数学理卷·2018届吉林省长春市十一高中高二下学期期初考试（2017-04） 10页

‎2016-2017学年度高二下学期期初考试 ‎ 数 学 试 题（理科）‎ 第Ⅰ卷（共 60 分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是符合题目要求的.‎ (1) 某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家，为掌握各类超市的营 ‎ 业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市 ‎ A. 70家 B.50家 C.20家 D.10家 ‎2．从装有两个红球两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是 ‎ A．“至少有一个黑球”与“都是黑球” B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”‎ ‎ C．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球” D．“至少有一个黑球”与“都是红球 (3) 甲、乙两人有三个不同的学习小组可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学 ‎ 习小组，则两人参加同一个学习小组的概率为 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎4．在区间上随机选取两个数和，则的概率为 ‎ A. B． C． D．‎ 5． 对具有线性相关关系的变量x， y，有一组观测数据，其回归直 ‎ 线方程是且，则实数的值是 ‎ ‎ A. B． C． D．‎ ‎6．某工厂生产某种产品的产量 (吨)与相应的生产能耗 (吨标准煤)有下表的样本 ‎ 数据，据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其 ‎ 回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的回归直线方程是 ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ 开 始 是 S=0,i=1‎ S=S+2i-2‎ i=i+1‎ S>ai ?‎ 否 输出S 结束 ‎ ‎ ‎ ‎ A. ‎ ‎ ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ 7． 执行如图所示的程序框图，若，则 ‎ 输出的值为 ‎ A．10 B．12 ‎ ‎ C.14 D．16‎ ‎8．记98与63的最大公约数为，二进制数化为十进制的数为，则 ‎ A.53 B.54 C.58 D.60‎ 9． 如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数y=x2图象下方的点构成的 ‎ 区域，向区域D中随机投一点，则该点落入区域E中的概率为 ‎ A. B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎ ‎ 10． 将5名学生分到A,B,C三个不同宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不 ‎ 到A宿舍的不同分法有 ‎ A. 18种 B. 36种 C. 48种 D. 60种 11． 椭圆的左右焦点分别为,为椭圆上任一点且 ‎ 最大值取值范围是，其中，则椭圆离心率的取值 ‎ 范围是 ‎ A. B. C. D.‎ 12. 已知，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 ‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷（共 90 分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每题5分，共20分 13． 在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率 ‎ 为 .‎ 14. 已知的展开式的各项系数和比的二项式系数和大992 ，则 ‎ 的展开式中，二项式系数的最大值为 .(用数字作答）‎ ‎15.某路段属于限速路段，规定通过该路段的汽车时速不得超过70km/h，否则视为违 ‎ ‎ ‎ 规扣分，某天有1000辆汽车经过了该路段，经过雷达测速得到这些汽车运行时速的 ‎ 频率分布直方图，如图所示，则违规扣分的汽车大约为 辆.‎ ‎16.已知抛物线的焦点为，是抛物线准线上一点，是直线与抛物线 ‎ 的一个交点，若，则直线的方程为 ．‎ 三、 解答题：本题共5小题，每小题14分，共70分，解答时要写出必要的文字说明，‎ ‎ 推理过程和演算步骤 ‎17．用数字0、2、3、4、6按下列要求组数，计算：‎ ‎ （1）能组成多少个没有重复数字的三位数？（7分）‎ ‎ （2）可以组成多少个可以被3整除的没有重复数字的三位数？（7分）‎ ‎ ‎ 18． 某市司法部门为了宣传《宪法》举办法 ‎ 律知识问答活动，随机对该市18～68岁 ‎ 的人群抽取一个容量为的样本，并将样 ‎ 本数据分成五组：‎ ‎ ， ‎ ‎ 再将其按从左到右的顺序分别编号为第 ‎ 1组，第2组，…，第5组，绘制了样本 ‎ 的频率分布直方图，并对回答问题情况进行统计后，结果如下表所示．‎ ‎ ‎ ‎ （1）分别求出，的值；（4分）‎ ‎ （2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组 ‎ ‎ 应各抽取多少人? （4分）‎ ‎ （3）在（2）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取 ‎ 的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．（6分）‎ ‎19．(1)抛掷两枚质地均匀的骰子，得到的点数之和为,求大于7的概率；（7分）‎ ‎ （2）小明家订了一份报纸，每天送报的时间是早上6点到7点，小明的父亲出门工 ‎ 作的时间是早上6点半到7 点半，求小明的父亲在出门前能得到报纸的概率.（7分）‎ ‎20．已知椭圆的短轴长为2，离心率为，直线过点 ‎ 交椭圆于两点，为坐标原点．‎ ‎ （1）求椭圆的标准方程；（5分）‎ ‎ （2）求面积的最大值．（9分）‎ ‎21．已知函数.‎ ‎ （1）当时，求在区间上的最值；（4分）‎ ‎ （2）讨论函数的单调性；（4分）‎ ‎ （3）当时，有恒成立，求的取值范围.（6分）‎ ‎ 2016-2017下学期高二期初考试 参考答案及评分标准（理）‎ 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C C A A D C B C C D B D 二、填空题 13. 14. 252 15 . 120 16.‎ ‎ 17. 解：（1）百位数字只能是2、3、4、6中之一，百位数字确定后，十位和个位数字的组成共有 ‎ ‎ 种方法，所以可以组成没有重复数字的三位数共有个.-----5分 （2） 由题意能被3整除且没有重复数字的三位数只能是 ‎ 由2、4、0或2、4、3或2、4、6或0、3、6组成.-------------------10分 ‎ 所以共有个-----------------------------------14分 ‎18. 解：（1）第1组人数，所以， ‎ ‎ 第2组频率为：，人数为：，所以，------ -- 2分 ‎ 第4组人数，所以， ---- ------------- 4分 （2） 第2,3,4组回答正确的人的比为，‎ ‎ 所以第2,3,4组每组应各依次抽取人，人，1人 ----------------------------------8分 （3） 记“所抽取的6人中第2组至少有1人获得幸运奖”为事件A，抽取的6人中第2组的设为， ‎ ‎ 第3组的设为第4组的设为， 则从6名幸运者中任取2名的所有基本事件共有15个，‎ ‎ 每一个基本事件出现的可能性相等，它们是（评分时，不列举的不扣分，只要数值对就满分）： ‎ ‎，，，，，，，，，，，，，，. ---------- ------------ 10分 其中第2组至少有1人的情况有9个（评分时，不列举的不扣分只要数值对就满分）：‎ ‎，，，，，，，，， ‎ 所以 ‎ 答：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率为 ---------------- 12分 19. 解：（1）两枚均匀的骰子抛掷一次共有个基本事件，分别是：‎ ‎ （评分时，不列举的不扣分，只要数值对就满分）：‎ ‎ （1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（1,5）（1,6）； ‎ ‎ （2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（2,5）（2,6）； ‎ ‎ （3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（3,5）（3,6）； ‎ ‎ （4,1），（4,2），（4,3），（4,4），（4,5）（4,6）； ‎ ‎ （5,1），（5,2），（5,3），（5,4），（5,5）（5,6）； ‎ ‎ （6,1），（6,2），（6,3），（6,4），（6,5）（6,6）.‎ ‎ 向上的点数之和大于7的基本事件有15个 ，每个出现的可能性都是相等的， y x ‎7‎ ‎6‎ ‎6.5‎ ‎7.5‎ 故 ‎ -----------7分 ‎（2）设报纸送到的时间为，小明的父亲出门的时间为，则，，.设父亲得到报纸的事件为，则.‎ 一次试验的的全部结果构成的区域的面积是，而事件构成的区域的面积为， 由几何概型的概率计算公式得-------14分 ‎20.解：（1），又，由，‎ 椭圆的标准方程为---------------------------------------------------5分 设直线的方程为 ，‎ 由，----------------------------------------7分 ‎ ---------------------------------------------------9分 ‎ -----------10分 ‎ ‎ ，易知 ------------11分 ‎ 时取等号----------------------------------------12分 ‎，故当直线垂直于轴时 取得最大值---------14分 ‎21.解：（1）当时，，∴，-----------------2分 ‎∵的定义域为，∴由，得，-----------------------------------3分 ‎∴在区间上的最值只可能在取到，‎ 而，，，---4分 ‎（2），，‎ ‎①当，即时，，∴在上单调递减；‎ ‎②当时，，∴在上单调递增；-------------------------------6分 ‎③当时，由得，∴或（舍去）‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减；‎ 综上，当时，在单调递增；‎ 当时，在单调递增，在上单调递减.‎ 当时，在单调递减； --------------------------------------------8分 ‎（3）由（2）知，当时，，‎ 即原不等式等价于， ‎ ‎ ----------------------------------------12分 即，整理得，‎ ‎∴， --------------------------------------------------------------------14分