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  • 2021-06-09 发布

高中数学:第三章《数系的扩充与复数的引入》测试(3)(新人教A版选修1-2)

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高中新课标数学选修(1-2)第三章测试题 一、选择题 ‎1.是复数为纯虚数的( )‎ A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C.充要条件 D.既不是充分也不必要条件 答案:B ‎2.若,,的和所对应的点在实轴上,则为(  )‎ A.3 B.2 C.1 D.‎ 答案:D ‎3.复数对应的点在虚轴上,则(  )‎ A.或 B.且 C. D.或 答案:D ‎4.设,为复数,则下列四个结论中正确的是(  )‎ A.若,则 B.‎ C.‎ D.是纯虚数或零 ‎ ‎ 答案:D ‎5.设,,则下列命题中正确的是(  )‎ A.的对应点在第一象限 B.的对应点在第四象限 C.不是纯虚数 D.是虚数 答案:D ‎6.若是实系数方程的一个根,则方程的另一个根为(  )‎ A. B. C. D.‎ 答案:A ‎7.已知复数,,则的最大值为(  )‎ A. B. C. D.3‎ 答案:A ‎8.已知,若,则等于(  )‎ A. B. C. D.4‎ 答案:B ‎9.在复平面内,复数对应的向量为,复数对应的向量为.那么向量对应的复数是(  )‎ A.1 B. C. D.‎ 答案:D ‎10.在下列命题中,正确命题的个数为(  )‎ ‎①两个复数不能比较大小;‎ ‎②,若,则;‎ ‎③若是纯虚数,则实数;‎ ‎④是虚数的一个充要条件是;‎ ‎⑤若是两个相等的实数,则是纯虚数;‎ ‎⑥的一个充要条件是.‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ 答案:B ‎11.复数等于它共轭复数的倒数的充要条件是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ 答案:B ‎ ‎ ‎12.复数满足条件:,那么对应的点的轨迹是(  )‎ A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 答案:A 二、填空题 ‎13.若复数所对应的点在第四象限,则为第    象限角.‎ 答案:一 ‎14.复数与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为    .‎ 答案:‎ ‎15.已知,则     .‎ 答案:2‎ ‎16.定义运算,则符合条件的复数    .‎ 答案:‎ 三、解答题 ‎17.已知复数的模为,求的最大值.‎ 解:,‎ ‎,故在以为圆心,‎ 为半径的圆上,表示圆上的点与原点连线的斜率.‎ 如图,由平面几何知识,易知的最大值为.‎ ‎ ‎ ‎18.已知为实数.‎ ‎(1)若,求;‎ ‎(2)若,求,的值.‎ 解:(1),‎ ‎;‎ ‎(2)由条件,得,‎ ‎,‎ 解得 ‎19.已知,,对于任意,均有成立,试求实数的取值范围.‎ 解:,‎ ‎,‎ 对恒成立.‎ 当,即时,不等式成立;‎ 当时,‎ 综上,.‎ ‎20.已知,是纯虚数,又,求.‎ 解:设 ‎.‎ 为纯虚数,‎ ‎.‎ ‎..‎ 把代入,解得.‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎21.复数且,对应的点在第一象限内,若复数对应的点是正三角形的三个顶点,求实数,的值.‎ 解:,‎ 由,得. ①‎ 复数0,,对应的点是正三角形的三个顶点,‎ ‎,‎ 把代入化简,得.   ②‎ 又点在第一象限内,,.‎ 由①②,得 故所求,.‎ ‎22.设是虚数是实数,且.‎ ‎(1)求的值及的实部的取值范围.‎ ‎(2)设,求证:为纯虚数;‎ ‎(3)求的最小值.‎ ‎(1)解:设,‎ 则.‎ 因为是实数,,所以,即.‎ 于是,即,.‎ 所以的实部的取值范围是;‎ ‎(2)证明:.‎ 因为,,所以为纯虚数;‎ ‎(3)解:‎ 因为,所以,‎ 故.‎ 当,即时,取得最小值1.‎ ‎ ‎ ‎ ‎

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