人教A版理科数学课时试题及解析（31）数列的综合应用 5页

课时作业(三十一)　[第31讲　数列的综合应用]‎ ‎[时间：45分钟　分值：100分]‎ ‎1． “lgx，lgy，lgz成等差数列”是“y2＝xz”成立的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2． 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S9＝－18，S13＝－52，等比数列{bn}中，b5＝a5，b7＝a7，那么b15的值为(　　)‎ A．64 B．－‎64 C．128 D．－128‎ ‎3． 设正项等比数列{an}，{lgan}成等差数列，公差d＝lg3，且{lgan}的前三项和为6lg3，则数列{an}的通项公式为(　　)‎ A．nlg3 B．3n C．3n D．3n－1‎ ‎4．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比为(　　)‎ A．2 B．‎3 C. D. ‎5． 成等比数列的三个数a＋8，a＋2，a－2分别为等差数列的第1、4、6项，则这个等差数列前n项和的最大值为(　　)‎ A．120 B．‎90 C．80 D．60‎ ‎6． 已知函数f(x)满足f(x＋1)＝＋f(x)，x∈R，且f(1)＝，则数列{f(n)}(n∈N*)的前20项的和为(　　)‎ A．305 B．‎315 C．325 D．335‎ ‎7． 已知等差数列{an}的首项a1及公差d都是整数，前n项和为Sn，若a1>1，a4>3，S3≤9，设bn＝，则使b1＋b2＋…＋bn<成立的最大n值为(　　)‎ A．97 B．‎98 C．99 D．100‎ 图K31－1‎ ‎8．2011年，我国南方省市遭遇旱灾以及洪水灾害，为防洪抗旱，某地区大面积植树造林，如图K31－1，在区域{(x，y)|x≥0，y≥0}内植树，第一棵树在点A1(0,1)，第二棵树在点B1(1,1)，第三棵树在点C1(1,0)，第四棵树在点C2(2,0)，接着按图中箭头方向每隔一个单位种一棵树，那么第2011棵树所在的点的坐标是(　　)‎ A．(13,44) B．(12,44)‎ C．(13,43) D．(14,43)‎ ‎9． 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距‎10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为(　　)‎ A．①和⑳ B．⑨和⑩ C．⑨和⑪ D．⑩和⑪ ‎ ‎10． 已知等差数列{an}，对于函数f(x)＝x5＋x3满足：f(a2－2)＝6，f(a2 010－4)＝－6，Sn是其前n项和，则S2 011＝________.‎ ‎11． 已知an＝2n－1(n∈N＋)，把数列{an}的各项排成如图K31－2所示的三角数阵，记S(m，n)表示该数阵中第m行中从左到右的第n个数，则S(10,6)对应数阵中的数是________．‎ ‎1‎ ‎3　5‎ ‎7　9　11‎ ‎13　15　17　19‎ ‎……‎ 图K31－2‎ 图K31－3‎ ‎12． 如图K31－3所示，已知正方形ABCD的边长为1，以A为圆心，AD长为半径画弧，交BA的延长线于P1，然后以B为圆心，BP1长为半径画弧，交CB的延长线于P2，再以C为圆心，CP2长为半径画弧，交DC的延长线于P3，再以D为圆心，DP3长为半径画弧，交AD的延长线于P4，再以A为圆心，AP4长为半径画弧，…，如此继续下去，画出的第8道弧的半径是________，画出第n道弧时，这n道弧的弧长之和为________．‎ ‎13． 已知奇函数f(x)是定义在R上的增函数，数列{xn}是一个公差为2的等差数列，满足f(x8)＋f(x9)＋f(x10)＋f(x11)＝0，则x2 011的值等于________．‎ ‎14．(10分) 某旅游景点2010年利润为100万元，因市场竞争，若不开发新项目，预测从2011年起每年利润比上一年减少4万元.2011年初，该景点一次性投入90万元开发新项目，预测在未扣除开发所投入资金的情况下，第n年(n为正整数，2011年为第1年)的利润为100万元．‎ ‎(1)设从2011年起的前n年，该景点不开发新项目的累计利润为An万元，开发新项目的累计利润为Bn万元(须扣除开发所投入资金)，求An、Bn的表达式；‎ ‎(2)依上述预测，该景点从第几年开始，开发新项目的累计利润超过不开发新项目的累计利润？‎ ‎15．(13分) 已知直线l的方程为3x－2y－1＝0，数列{an}的前n项和为Sn，点(an，Sn)在直线l上．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求f(n)＝(n∈N＋)的最大值．‎ ‎16．(12分) 某市为了解决交通拥堵问题，一方面改建道路、加强管理，一方面控制汽车总量增长，交管部门拟从2012年1月起，在一段时间内，对新车上牌采用摇号(类似于抽签)的方法进行控制，制定如下方案：①每月进行一次摇号，从当月所有申请用户以及以前没有摇到号的申请用户中，摇出当月上牌的用户，摇到号的用户不再参加以后的摇号；②当月没有摇到号的申请者自动加入下一个月的摇号，不必也不能重复申请，预计2012年1月申请车牌的用户有‎10a个，以后每个月又有a个新用户申请车牌．计划2012年1月发放车牌a个，以后每月发放车牌数比上月增加5%.以2012年1月为第一个月，设前n(n∈N*)个月申请车牌用户的总数为an，前n个月发放车牌的总数为bn，使得an>bn成立的最大正整数为n0.(参考数据：1.0516＝2.18,1.0517＝2.29,1.0518＝2.41)‎ ‎(1)求an、bn关于n的表达式，直接写出n0的值，说明n0的实际意义；‎ ‎(2)当n≤n0，n∈N*时，设第n个月中签率为yn，求证：中签率yn随着n的增加而增大．‎ 课时作业(三十一)‎ ‎【基础热身】‎ ‎1．A　[解析] 若lgx，lgy，lgz成等差数列，则2lgy＝lgx＋lgz，即lgy2＝lgxz，则y2＝xz，‎ 若y2＝xz，当x，z都取负数时，lgx，lgz无意义，故选A.‎ ‎2．B　[解析] 设等差数列{an}的公差为d，则 解得 ‎∴b5＝a5＝a1＋4d＝－2，b7＝a7＝a1＋6d＝－4，‎ 设等比数列{bn}的公比为q，则q2＝＝2，‎ b15＝b7q8＝－4×24＝－64，故选B.‎ ‎3．B　[解析] 依题意有3lga1＋3lg3＝6lg3，即a1＝3.‎ 设等比数列{an}的公比为q，则 q＝，lgq＝lga2－lga1＝d＝lg3，解得q＝3，‎ 所以an＝3×3n－1＝3n，故选B.‎ ‎4．D　[解析] 设公比为q，又4S2＝S1＋3S3，即4(a1＋a1q)＝a1＋3(a1＋a1q＋a1q2)，解得{an}的公比q＝.‎ ‎【能力提升】‎ ‎5．B　[解析] 由a＋8，a＋2，a－2成等比数列，得 ‎(a＋2)2＝(a＋8)(a－2)，解得a＝10，‎ 设等差数列为{an}，公差为d，则a1＝18，a4＝12，a6＝8，‎ ‎∴2d＝a6－a4＝－4，d＝－2，‎ 则这个等差数列前n项和为 Sn＝18n＋×(－2)‎ ‎＝－n2＋19n＝－2＋，‎ ‎∴当n＝10或n＝9时，Sn有最大值90，故选B.‎ ‎6．D　[解析] 由已知f(x＋1)－f(x)＝，则数列{f(n)}是等差数列，公差为，其前20项和为20×＋×＝335，故选D.‎ ‎7．B　[解析] 由a4>3，S3≤9，得a1＋3d>3，且‎3a1＋3d≤9，‎ ‎∴3－a1<3d≤9－‎3a1,‎2a1<6，则a1<3，即10.‎ 若m与m＋6关于原点不对称，则m＋2与m＋4也关于原点不对称，‎ ‎∵f(x)是奇函数，即f(－x)＝－f(x)，‎ ‎∴f(m)＋f(m＋2)＋f(m＋4)＋f(m＋6)≠0，矛盾，‎ ‎∴m与m＋6关于原点对称，则m＋2与m＋4关于原点对称，‎ 则m＝－3，x8＝－3，x2 011＝x8＋(2 011－8)×2＝4 003.‎ ‎14．[解答] (1)依题意，An是首项为100－4＝96，公差为－4的等差数列的前n项和，‎ 所以An＝96n＋×(－4)＝98n－2n2；‎ 数列的前n项和为100n＋×＝100n＋50，‎ Bn＝100n＋50－90＝100n－40－.‎ ‎(2)由(1)得，Bn－An＝－(98n－2n2)＝2n＋2n2－40－，Bn－An是数集N*上的单调递增数列，‎ 观察并计算知B4－A4＝－<0，B5－A5>0，所以从第5年开始，开发新项目的累计利润超过不开发新项目的累计利润．‎ ‎15．[解答] (1)由题意知3an－2Sn－1＝0，①‎ 则3an＋1－2Sn＋1－1＝0，②‎ ‎②－①得an＋1＝3an，‎ 所以数列{an}是公比为3的等比数列．‎ 由‎3a1－2S1－1＝0，得a1＝1，‎ 所以an＝3n－1.‎ ‎(2)由①知，2Sn＝3an－1，所以bn＝＝3n，‎ Tn＝＝.‎ f(n)＝＝＝＝≤.‎ 当且仅当n＝，即n＝4时，等号成立．‎ 所以f(n)的最大值为f(4)＝.‎ ‎【难点突破】‎ ‎16．[解答] (1)an＝‎10a＋(n－1)a＝(n＋9)a，bn＝＝‎20a(1.05n－1)，‎ 由an>bn得，n0＝17，‎ 说明第17个月以后，该项政策可以取消，不需要摇号就可以直接上牌．‎ ‎(2)证明：当n＝1时，y1＝，‎ 当1bn，∴an－an－1>bn－bn－1>0，‎ ‎∴0yn－1，‎ 所以y1