高中数学：第三章《数系的扩充与复数的引入》测试（3）（新人教A版选修1-2） 6页

高中新课标数学选修（1-2）第三章测试题 一、选择题 ‎1．是复数为纯虚数的（ ）‎ Ａ．充分条件但不是必要条件 Ｂ．必要条件但不是充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不是充分也不必要条件 答案：Ｂ ‎2．若，，的和所对应的点在实轴上，则为（　　）‎ Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．‎ 答案：Ｄ ‎3．复数对应的点在虚轴上，则（　　）‎ Ａ．或 Ｂ．且 Ｃ． Ｄ．或 答案：Ｄ ‎4．设，为复数，则下列四个结论中正确的是（　　）‎ Ａ．若，则 Ｂ．‎ Ｃ．‎ Ｄ．是纯虚数或零 ‎ ‎ 答案：Ｄ ‎5．设，，则下列命题中正确的是（　　）‎ Ａ．的对应点在第一象限 Ｂ．的对应点在第四象限 Ｃ．不是纯虚数 Ｄ．是虚数 答案：Ｄ ‎6．若是实系数方程的一个根，则方程的另一个根为（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ 答案：Ａ ‎7．已知复数，，则的最大值为（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．3‎ 答案：Ａ ‎8．已知，若，则等于（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．4‎ 答案：Ｂ ‎9．在复平面内，复数对应的向量为，复数对应的向量为．那么向量对应的复数是（　　）‎ Ａ．1 Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ 答案：Ｄ ‎10．在下列命题中，正确命题的个数为（　　）‎ ‎①两个复数不能比较大小；‎ ‎②，若，则；‎ ‎③若是纯虚数，则实数；‎ ‎④是虚数的一个充要条件是；‎ ‎⑤若是两个相等的实数，则是纯虚数；‎ ‎⑥的一个充要条件是．‎ Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3‎ 答案：Ｂ ‎11．复数等于它共轭复数的倒数的充要条件是（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎ ‎ 答案：Ｂ ‎ ‎ ‎12．复数满足条件：，那么对应的点的轨迹是（　　）‎ Ａ．圆 Ｂ．椭圆 Ｃ．双曲线 Ｄ．抛物线 答案：Ａ 二、填空题 ‎13．若复数所对应的点在第四象限，则为第　　　　象限角．‎ 答案：一 ‎14．复数与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为　　　　．‎ 答案：‎ ‎15．已知，则　　　　　．‎ 答案：2‎ ‎16．定义运算，则符合条件的复数　　　　．‎ 答案：‎ 三、解答题 ‎17．已知复数的模为，求的最大值．‎ 解：，‎ ‎，故在以为圆心，‎ 为半径的圆上，表示圆上的点与原点连线的斜率．‎ 如图，由平面几何知识，易知的最大值为．‎ ‎ ‎ ‎18．已知为实数．‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，求，的值．‎ 解：（1），‎ ‎；‎ ‎（2）由条件，得，‎ ‎，‎ 解得 ‎19．已知，，对于任意，均有成立，试求实数的取值范围．‎ 解：，‎ ‎，‎ 对恒成立．‎ 当，即时，不等式成立；‎ 当时，‎ 综上，．‎ ‎20．已知，是纯虚数，又，求．‎ 解：设 ‎．‎ 为纯虚数，‎ ‎．‎ ‎．．‎ 把代入，解得．‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎21．复数且，对应的点在第一象限内，若复数对应的点是正三角形的三个顶点，求实数，的值．‎ 解：，‎ 由，得． ①‎ 复数0，，对应的点是正三角形的三个顶点，‎ ‎，‎ 把代入化简，得．　　　②‎ 又点在第一象限内，，．‎ 由①②，得 故所求，．‎ ‎22．设是虚数是实数，且．‎ ‎（1）求的值及的实部的取值范围．‎ ‎（2）设，求证：为纯虚数；‎ ‎（3）求的最小值．‎ ‎（1）解：设，‎ 则．‎ 因为是实数，，所以，即．‎ 于是，即，．‎ 所以的实部的取值范围是；‎ ‎（2）证明：．‎ 因为，，所以为纯虚数；‎ ‎（3）解：‎ 因为，所以，‎ 故．‎ 当，即时，取得最小值1．‎ ‎ ‎ ‎ ‎