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- 2021-06-09 发布
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广元市高2018届第一次高考适应性统考
数学试题(理工类)
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2.“且”是“”成立的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件
3.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,且,下列命题中正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
4.已知向量,且,则的值是( )
A.-1 B.或-1 C.-1或 D.
5.执行如图所求的程序框图,输出的值是( )
A.4 B.5 C. 6 D.7
6.在航天员进行一项太空实验中,要先后实施6个程序,其中程序只能出现在第一或最后一步,程序和在实施时必须相邻,问实验顺序的编排方法共有( )
A.34种 B.48种 C.96种 D.144种
7.如图,在长方形内任取一点,则点落在阴影部分内的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数在处的切线与直线平行,则二项式展开式中的系数为( )
A.120 B.135 C. 140 D.100
9.已知定义在上的函数的图象关于(1,1)对称,,若函数图象与函数图象的次点为,则( )
A.8072 B.6054 C.4036 D.2018
10.已知是函数一个周期内的图象上的五个点,如图所示,为轴上的点,为图象上的最低点,为该函数图象的一个对称中心,与关于点对称,在轴上的投影为,则的值为( )
A. B. C. D.
11.在中,,点是所在平面内一点,则当取得最小值时,( )
A.9 B.-9 C. D.
12.已知函数,对任意,存在,使得,则的最小值为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知是实数,是虚数单位,若是纯虚数,则 .
14.设变量满足约束条件:,则目标函数的最小值为 .
15.如图,网格纸上的小正方形边长为1,粗线或虚线表示一个三棱锥的三视图,则此三棱锥的外接球的体积为 .
16.若正项递增等比数列满足,则的最小值为 .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. 已知数列的前项和,且
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
18.设函数 .
(1)求的最大值,并写出使取最大值时的集合;
(2)已知中,角的对边分别为,若,,求的最小值.
19. 某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系,对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间(单位:分钟)进行调查,将收集的数据分成
六组,并作出频率分布直方图(如图),将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”.
(1)请根据直方图中的数据填写下面的列联表,并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关?
(2)现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样,抽取8人,再从这8名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查,记“课外体育不达标”的人数为,求的分布列和数学期望.
20. 如图,是以为直角的三角形,平面分别是的中点.
(1) 求证:;
(2) 为线段上的点,当二面角的余弦值为时,求三棱锥的体积.
20. 已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.
(1) 求的取值范围;
(2) 证明:
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数),以为极点,以轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为.
(1) 求曲线的极坐标方程;
(2) 设直线与曲线相交于两点,求的值.
23.选修4-5:不等式选讲
已知关于的不等式有解,记实数的最大值为.
(1) 求的值;
(2) 正数满足,求证:.
试卷答案
一、选择题
1-5:BADCB 6-10:CDBCA 11、12:BD
二、填空题
13. 1 14. 15. 16.
三、解答题
17.解:(1)当时,,解得
当时,
也满足上式,故;
(2)若,
18. 解:(1) ,
∵,即的最大值为1;
∴的最大值为2,
要使取最大值,,即
解得:,
则的集合为;
(2)由题意,,即,又∵
∴,∴,∴
在中,,,由余弦定理,
由知:,当且仅当时取等号,∴
则的最小值为.
19. 解:(1)由题意得“课外体育达标”人数:,
则不达标人数为150,∴列联表如下:
课外体育不达标
课外体育达标
合计
男
60
30
90
女
90
20
110
合计
150
50
200
∴
∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下没有没有理由(或不能)认为“课外体育达标”与性别有关
(2)由题意采用分层抽样在“课外体育达标”抽取人数为6人,在“课外体育不达标”抽取人数为2人,则题意知:的取值为1,2,3.
故的分布列为
1
2
3
故的数学期望为:
18. 解:以为坐标原点,为轴的正方向,垂直于平面的直线为轴,建立空间直角坐标系(如图)
(1)由题意得
所以
(2)设平面的一个法向量为,设
则且
∵
∴,即
令得
又平面的法向量为
解得,即为中点.
,故所求体积为.
18. 解:(1)由题意知,函数的定义域为,
方程在有两个不同根,
即方程在有两个不同根,
令,则
当时,由恒成立,即在内为增函数,显然不成立
当时,由解得,即在内为增函数,
内为减函数,故即可,解得
综上可知的取值范围为
(2)由(1)知:当时,恒成立
∴
┄
上式个式子相加得:
即
又因为
所以
(1) 所以
22.解:(1)曲线的参数方程为得曲线的普通方程:
所以曲线的极坐标方程为:
(2)设两点的极坐标方程分别为,
又在曲线上,则是的两根
∴
18. 解:(1)由绝对值不等式
要满足题意,则,解得
∴
(2)由(1)知正数满足
∴