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  • 2021-06-09 发布

2019届二轮复习(文)第九章平面解析几何第5节课件(44张)(全国通用)

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第 5 节 椭 圆 最新考纲  掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质 . 1. 椭圆的定义 在平面内与两定点 F 1 , F 2 的距离的和等于常数 ( 大于 | F 1 F 2 |) 的点的轨迹叫 做 ______ . 这两定点叫做椭圆 的 ______ , 两焦点间的距离叫做椭圆 的 _______ . 其数学表达式:集合 P = { M || MF 1 | + | MF 2 | = 2 a } , | F 1 F 2 | = 2 c ,其中 a > 0 , c > 0 ,且 a , c 为常数: (1) 若 _______ , 则集合 P 为椭圆; (2) 若 _______ , 则集合 P 为线段; (3) 若 _______ , 则集合 P 为空集 . 知 识 梳 理 椭圆 焦点 焦距 a > c a = c a < c 2. 椭圆的标准方程和几何性质 2 a 2 b 2 c (0 , 1) a 2 - b 2 [ 常用结论与微点提醒 ] 1. 椭圆的常用性质 2. 椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式 . 例如,- a ≤ x ≤ a ,- b ≤ y ≤ b , 0 < e < 1 等,在求椭圆相关量的范围时,要注意应用这些不等关系 . 诊 断 自 测 1. 思考辨析 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) (1) 平面内与两个定点 F 1 , F 2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆 .(    ) (2) 椭圆的离心率 e 越大,椭圆就越圆 .(    ) (3) 椭圆既是轴对称图形,又是中心对称图形 .(    ) (4) 方程 mx 2 + ny 2 = 1( m >0 , n >0 , m ≠ n ) 表示的曲线是椭圆 .(    ) 答案  (1) ×   (2) ×   (3) √   (4) √   (5) √ 答案  B 答案  A 答案   B 解析  设 P ( x , y ) ,由题意知 c 2 = a 2 - b 2 = 5 - 4 = 1 , 所以 c = 1 ,则 F 1 ( - 1 , 0) , F 2 (1 , 0) ,由题意可得点 P 到 x 轴的距离为 1 ,所以 y = ±1 , 考点一 椭圆的定义及其应用 【例 1 】 (1) 如图,圆 O 的半径为定长 r , A 是圆 O 内一个定点, P 是圆上任意一点,线段 AP 的垂直平分线 l 和半径 OP 相交于点 Q ,当点 P 在圆上运动时,点 Q 的轨迹是 (    ) A. 椭圆 B. 双曲线 C . 抛物线 D. 圆 解析   (1) 连接 QA . 由已知得 | QA | = | QP |. 所以 | QO | + | QA | = | QO | + | QP | = | OP | = r . 又因为点 A 在圆内,所以 | OA | < | OP | ,根据椭圆的定义,点 Q 的轨迹是以 O , A 为焦点, r 为长轴长的椭圆 . 故选 A. (2) 由题意得 | PF 1 | + | PF 2 | = 2 a ,又 ∠ F 1 PF 2 = 60° , 所以 | PF 1 | 2 + | PF 2 | 2 - 2| PF 1 || PF 2 |cos 60° = | F 1 F 2 | 2 , 所以 (| PF 1 | + | PF 2 |) 2 - 3| PF 1 || PF 2 | = 4 c 2 , 答案   (1)A   (2)3 规律方法   (1) 椭圆定义的应用主要有两个方面:一是判定平面内动点的轨迹是否为椭圆;二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等 . (2) 椭圆的定义式必须满足 2 a > | F 1 F 2 |. 考点二 椭圆的标准方程 规律方法  求椭圆方程的基本方法是待定系数法,先定位,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后根据条件建立关于 a , b 的方程组,如果焦点位置不确定,可设椭圆方程为 mx 2 + ny 2 = 1( m > 0 , n > 0 , m ≠ n ) ,求出 m , n 的值即可 . 考点三 椭圆的几何性质 答案   (1)A   (2)A 规律方法   (1) 求椭圆离心率的方法 ① 直接求出 a , c 的值,利用离心率公式直接求解 . ② 列出含有 a , b , c 的齐次方程 ( 或不等式 ) ,借助于 b 2 = a 2 - c 2 消去 b ,转化为含有 e 的方程 ( 或不等式 ) 求解 . (2) 利用椭圆几何性质求值或范围的思路 求解与椭圆几何性质有关的参数问题时,要结合图形进行分析,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的关系 . 考点四 直线与椭圆的位置关系 规律方法   (1) 解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题 . 涉及弦中点的问题常常用 “ 点差法 ” 解决,往往会更简单 . (2) 设直线与椭圆的交点坐标为 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , 提醒   利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的,不要忽略判别式 . 【训练 4 】 (2016· 全国 Ⅰ 卷 ) 设圆 x 2 + y 2 + 2 x - 15 = 0 的圆心为 A ,直线 l 过点 B (1 , 0) 且与 x 轴不重合, l 交圆 A 于 C , D 两点,过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E . ( 1) 证明 | EA | + | EB | 为定值,并写出点 E 的轨迹方程; ( 2) 设点 E 的轨迹为曲线 C 1 ,直线 l 交 C 1 于 M , N 两点,过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P , Q 两点,求四边形 MPNQ 面积的取值范围 . (1) 证明  因为 | AD | = | AC | , EB ∥ AC , 故 ∠ EBD = ∠ ACD = ∠ ADC ,所以 | EB | = | ED | , 故 | EA | + | EB | = | EA | + | ED | = | AD |. 又圆 A 的标准方程为 ( x + 1) 2 + y 2 = 16 ,从而 | AD | = 4 ,

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