019学年辽宁省大连市第二十四中学高二上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．（2017新课标全国I理科）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为 A．1 B．2‎ C．4 D．8‎ ‎【答案】C ‎【解析】设公差为，，，联立解得，故选C.‎ 点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如为等差数列，若，则.‎ ‎2．若，，，则“”是“，，成等比数列”的（ ）‎ A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】由，，成等比数列，得，又推不出，推不出，得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，，成等比数列，，‎ 推不出，‎ 推不出，‎ ‎“”是“，，成等比数列”的既不充分也不必要条件.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查了推理能力，属于基础题.‎ ‎3．如果，那么下列不等式成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由于，不妨令，，代入各个选项检验，只有D正确，从而得出结论.‎ ‎【详解】‎ 解：由于，不妨令，，可得，，，故A不正确.‎ 可得，，，故B不正确.‎ 可得，，，故C不正确.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系，是一种简单有效的方法，属于基础题.‎ ‎4．设x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值是（ ）‎ A．－15 B．－9 C．1 D．9‎ ‎【答案】A ‎【解析】先作可行域，再根据目标函数所表示的直线，结合图象确定最优解.‎ ‎【详解】‎ 作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义得函数在点B(－6，－3)处取得最小值zmin＝－12－3＝－15.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查利用可行域求最值，考查数形结合思想方法以及基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎5．已知数列满足，，则的前10项和等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：设由题设可知数列是公比为,首项是的等比数列.故其前项和为,应选C.‎ ‎【考点】等比数列的定义及前项和的运用.‎ ‎6．已知一元二次不等式的解集为，则的解集为( )‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由已知条件代入解不等式组 ‎【详解】‎ 依题意知的解集为，‎ ‎，‎ 则，‎ 解得 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的定义域以及复合函数，将复合部分代入求出解集，较为基础。‎ ‎7．已知椭圆的标准方程为，点在椭圆上，是椭圆的右焦点，‎ 的最大值为，则的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】点在椭圆上，是椭圆的右焦点，，解得.利用即可得出.‎ ‎【详解】‎ 解：点在椭圆上，是椭圆的右焦点，的最大值为，‎ ‎，解得.‎ ‎.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.‎ ‎8．已知满足约束条件，当目标函数在约束条件下取到最小值时，的最小值为（ ）‎ A．5 B．4‎ C． D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】【详解】‎ 由得，∵，∴直线的斜率，作出不等式对应的平面区域如图，由图可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小．由，解得，即 ‎，此时目标函数的最小值为，即，所以点在直线上，则原点到直线的距离，即的最小值.故选B．‎ ‎【考点】1、简单线性规划；2、点到直线的距离．‎ ‎【思路点睛】‎ 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义确定取得最小值的条件，点在直线，而的几何意义为点到直线的距离的平方，将问题转化为求到直线的距离即可得到结论．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合求出目标函数取得最小值的条件是解决本题的关键．属于基础题．‎ ‎9．设椭圆的两个焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】为等腰直角三角形，，即得，解得。‎ ‎10．已知函数若数列满足，且是递增数列，那么实数的取值范围是（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】是递增数列．‎ 则单调递增．‎ ‎∴，即．‎ ‎∴．‎ 故选．‎ 点睛：解决数列的单调性问题可用以下三种方法：‎ ‎①用作差比较法，根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列；‎ ‎②用作商比较法，根据与1的大小关系及符号进行判断；‎ ‎③结合相应函数的图像直观判断，注意自变量取值为正整数这一特殊条件.‎ ‎11．已知，则的 (　　)‎ A．最大值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为 ‎【答案】A ‎【解析】由题意知，则，‎ 化简，利用基本不等式即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意知，则，‎ 又由，‎ 当且仅当，即时等号成立，所以最大值为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中根据题意，化简求得，再利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎12．椭圆C：的左右顶点分别为，点P在C上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设P点坐标为，则，，，‎ 于是，故.‎ ‎∵∴.故选B.‎ ‎【考点定位】直线与椭圆的位置关系 二、填空题 ‎13．已知命题，使得，则为______.‎ ‎【答案】，使得 ‎【解析】根据全称命题的否定是特称命题解答即可.‎ ‎【详解】‎ 解：，使得 ‎，使得 故答案为：，使得 ‎【点睛】‎ 本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.‎ ‎14．设等差数列的前项和为，，，.其中且，则______.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】设等差数列的，再由，，列出关于的方程组，从而得到.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以设，‎ 因为，，‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列前项和公式的灵活运用，考查从函数的角度认识数列问题，求解时要充分利用等差数列的前前项和公式必过原点这一隐含条件，从而使问题的计算量大大减少.‎ ‎15．若，，，则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由利用基本不等式可得，再次利用基本不等式可求.‎ ‎【详解】‎ ‎，，，‎ 则，‎ 当且仅当且时取得最小值，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题中要注意应用条件的合理配凑,属于基础题.‎ ‎16．不等式恒成立，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先从分离出参数，转化为对勾函数的最小值即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，，可得或，‎ 当时，显然不等式恒成立，此时；‎ 不等式，‎ 可得，‎ 令；‎ 设，，则，‎ 那么：（当且仅当取等号），‎ ‎，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数恒成立问题的求解，换元思想，对勾函数的最值的应用，属于基础题.‎ 三、解答题 ‎17．设命题:函数是上的减函数,命题:函数在的值域为.若“”为假命题,“”为真命题,求的取值范围.‎ ‎【答案】或.‎ ‎【解析】命题p中，根据指数函数的性质，求出a的范围，命题q，根据二次函数的性质，求出a的范围，因为“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，得p、q中一真一假，然后再分类讨论；‎ ‎【详解】‎ 解：命题p：∵函数是R上的减函数，‎ 由得 命题q：∵g（x）＝（x﹣2）2﹣1，在[0，a]上的值域为[﹣1，3]得2≤a≤4‎ ‎∵p且q为假，p或q为真，得p、q中一真一假．‎ 若p真q假，得 若p假q真，得 综上，a＜2或a≤4‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查指数函数的性质以及二次函数的性质，以及分类讨论思想的应用，属于基础题.‎ ‎18．解关于不等式：‎ ‎【答案】当时，；当时，；当时，；当时，；当时，‎ ‎【解析】试题分析：‎ 当时，；当时，‎ 当时，；当时，；当时，‎ ‎【考点】解不等式 点评：本题中的不等式带有参数，在求解时需对参数做适当的分情况讨论，题目中主要讨论的方向是：不等式为一次不等式或二次不等式，解二次不等式与二次方程的根有关，进而讨论二次方程的根的大小 ‎19．已知等比数列满足：，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）an＝·3n-1，或an＝－5·（－1）n-1．‎ ‎（2）不存在正整数m，使得≥1成立．‎ ‎【解析】试题分析：（1）将已知条件转化为等比数列的首项和公比表示，转化为关于的方程组，通过解方程组得到的值，从而得到数列的通项公式；（2）将数列的通项公式代入求和，分情况判断对应的不等式是否成立 试题解析：（1）设等比数列{an}的公比为q，‎ 则由已知可得 解得或 故an＝·3n－1，或an＝－5·（－1）n-1．‎ ‎（2）若an＝·3n－1，则＝·（）n－1．‎ 故{}是首项为，公比为的等比数列．‎ 从而．‎ 若an＝－5·（－1）n－1，则＝－（－1）n－1．‎ 故{}是首项为－，公比为－1的等比数列．‎ 从而＝故<1．‎ 综上，对任何正整数m，总有<1．‎ 故不存在正整数m，使得≥1成立．‎ ‎【考点】等比数列通项公式及求和公式 ‎20．已知点是直线被椭圆所截得的线段的中点.‎ ‎（Ⅰ）求直线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若椭圆的右顶点为，求的面积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）先判断直线的斜率存在，然后设出直线的方程为：，代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式，可得斜率，从而得直线的方程；（Ⅱ）用弦长公式算出弦长；用点到直线的距离公式算出点到直线 的距离；再代入面积公式算得面积即可.‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）由已知直线的斜率存在，设，代入，‎ 得，‎ 由，解得.‎ ‎.‎ ‎（Ⅱ）设，，‎ 由（Ⅰ）得，，，‎ 由得右顶点，到直线的距离，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与椭圆的综合，属于中档题.‎ ‎21．已知函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式及的最大值；‎ ‎（Ⅱ）令，其中，若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）， 12；（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据题意可得出，时，得出；时，，从而得出通项公式，解得出，从而可求出的最大值；‎ ‎（Ⅱ）可知，可由求出，从而得出的通项公式，再用错位相减法求和.‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ），点均在函数的图象上；‎ ‎；‎ 当时，；当时，；‎ ‎；‎ 令解得；‎ 当或时，取得最大值；‎ ‎（Ⅱ）由题意因为，且，所以；‎ 故的前项和①；②；‎ ‎①-②得：；‎ ‎；‎ 即.‎ ‎【点睛】‎ 考查函数图象上的点和函数解析式的关系，根据前项和公式求通项公式的方法，错位相减法求前项和公式的方法，以及等比数列的前项和公式，属于中档题.‎ ‎22．已知椭圆： 的离心率，左、右焦点分别为， ，点满足： 在线段的中垂线上．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若斜率为（）的直线与轴、椭圆顺次相交于点、、，且，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由在线段的中垂线上得 ，代入点坐标得，解得，再根据，得， ，（2）由，得，设，代入化简得， ，即，再利用直线方程与抛物线方程联立方程组，结合韦达定理及判别式恒大于零得， ,且．‎ 试题解析：（Ⅰ）椭圆的离心率，‎ 得，其中，椭圆的左、右焦点分别为， ， ‎ 又点在线段的中垂线上，∴ ，∴，‎ 解得， ， ，‎ ‎∴椭圆的方程为． ‎ ‎（Ⅱ）由题意，直线的方程为，且，联立，‎ 得，‎ 由，得,且．‎ 设，则有， （）‎ ‎∵，且由题意， ‎ ‎， 又 ‎， ， ，‎ 整理得，‎ 将（）代入得， ， 知此式恒成立，‎ 故直线斜率的取值范围是．‎ 点睛：直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.‎