2019届二轮复习（文）第九章平面解析几何第5节课件（44张）（全国通用） 44页

第 5 节　椭　圆 最新考纲　 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质 . 1. 椭圆的定义 在平面内与两定点 F 1 ， F 2 的距离的和等于常数 ( 大于 | F 1 F 2 |) 的点的轨迹叫 做 ______ . 这两定点叫做椭圆 的 ______ ， 两焦点间的距离叫做椭圆 的 _______ . 其数学表达式：集合 P ＝ { M || MF 1 | ＋ | MF 2 | ＝ 2 a } ， | F 1 F 2 | ＝ 2 c ，其中 a ＞ 0 ， c ＞ 0 ，且 a ， c 为常数： (1) 若 _______ ， 则集合 P 为椭圆； (2) 若 _______ ， 则集合 P 为线段； (3) 若 _______ ， 则集合 P 为空集 . 知 识 梳 理 椭圆 焦点 焦距 a ＞ c a ＝ c a ＜ c 2. 椭圆的标准方程和几何性质 2 a 2 b 2 c (0 ， 1) a 2 － b 2 [ 常用结论与微点提醒 ] 1. 椭圆的常用性质 2. 椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式 . 例如，－ a ≤ x ≤ a ，－ b ≤ y ≤ b ， 0 ＜ e ＜ 1 等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系 . 诊 断 自 测 1. 思考辨析 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) (1) 平面内与两个定点 F 1 ， F 2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆 .( 　　 ) (2) 椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆 .( 　　 ) (3) 椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 .( 　　 ) (4) 方程 mx 2 ＋ ny 2 ＝ 1( m >0 ， n >0 ， m ≠ n ) 表示的曲线是椭圆 .( 　　 ) 答案　 (1) × 　 (2) × 　 (3) √ 　 (4) √ 　 (5) √ 答案　 B 答案　 A 答案 　 B 解析　 设 P ( x ， y ) ，由题意知 c 2 ＝ a 2 － b 2 ＝ 5 － 4 ＝ 1 ， 所以 c ＝ 1 ，则 F 1 ( － 1 ， 0) ， F 2 (1 ， 0) ，由题意可得点 P 到 x 轴的距离为 1 ，所以 y ＝ ±1 ， 考点一　椭圆的定义及其应用 【例 1 】 (1) 如图，圆 O 的半径为定长 r ， A 是圆 O 内一个定点， P 是圆上任意一点，线段 AP 的垂直平分线 l 和半径 OP 相交于点 Q ，当点 P 在圆上运动时，点 Q 的轨迹是 ( 　　 ) A. 椭圆 B. 双曲线 C . 抛物线 D. 圆 解析 　 (1) 连接 QA . 由已知得 | QA | ＝ | QP |. 所以 | QO | ＋ | QA | ＝ | QO | ＋ | QP | ＝ | OP | ＝ r . 又因为点 A 在圆内，所以 | OA | ＜ | OP | ，根据椭圆的定义，点 Q 的轨迹是以 O ， A 为焦点， r 为长轴长的椭圆 . 故选 A. (2) 由题意得 | PF 1 | ＋ | PF 2 | ＝ 2 a ，又 ∠ F 1 PF 2 ＝ 60° ， 所以 | PF 1 | 2 ＋ | PF 2 | 2 － 2| PF 1 || PF 2 |cos 60° ＝ | F 1 F 2 | 2 ， 所以 (| PF 1 | ＋ | PF 2 |) 2 － 3| PF 1 || PF 2 | ＝ 4 c 2 ， 答案 　 (1)A 　 (2)3 规律方法 　 (1) 椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等 . (2) 椭圆的定义式必须满足 2 a ＞ | F 1 F 2 |. 考点二　椭圆的标准方程 规律方法 　求椭圆方程的基本方法是待定系数法，先定位，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于 a ， b 的方程组，如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为 mx 2 ＋ ny 2 ＝ 1( m ＞ 0 ， n ＞ 0 ， m ≠ n ) ，求出 m ， n 的值即可 . 考点三　椭圆的几何性质 答案 　 (1)A 　 (2)A 规律方法 　 (1) 求椭圆离心率的方法 ① 直接求出 a ， c 的值，利用离心率公式直接求解 . ② 列出含有 a ， b ， c 的齐次方程 ( 或不等式 ) ，借助于 b 2 ＝ a 2 － c 2 消去 b ，转化为含有 e 的方程 ( 或不等式 ) 求解 . (2) 利用椭圆几何性质求值或范围的思路 求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系 . 考点四　直线与椭圆的位置关系 规律方法 　 (1) 解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题 . 涉及弦中点的问题常常用 “ 点差法 ” 解决，往往会更简单 . (2) 设直线与椭圆的交点坐标为 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 提醒 　 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式 . 【训练 4 】 (2016· 全国 Ⅰ 卷 ) 设圆 x 2 ＋ y 2 ＋ 2 x － 15 ＝ 0 的圆心为 A ，直线 l 过点 B (1 ， 0) 且与 x 轴不重合， l 交圆 A 于 C ， D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E . ( 1) 证明 | EA | ＋ | EB | 为定值，并写出点 E 的轨迹方程； ( 2) 设点 E 的轨迹为曲线 C 1 ，直线 l 交 C 1 于 M ， N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P ， Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围 . (1) 证明 　因为 | AD | ＝ | AC | ， EB ∥ AC ， 故 ∠ EBD ＝ ∠ ACD ＝ ∠ ADC ，所以 | EB | ＝ | ED | ， 故 | EA | ＋ | EB | ＝ | EA | ＋ | ED | ＝ | AD |. 又圆 A 的标准方程为 ( x ＋ 1) 2 ＋ y 2 ＝ 16 ，从而 | AD | ＝ 4 ，