2018-2019学年河南省濮阳市高二上学期期末考试数学（文）试题 解析版 18页

绝密★启用前 河南省濮阳市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知双曲线的一条渐近线平行于直线，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得双曲线的渐近线方程，由平行得斜率，进而可求离心率.‎ ‎【详解】‎ 双曲线的渐近线方程为：.‎ 由双曲线的一条渐近线平行于直线，可得：.‎ 则该双曲线的离心率为.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线的渐近线方程及离心率的求解，属于基础题.‎ ‎2．在等差数列中，，那么关于的方程（ ）‎ A．无实根 B．有两个相等实根 C．有两个不等实根 D．不能确定有无实根 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的性质即可求得a4+a6，再利用一元二次方程有实数根的充要条件是△≥0即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵数列{an}是等差数列，∴a2+a8=a4+a6=2a5，‎ ‎∵a2+a5+a8=12，∴3a5=12，∴a5=4，∴a4+a6=2a5=8，‎ 对于方程x2+（a4+a6）x+10=0，即为x2+8x+10=0，‎ ‎∵△=82﹣4×10=24＞0，‎ ‎∴此方程有两个不等实根．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 熟练掌握等差数列的性质和一元二次方程有实数根的充要条件是解题的关键．‎ ‎3．命题：，，若是真命题，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：若是真命题，即，当时显然满足题意，当时，不满足题意，当时，，解得，综上有，故选D．‎ 考点：二次函数的性质，一元二次不等式问题．‎ ‎4．已知点，若动点的坐标满足，则的最小值为（ ）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，结合题中的意思，能够得到表示区域内的点到点的距离，可以得到其最小距离为点A到直线的距离，应用点到直线的距离公式求得结果.‎ 详解：根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，‎ 表示区域内的点到点的距离，‎ 由图可知，其最小距离为点A到直线的距离，‎ 即，故选A.‎ 点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，分析其几何意义，表示的是两点之间的距离，应用点到直线的距离公式求得结果.要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.‎ ‎5．已知函数，其导函数的图象如图，则对于函数的描述正确的是（ ）‎ A．在上为减函数 B．在处取得最大值 C．在上为减函数 D．在处取得最小值 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0，然后根据单调性与导数的关系以及极值的定义可进行判定即可．‎ 详解：根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知：‎ f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0‎ 当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x2时，f′（x）＜0，f（x）递减；‎ 当2＜x＜4时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞4时，f′（x）＜0，f（x）递减．‎ 可知C正确，A错误；‎ 由极值的定义可知，f（x）在x=0处函数f（x）取到极大值，x=2处函数f（x）的极小值点，但极大值不一定为最大值，极小值不一定是最小值；可知B、D错误．‎ 故选：C．‎ 点睛：由导函数图象推断原函数的性质，由f′（x）＞0得增区间，由f′（x）＜0得减区间，由f′（x）=0得到的不一定是极值点，需判断在此点左右f′（x）的符号是否发生改变.‎ ‎6．在中，，，，，则（ ）‎ A．或 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三角形面积公式可得，进而可得解.‎ ‎【详解】‎ 在中，，，,‎ ‎，可得，所以，‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角形的面积公式，属于基础题.‎ ‎7．下列说法正确的是（ ）‎ A．“函数为奇函数”是“”的充分不必要条件 B．在中，“”是“”的既不充分也不必要条件 C．若命题为假命题，则都是假命题 D．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 函数为奇函数，函数的定义域为时，才成立，故选项A错误；因为是在三角形中，所以“”是“”成立的充要条件，故选项B错误；若命题为假命题，则至少有一个为假命题，故选项C错误；故选D．‎ ‎8．设数列的前项和为，若，则（ ）‎ A． B． C．27 D．-27‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用数列的递推公式：当时，，当时，利用数列的递推关系式，结合等比数列的定义，得到数列的通项公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，可知数列满足，‎ 当时，，即，解得，‎ 当时，可得，又由，‎ 两式相减可得，整理得，即，‎ 所以数列表示首项为，公比为3的等比数列，‎ 可得，所以，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数列的通项公式的求解，以及数列中通项与的关系的应用，其中解答中合理利用数列的递推关系式，得到数列为等比数列是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎9．已知满足，且，那么下列选项中一定成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，可得a＞0，c＜0，进而利用作差法或特殊值法可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎∵a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，∴a＞0，c＜0，可得：‎ A．ab﹣ac＝a（b﹣c）＞0，正确．‎ B．c（b﹣a）＞0，不正确．‎ C．取b＝0时，不正确；‎ D．∵a+c可能小于等于0，可得ac（a+c）≥0，不正确．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式的性质，属于基础题．‎ ‎10．定义在上函数，若，则下列各式正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．与大小不定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知条件对分两中情况分类讨论，得到函数的单调性，即可进行比较，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，当时，则，当时，则，‎ 即函数的单调递增区间为，单调递减区间为，‎ 所以，‎ 将上述两个式子相加得，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的单调性的应用，其中解答中利用导数的符号确定函数的单调性，并利用函数的单调性进行比较是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎11．为了测量某塔的高度，某人在一条水平公路两点进行测量.在点测得塔底在南偏西，塔顶仰角为，此人沿着南偏东方向前进10米到点，测得塔顶的仰角为，则塔的高度为（ ）‎ A．5米 B．10米 C．15米 D．20米 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出塔高为h，画出几何图形，根据直角三角形的边角关系和余弦定理，即可求出h 的值．‎ ‎【详解】‎ 如图所示：‎ 设塔高为AB＝h，‎ 在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，‎ 则BC＝AB＝h；‎ 在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，则BDh；‎ 在△BCD中，∠BCD＝120°，CD＝10，‎ 由余弦定理得：BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CDcos∠BCD，‎ 即（h）2＝h2+102﹣2h×10×cos120°，‎ ‎∴h2﹣5h﹣50＝0，解得h＝10或h＝﹣5（舍去）；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了解三角形的实际应用问题，也考查了将实际问题转化为解三角形的应用问题，是中档题．‎ ‎12．已知、分别为双曲线的左右焦点，左右顶点为、，是双曲线上任意一点，则分别以线段、为直径的两圆的位置关系为（ ）‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．以上情况均有可能 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，讨论若P在双曲线的右支上和P 在双曲线的左支上，结合双曲线的定义和中位线定理，以及两圆位置关系的判断方法，计算可得所求结论．‎ ‎【详解】‎ 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，‎ 若P在双曲线的右支上，可得m﹣n＝2a，‎ 设PF1的中点为H，由中位线定理可得 可得|OH|n（m﹣2a）m﹣a，‎ 即有以线段PF1、A1A2为直径的两圆相内切；‎ 若P在双曲线的左支上，可得n﹣m＝2a，‎ 设PF1的中点为H，由中位线定理可得 可得|OH|n（m+2a）m+a，‎ 即有以线段PF1、A1A2为直径的两圆相外切．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的定义和两圆的位置关系，注意运用定义法和三角形的中位线定理，属于中档题．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．若，则的最小值为____．‎ ‎【答案】19‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，可得，进而可由展开，利用基本不等式即可得解.‎ ‎【详解】‎ 由，可得.‎ ‎.‎ 当且仅当，即时，取得最小值19.‎ 故答案为：19.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了灵活利用基本不等式求和的最值，属于基础题.‎ ‎14．若数列的通项公式为，则其前项和达到最小值时，____．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由数列的通项公式为，求得当时，，当时，，即可判定，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 因为数列的通项公式为，‎ 令，即，解得，‎ 所以当时，，当时，，‎ 所以数列的前n项和达到最小值，此时.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列的前n项的最值问题，其中解答中把等差数列的前n项和的最值问题转化为数列的通项的正负判定问题是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎15．已知椭圆的上下顶点分别为，，右焦点为，右顶点为，若直线与直线交于点，且为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知，由，结合坐标运算即可得解.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，且.‎ 当为钝角时，，‎ 此时，即，有，又解得， ‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用向量的坐标运算解决夹角问题，属于中档题.‎ ‎16．若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，求导f′（x）＝x2+2x＝x（x+2）确定函数的单调性，从而作出函数的简图，由图象求实数a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 由题意，f′（x）＝x2+2x＝x（x+2），‎ 故f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上是增函数，‎ 在（﹣2，0）上是减函数，‎ 作其图象如图，‎ 令x3+x2得，‎ x＝0或x＝﹣3；‎ 则结合图象可知，‎ ‎；‎ 解得，a∈[﹣3，0）；‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的综合应用及学生作图识图的能力，属于中档题．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知不等式的解集为集合，的解集为集合.‎ ‎（1）求集合和；‎ ‎（2）当时，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）,B=； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用一元二次不等式的解法解不等式可求出集合； “”是“‎ ‎”的必要条件，则，根据集合的包含关系得到关于的不等式组，解出即可．‎ ‎【详解】‎ 的解集为集合A，‎ ‎；‎ 的解集为集合B，‎ ‎；‎ 当时：‎ ‎，‎ 若“”是“”的必要条件，‎ 则，‎ 则，解得：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式的解法，考查集合的包含关系，是一道常规题．集合的基本运算的关注点：‎ ‎（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；‎ ‎（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；‎ ‎（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和图．‎ ‎18．在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于不同的两点.‎ ‎（1）如果直线的方程为，求弦的长；‎ ‎（2）如果直线过抛物线的焦点，求的值.‎ ‎【答案】（1）8（2）-3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直线与抛物线联立，由两点间距离公式结合韦达定理求解即可；‎ ‎（2）设直线方程为：，与抛物线联立，由，结合韦达定理代入求解即可.‎ ‎【详解】‎ 设，.‎ ‎（1）联立得：.‎ 由韦达定理得：，.‎ ‎∴ .‎ ‎（2）由直线过抛物线焦点且与抛物线有两个不同交点，‎ 故可设方程为：，‎ 联立得：，‎ 由韦达定理：，，‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了设而不求的思想，属于基础题.‎ ‎19．已知的内角所对的边分别为，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，，求的面积.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用已知条件通过正弦定理，即可求解角A的大小，得到答案；‎ ‎（2）由题意，利用余弦定理求出边，然后利用三角形的面积公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵，‎ 由正弦定理可得，‎ 即 ‎∴，是的内角，∴，∴‎ ‎（2）∵，.‎ 由余弦定理可得：，‎ 即：‎ 可得，又，∴，‎ 的面积.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形问题，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到，着重考查了推理与计算能力.‎ ‎20．已知等差数列的各项均为正数，前项和为，且满足，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，且，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2） ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设数列的首项为，公差为，且，由题意，得，解方程求解即可；‎ ‎（2）利用累加法得到，从而得，，进而利用裂项相消法求和即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设数列的首项为，公差为，且.‎ 则由题意，得 解之得或（舍）‎ ‎∴.‎ ‎（2）由得 以上等式左右相加得，又，‎ ‎∴，‎ ‎.‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列的基本量运算及累加法求通项公式，裂项相消法求数列的和，属于中档题.‎ ‎21．（1）在圆内直径所对的圆周角是直角.此定理在椭圆内（以焦点在轴上的标准形式为例）可表述为“过椭圆的中心的直线交椭圆于两点，点是椭圆上异于的任意一点，当直线，斜率存在时，它们之积为定值.”试求此定值；‎ ‎（2）在圆内垂直于弦的直径平分弦.类比（1）将此定理推广至椭圆，不要求证明.‎ ‎【答案】（1）定值为 (2)见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，，由椭圆的对称性可知，由两点间的斜率坐标表示及点在椭圆上的等量关系化简可得解；‎ ‎（2）类比第一问，利用坐标运算求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设，，由椭圆的对称性可知 ‎∵直线，的斜率存在，‎ ‎∴ ①‎ 又∵在椭圆上 ‎∴， ②‎ 将②代入①得 ‎ 故此定值为.‎ ‎（2）此定理在椭圆内可表述为：‎ 为椭圆的任意一条存在斜率的弦，的中点为，为坐标原点.当直线的斜率存在时，直线与直线的斜率之积为定值.‎ 设，，则 ‎ ①‎ 又∵在椭圆上 ‎∴， ②‎ 将②代入①得 ‎ 故此定值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题以类比的形式考查椭圆中的几何关系坐标化的运算求解，涉及斜率的坐标表示，属于中档题.‎ ‎22．设函数，若函数在处与直线相切.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）求函数在上的最大值.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，计算，，根据对应关系求出a，b的值即可；‎ 求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值问题．‎ ‎【详解】‎ 的定义域是，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 故函数在的切线方程是：‎ ‎，‎ 即，‎ 而，‎ 故，‎ 解得：，；‎ 由，‎ ‎，‎ 令，解得：，‎ 令，解得：，‎ 故在递减，在递增，‎ ‎，‎ 故．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道基础题．‎