数学卷·2018届上海市黄浦区高三上学期期终调研测试（2018 9页

黄浦区2017学年度第一学期高三年级期终调研测试 ‎ 数学试卷 2018年1月 一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1～6题每题满分54分，第7～12题每题满分54分）‎ ‎1．已知全集，集合，则 ．‎ ‎2．函数的定义域是　　　　　　　．‎ ‎3．若复数z满足（i为虚数单位），则z=　　．‎ ‎4．已知sin（α+）=，α∈（﹣，0），则tanα=　　．‎ ‎5．若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为　　　　　　．‎ ‎6．若函数y=a+sinx在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a=　　　　　　．‎ ‎7．已知向量（x，y∈R），，若x2+y2=1，则的最大值为　　．‎ ‎8．已知函数y=f（x）是奇函数，且当x≥0时，f（x）=log2（x+1）．若函数y=g（x）是y=f（x）的反函数，则g（﹣3）=　　．‎ ‎9．已知 ，若是函数的零点，则四个数按从小到大的顺序是　　 　　　(用符号连接起来)．‎ ‎10．已知点O，A，B，F分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F作OB的平行线，它与椭圆C在第一象限部分交于点P，若，则实数λ的值为　　．‎ ‎11．已知，定义：表示不小于的最小整数．如 ‎ .若，则正实数的取值范围是 ．‎ ‎12．已知点M（m，0），m＞0和抛物线C：y2=4x．过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，若=2，且||=||，则m=　　　　　　．‎ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）‎ ‎13．若x∈R，则“x＞1”是“”的（　　）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 ‎14．已知向量，则下列能使成立的一组向量是 ( )．‎ ‎　　　A． 　　　　　B．　‎ ‎　　　C． 　　　　　D．‎ ‎15．一个算法的程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的值是 ( )．‎ ‎　A．4 B． 5 C． 6 D． 7‎ ‎16．已知a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零，若线段l1，l2，l3，l4的长分别为a1，a2，a3，a4，则（　　）‎ A．对任意的d，均存在以l1，l2，l3为三边的三角形 B．对任意的d，均不存在以为l1，l2，l3三边的三角形 C．对任意的d，均存在以l2，l3，l4为三边的三角形 D．对任意的d，均不存在以l2，l3，l4为三边的三角形 三、解答题（本大题共有5题，满分76分．）‎ ‎17．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．‎ ‎ 在长方体中，，分别是所在棱的中点，点是棱上的动点，联结．如图所示．‎ ‎(1)求异面直线所成角的大小(用反三角函数值表示)；‎ ‎(2)求以为顶点的三棱锥的体积．‎ ‎18. (本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.‎ 如图，已知点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为α，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．‎ ‎（1）用α表示A，B两点的坐标；‎ ‎（2）M为x轴上异于O的点，若MA⊥MB，求点M横坐标的取值范围．‎ ‎19．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．‎ ‎　　已知函数，函数是函数的反函数．‎ ‎(1)求函数的解析式，并写出定义域；‎ ‎(2)设，若函数在区间内的图像是不间断的光滑曲线，求证：函数在区间内必有唯一的零点(假设为)，且．‎ ‎20．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3‎ 小题满分7分．‎ ‎ 定义：若各项为正实数的数列满足，则称数列为“算术平方根递推数列”.已知数列满足且点在二次函数的图像上. ‎ ‎(1)试判断数列是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由；‎ ‎(2)记，求证：数列是等比数列，并求出通项公式；‎ ‎(3)从数列中依据某种顺序自左至右取出其中的项 ，把这些项重新组成一个新数列：.若数列是首项为、公比为的无穷等比数列，且数列各项的和为，求正整数的值．‎ ‎21．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．‎ 已知椭圆Γ： +=1（a＞b＞0），过原点的两条直线l1和l2分别与Γ交于点A、B和C、D，得到平行四边形ACBD．‎ ‎（1）当ACBD为正方形时，求该正方形的面积S；‎ ‎（2）若直线l1和l2关于y轴对称，Γ上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2，当d12+d22为定值时，求此时直线l1和l2的斜率及该定值．‎ ‎（3）当ACBD为菱形，且圆x2+y2=1内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式．‎ 高三数学试卷（答案）‎ 一、 填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1～6题每题满分54分，第7～‎ ‎12题每题满分54分）‎ ‎1．； 2．； 3. 1+2i； 4. ﹣2； 5. ； 6. 1；‎ ‎7. ； 8. ﹣7； 9．；10. 11. 12. ‎ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）‎ ‎13.A 14.C 15.A 16.C 三、解答题（本大题共有5题，满分76分．）‎ ‎17．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分６分，第2小题满分６分．‎ 解(1)联结，在长方体中，有. ‎ 又是直角三角形的一个锐角，‎ ‎∴就是异面直线所成的角. ‎ 由，可算得. ‎ ‎∴，即异面直线所成角的大小为. ‎ ‎ (2)由题意可知，点到底面的距离与棱的长相等． ‎ ‎∴． ‎ ‎∵，‎ ‎∴． 　　　 　 　　‎ ‎18. (本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.‎ 解：（1）点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为α，‎ 可得A（cosα，sinα），将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．可得B（cos（），sin（）），‎ 即B（﹣sinα，cosα）．‎ ‎（2）设M（x，0），x≠0，‎ ‎=（cosα﹣x，sinα），=（﹣sinα﹣x，cosα）．‎ MA⊥MB，‎ 可得（cosα﹣x）（﹣sinα﹣x）+sinαcosα=0．‎ xsinα﹣xcosα+x2=0，‎ 可得﹣x=sinα﹣cosα=sin（）∈[﹣，]．‎ 综上x∈[﹣，0）∪（0，]．‎ 点M横坐标的取值范围：[﹣，0）∪（0，]．‎ ‎19．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．‎ 解(1) ，‎ ‎.又，.‎ ‎ . ‎ ‎ 由，可解得. ‎ ‎ ，. ‎ 证明 (2)由(1)可知，.‎ ‎ 可求得函数的定义域为. ‎ ‎ 对任意，有，‎ ‎ 所以，函数是奇函数. ‎ ‎ 当时，在上单调递减，在上单调递减，‎ ‎ 于是，在上单调递减. ‎ ‎ 因此，函数在上单调递减. ‎ ‎ 依据奇函数的性质，可知，‎ 函数在上单调递减，且在上的图像也是不间断的光滑曲线. ‎ ‎ 又, ‎ ‎ 所以，函数在区间上有且仅有唯一零点，且. ‎ ‎20．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分．‎ 解(1)答：数列是算术平方根递推数列.‎ ‎ 理由：在函数的图像上，‎ ‎ ‎ ‎，. ‎ ‎ 又，‎ ‎∴． ‎ ‎　　∴数列是算术平方根递推数列. ‎ 证明(2) ，‎ ‎ . ‎ ‎ 又,‎ ‎ 数列是首项为,公比的等比数列. ‎ ‎ . ‎ ‎ (3)由题意可知，无穷等比数列的首项,公比 ‎，‎ ‎ ． ‎ 化简，得． ‎ ‎ 若，则.这是矛盾！‎ ‎ . ‎ ‎ 又时，,‎ ‎ . ‎ ‎ . ‎ ‎ ‎ ‎21．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．‎ 解：（1）∵ACBD为正方形，‎ ‎∴直线l1和l2的方程为y=x和y=﹣x，‎ 设点A、B的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），‎ 解方程组，得==，‎ 由对称性可知，S=4=；‎ ‎（2）由题意，不妨设直线l1的方程为y=kx，则直线l2的方程为y=﹣kx，‎ 设P（x0，y0），则+=1，‎ 又∵d1=，d2=，‎ ‎∴+=+=，‎ 将=b2（1﹣）代入上式，‎ 得+=，‎ ‎∵d12+d22为定值，‎ ‎∴k2﹣=0，即k=±，‎ 于是直线l1和l2的斜率分别为和﹣，此时+=；‎ ‎（3）设AC与圆x2+y2=1相切的切点坐标为（x0，y0），‎ 则切线AC的方程为：x0x+y0y=1，‎ 点A、C的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）为方程组的实数解．‎ ‎①当x0=0或y0=0时，ACBD均为正方形，‎ 椭圆均过点（1，1），于是有+=1；‎ ‎②当x0≠0或y0≠0时，将y=（1﹣x0x）代入+=1，‎ 整理得：（a2+b2）x2﹣2a2x0x﹣a2（1+b2）=0，‎ 由韦达定理可知x1x2=，‎ 同理可知y1y2=，‎ ‎∵ACBD为菱形，‎ ‎∴AO⊥CO，即x1x2+y1y2=0，‎ ‎∴+=0，‎ 整理得：a2+b2=a2b2（+），‎ 又∵+=1，‎ ‎∴a2+b2=a2b2，即+=1；‎ 综上所述，a，b满足的关系式为+=1．‎