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- 2021-06-09 发布
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课时分层训练(四十八)
直线与圆、圆与圆的位置关系
A组 基础达标
(建议用时:30分钟)
一、选择题
1.已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是( )
A.相切 B.相交
C.相离 D.不确定
B [由题意知点在圆外,则a2+b2>1,圆心到直线的距离d=<1,故直线与圆相交.]
2.(2017·山西太原模拟)若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m=( )
A.21 B.19
C.9 D.-11
C [圆C1的圆心为C1(0,0),半径r1=1,因为圆C2的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=25-m,所以圆C2的圆心为C2(3,4),半径r2=(m<25).从而|C1C2|==5.
两圆外切得|C1C2|=r1+r2,即1+=5,解得m=9.]
3.(2017·山西太原联考)过点(1,-2)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则AB所在直线的方程为( )
A.y=- B.y=-
C.y=- D.y=-
B [圆(x-1)2+y2=1的圆心为(1,0),半径为1,
以=2为直径的圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=1,
将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y+1=0,即y=-.]
4.(2017·浙江金丽衢十二校模拟)过点P(4,2)作圆x2+y2=4的两条切线,切点分别为A,B,O为坐标原点,则△OAB外接圆的方程是( )
【导学号:01772299】
A.(x-2)2+(y-1)2=5
B.(x-4)2+(y-2)2=20
C.(x+2)2+(y+1)2=5
D.(x+4)2+(y+2)2=20
A [由题意知,O,A,B,P四点共圆,所以所求圆的圆心为线段OP的中点(2,1).
又圆的半径r=|OP|=,
所以所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.]
5.(2017·河北衡水中学三模)已知圆C:(x-1)2+y2=25,则过点P(2,-1)的圆C的所有弦中,以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( )
【导学号:01772300】
A.10 B.9
C.10 D.9
C [易知最长弦为圆的直径10.又最短弦所在直线与最长弦垂直,且|PC|=,∴最短弦的长为2=2=2.故所求四边形的面积S=×10×2=10].
二、填空题
6.已知圆C1:x2+y2-6x-7=0与圆C2:x2+y2-6y-27=0相交于A,B两点,则线段AB的中垂线方程为________________.
【导学号:01772301】
x+y-3=0 [∵圆C1的圆心C1(3,0),圆C2的圆心C2(0,3),∴直线C1C2的方程为x+y-3=0,
AB的中垂线即直线C1C2,故其方程为x+y-3=0.]
7.直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则a2+b2=__________.
2 [依题意,不妨设直线y=x+a与单位圆相交于A,B两点,则∠AOB=90°.
如图,此时a=1,b=-1,满足题意,所以a2+b2=2.]
8.(2017·安徽十校联考)已知圆C:(x+2)2+y2=4,直线l:kx-y-2k=0(k∈R),若直线l与圆C恒有公共点,则实数k的最小值是__________.
- [圆心C(-2,0),半径r=2.
又圆C与直线l恒有公共点.
所以圆心C(-2,0)到直线l的距离d≤r.
因此≤2,解得-≤k≤.
所以实数k的最小值为-.]
三、解答题
9.已知圆C:x2+y2-4x-6y+12=0,点A(3,5).
(1)求过点A的圆的切线方程;
(2)O点是坐标原点,连接OA,OC,求△AOC的面积S.
[解] (1)由圆C:x2+y2-4x-6y+12=0,
得(x-2)2+(y-3)2=1,圆心C(2,3).当斜率存在时,设过点A的圆的切线方程为y-5=k(x-3),
即kx-y+5-3k=0.3分
由d==1,得k=.
又斜率不存在时直线x=3也与圆相切,
故所求切线方程为x=3或3x-4y+11=0.5分
(2)直线OA的方程为y=x,即5x-3y=0,
又点C到OA的距离d==.8分
又|OA|==.
所以S=|OA|d=.12分
10.(2017·唐山模拟)已知定点M(0,2),N(-2,0),直线l:kx-y-2k+2=0(k为常数).
(1)若点M,N到直线l的距离相等,求实数k的值;
(2)对于l上任意一点P,∠MPN恒为锐角,求实数k的取值范围.
[解] (1)∵点M,N到直线l的距离相等,
∴l∥MN或l过MN的中点.
∵M(0,2),N(-2,0),∴直线MN的斜率kMN=1,
MN的中点坐标为C(-1,1).3分
又∵直线l:kx-y-2k+2=0过定点D(2,2),
∴当l∥MN时,k=kMN=1;
当l过MN的中点时,k=kCD=.
综上可知,k的值为1或.6分
(2)∵对于l上任意一点P,∠MPN恒为锐角,
∴l与以MN为直径的圆相离,即圆心(-1,1)到直线l的距离大于半径,10分
∴d=>,解得k<-或k>1.12分
B组 能力提升
(建议用时:15分钟)
1.若圆C1:x2+y2-2ax+a2-9=0(a∈R)与圆C2:x2+y2+2by+b2-1=0(b∈R)内切,则ab的最大值为( )
A. B.2
C.4 D.2
B [圆C1:x2+y2-2ax+a2-9=0(a∈R).
化为(x-a)2+y2=9,圆心坐标为(a,0),半径为3.
圆C2:x2+y2+2by+b2-1=0(b∈R),化为x2+(y+b)2=1,圆心坐标为(0,-b),半径为1.
∵圆C1:x2+y2-2ax+a2-9=0(a∈R)与圆C2:x2+y2+2by+b2-1=0(b∈R)内切,
∴=3-1,即a2+b2=4,ab≤(a2+b2)=2.
∴ab的最大值为2.]
2.(2017·济南质检)过点P(1,)作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则·=__________.
[如图所示,可知OA⊥AP,OB⊥BP,OP==2.
又OA=OB=1,可以求得AP=BP=,∠APB=60°.
故·=××cos 60°=.]
3.已知圆C的方程为x2+(y-4)2=4,点O是坐标原点,直线l:y=kx与圆C交于M,N两点.
(1)求k的取值范围;
(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比为的两段弧?
若能,求出直线l的方程;若不能,请说明理由.
【导学号:01772302】
[解] (1)将y=kx代入圆C的方程x2+(y-4)2=4.
得(1+k2)x2-8kx+12=0.2分
∵直线l与圆C交于M,N两点,
∴Δ=(-8k)2-4×12(1+k2)>0,得k2>3,(*)
∴k的取值范围是(-∞,-)∪(,+∞).5分
(2)假设直线l将圆C分割成弧长的比为的两段弧,
则劣弧所对的圆心角∠MCN=90°,
由圆C:x2+(y-4)2=4知圆心C(0,4),半径r=2. 8分
在Rt△MCN中,可求弦心距d=r·sin 45°=,
故圆心C(0,4)到直线kx-y=0的距离=,
∴1+k2=8,k=±,经验证k=±满足不等式(*),10分
故l的方程为y=±x.
因此,存在满足条件的直线l,其方程为y=±x.12分