浙江省浙南名校联盟2020届高三上学期第一次联考数学试题 25页

‎2019学年浙南名校联盟第一次联考试卷解析 ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分别计算集合A和B，再计算 ‎【详解】‎ 故答案选B ‎【点睛】本题考查了集合的运算，属于简单题型.‎ ‎2.已知双曲线：的离心率为，其右焦点为，则双曲线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用离心率和焦点公式计算得到答案.‎ ‎【详解】双曲线：的离心率为，其右焦点为 则 得到 ‎ 双曲线方程为：‎ 故答案选A ‎【点睛】本题考查了双曲线方程，属于基础题型.‎ ‎3.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图还原立体图形，再计算体积.‎ ‎【详解】如图所示：‎ 底面为直角边长为2的等腰直角三角形，高 ‎ 故 ‎ ‎【点睛】本题考查了三视图和体积的计算，通过三视图还原立体图是解题的关键.‎ ‎4.已知实数满足则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出可行域，将看作点到原点的斜率，计算得到答案.‎ ‎【详解】如图所示：‎ 画出可行域 ‎，看作点到原点的斜率 根据图像知，当时，有最小值为 ‎ ‎【点睛】本题考查了线性规划，将看作点到原点的斜率是解题的关键.‎ ‎5.设，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别判断充分性和必要性，得到答案.‎ ‎【详解】当时，得到两边同时除以得到，充分性 当时，取，则，不满足，不必要 ‎“”是“”的充分不必要条件 故答案选A ‎【点睛】本题考查了充分必要条件，通过举反例判断不必要可以简化运算，是解题的关键.‎ ‎6.函数的部分图象是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇偶性排除B，当时，，排除CD，得到答案.‎ ‎【详解】， 为奇函数，排除B 当时，恒成立，排除CD 故答案选A ‎【点睛】本题考查了函数图像的判断，通过奇偶性，特殊值法排除选项是解题的关键.‎ ‎7.设，随机变量的分布列如下：‎ 则当在内增大时（ ）‎ A. 减小，减小 B. 增大，增大 C. 增大，减小 D. 减小，增大 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别计算和的表达式，再判断单调性.‎ ‎【详解】,当在内增大时, 增大 ‎，当在内增大时, 增大 故答案选B ‎【点睛】本题考查了和的计算，函数的单调性，属于综合题型.‎ ‎8.设点是长方体的棱的中点，，，点在面上，若平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等，则点的轨迹为（ ）‎ A. 椭圆的一部分 B. 抛物线的一部分 C. 一条线段 D. 一段圆弧 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据公式得到，计算得到到直线的距离为定值，得到答案.‎ ‎【详解】设在平面的投影为，平面与平面所成的锐二面角为 ‎ 则 ‎ 在平面的投影为中点，平面与面所成的锐二面角为 ‎ 则 故即得到 ‎ 即到直线的距离为定值，故在与平行的直线上 又点在面上，故轨迹为一条线段.‎ 故答案选C ‎【点睛】本题考查了立体几何二面角，轨迹方程，通过可以简化运算，是解题的关键.‎ ‎9.已知正三角形的边长为2，是边的中点，动点满足，且，其中，则的最大值为（ ）‎ A. 1 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可建立如图所示的平面直角坐标系，根据题设条件可得动点在图中的圆上（实线部分）运动，设点，则可用的三角函数表示，从而可求其最大值.‎ 也可以把表示为，故（如图），利用向量共线的几何意义可得的最大值就是的最大值，利用三角形相似得当与半圆相切时最大.‎ ‎【详解】‎ 如图所示，由于动点满足，且，‎ 因为，所以点在以点为圆心，1为半径的半圆（图中实线）上运动，，，，，，，，‎ 所以，‎ ‎，‎ 因为，所以，.‎ 所以，故选D．‎ 方法二：等和线法 由于动点满足，且，其中，‎ 所以点在以点为圆心，1为半径的半圆（图中实线）上运动且.‎ 设的中点为，与交于点，‎ ‎，‎ 所以，所以，‎ 过点分别作直线平行交于，‎ 则，当与半圆相切时，最大且为.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】在平面向量基本定理的应用中，我们常常需要考虑基底向量的系数和的最值，此类问题的处理，首先考虑能否建立平面直角坐标系，条件是题设中的图形是较为规则的图形，其次考虑改换基底向量，把系数和转化为线段长的比值，再利用几何意义求最值.‎ ‎10.已知数列满足，则（ ）‎ A. 当时，则 B. 当时，则 C. 当时，则 D. 当时，则 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依次判断每个选项的正误，得到答案.‎ ‎【详解】即 ‎ 当时，，故，A错误 当时，，故，B错误 对于D选项，当时，，，D错误 用数学归纳法证明选项C 易知恒成立 当时，，成立 假设当时成立，，即 当时：‎ 即 成立 故恒成立，得证 故答案选C ‎【点睛】本题考查了数列的单调性，数学归纳法，综合性强，技巧高，意在考查学生对于数学知识，方法，性质的灵活运用.‎ ‎11.瑞士数学家欧拉于1777年在《微分公式》一书中，第一次用来表示-1的平方根，首创了用符号作为虚数的单位．若复数（为虚数单位），则复数的虚部为________；_____．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的除法可计算，从而可求其虚部和模.‎ 详解】，‎ 故虚部为，模为，故分别填.‎ ‎【点睛】本题考查复数的概念、复数的除法，属于基础题.‎ ‎12.已知展开式中所有项的系数之和为-4，则________；项的系数为_________．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令后可求得，利用二项展开式可求的系数.‎ ‎【详解】令，，‎ ‎，‎ 故展开式项的系数为．‎ ‎【点睛】本题考查二项展开式中系数和的计算以及指定项系数的计算，属于基础题.‎ ‎13.在中，角所对应的边分别为，已知，且，则__________；若为边的中点，则__________．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理得到，再利用，平方得到答案.‎ ‎【详解】利用正弦定理得到：‎ 即 ‎ 为边的中点，‎ 则 故答案为，‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理，向量的运算，其中表示是解题的关键，可以简化运算.‎ ‎14.名男同学、名女学生和位老师站成一排拍照合影，要求位老师必须站正中间，队伍左右两端不能同时是一男学生与一女学生，则总共有__________种排法．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将队伍两端分为都是男生和都是女生两种情况，相加得到答案.‎ ‎【详解】当两端都是男生时： ‎ 当两端都是女生时： ‎ 共有种排法 故答案为 ‎【点睛】本题考查了排列，将情况分为两种情况可以简化运算，是解题的关键.‎ ‎15.已知点在圆上，点在椭圆上，且的最大值等于，则椭圆的离心率的最大值等于__________，当椭圆的离心率取到最大值时，记椭圆的右焦点为，则的最大值等于__________．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简为，的最大值为5等价于的最大值为4，根据对称轴得到关系式解得答案.‎ 利用椭圆性质得到，再根据三角形边的关系得到答案.‎ ‎【详解】化简为，圆心.‎ 的最大值为5等价于的最大值为4‎ 设，即，又 化简得到 ‎ 当时，验证等号成立 对称轴为满足故 ‎ ‎ 故离心率最大值为 ‎ 当时，离心率有最大值，此时椭圆方程为，设左焦点为 ‎ 当共线时取等号.‎ 故答案为和 ‎【点睛】本题考查了椭圆的离心率，线段和的最值问题，利用椭圆性质转化是解题的关键，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎16.已知非零向量，满足，，，则对任意实数，的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量夹角公式计算夹角为，以坐在直线为轴，建立直角坐标，计算得到对应的点在上，表示的是圆上一点到直线上一点的距离，计算得到答案.‎ ‎【详解】，‎ 如图所示：以所在直线为轴，建立直角坐标系 则，设 得到即 ‎ 表示的是圆上一点到直线上一点的距离 此距离的最小值为： ‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查了向量的运算，直线到圆距离的最值，意在考查学生的转化能力和计算能力.‎ ‎17.设函数，若对任意的实数和，总存在，使得，则实数的最大值为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数变形为，设，‎ ‎，画出函数图像，当时取最值，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 设 ‎ 在上单调递增，在上单调递减， ‎ 设 画出函数图像：‎ ‎ ‎ 对任意的实数和，总存在，使得 等价于求最大值里的最小值.‎ 根据图像知：当时，最大值的最小值为2‎ 故实数的最大值为2‎ 答案为2‎ ‎【点睛】本题考查了函数的存在性问题，变形函数，画出函数图像是解题的关键，意在考查学生的综合应用能力.‎ ‎18.函数的图象过点，且相邻的最高点与最低点的距离为.‎ ‎（Ⅰ）求函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）求在上的单调递增区间.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）和.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用勾股定理得到，，将点代入图像得到，得到答案.‎ ‎（Ⅱ），函数的单调区间为，代入得到 上单调区间.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）函数的周期，‎ 把坐标代入得，‎ 又，，‎ ‎（Ⅱ）令解得 ‎ 在上的单调递增区间是和 ‎【点睛】本题考查了三角函数的解析式，三角函数的单调区间，属于常考题型，需要熟练掌握.‎ ‎19.如图，四棱锥中，平面，，，，为的中点，与相交于点.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）先证明面得到，再证明得到平面.‎ ‎（Ⅱ）以为原点，分别以为轴，轴，轴的建立直角坐标系.计算平面的法向量为，再利用向量夹角公式得到答案.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）‎ ‎ ‎ 由已知平面，可得，，‎ 由题意得，直角梯形，如图所示，‎ ‎，所以为平行四边形，‎ 所以，所以.‎ 又因为，且，‎ 所以面，‎ 故.‎ 在直角梯形中，，‎ 因为面，所以，‎ 所以为等腰直角三角形，为斜边上的中点，‎ 所以.且，‎ 所以平面 ‎（Ⅱ）法一：以为原点，分别以为轴，轴，轴建立直角坐标系.‎ 不妨设 ‎，，，，‎ 设是平面的法向量.‎ 满足 ，‎ 所以 ，‎ 则令 ，解得 法二：（等体积法求到平面的距离）‎ 设，计算可得 ‎， ， ，‎ ‎，‎ 解得 ‎【点睛】本题考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.‎ ‎20.已知等比数列的公比，且，是的等差中项，数列的通项公式，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）证明：，.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）直接用等差数列，等比数列的公式计算得到.‎ ‎（Ⅱ）直接利用裂项求和得到 ‎，得证.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由是，的等差中项得 ‎，‎ 所以，‎ 解得，‎ 由，得，‎ 解得或，‎ 因为，所以.‎ 所以，.‎ ‎（Ⅱ）法1：由（Ⅰ）可得，.‎ ‎，‎ ‎.‎ 法2：‎ 由（Ⅰ）可得，.‎ 我们用数学归纳法证明.‎ ‎（1）当时，，不等式成立；‎ ‎（2）假设（）时不等式成立，即 ‎.‎ 那么，当时，‎ ‎，‎ 即当时不等式也成立.‎ 根据（1）和（2），不等式，对任意成立.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列，等比数列的公式，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活掌握.‎ ‎21.已知点在抛物线上，是直线上的两个不同的点，且线段的中点都在抛物线上.‎ ‎（Ⅰ）求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若的面积等于，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）设，，，的中点代入抛物线得到二次方程，解得答案.‎ ‎（Ⅱ）先计算到的距离，再计算，代入面积公式得到答案.‎ ‎【详解】（Ⅰ）设，，，‎ 则的中点，代入 得：‎ 同理可得：‎ 所以，是方程的两个根 解得：或 ‎（Ⅱ）点到的距离 由韦达定理可知：，‎ 则 令，则有：，‎ 即：，解得，‎ 即，解得：‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线，面积问题，将问题转化为二次方程解的个数问题是解题的关键，简化了运算.‎ ‎22.设，其中，函数在点处的切线方程为.其中 ‎（Ⅰ）求证：函数有且仅有一个零点；‎ ‎（Ⅱ）当时，恒成立，求最小的整数的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求导，根据，解得，再判断函数在上单调减， 得证.‎ ‎（Ⅱ）先判定，不等式等价于，设，分别计算函数的单调性和最值得到时，恒成立，得到答案.‎ ‎【详解】（Ⅰ），‎ 所以 当时，，即，解得 ‎，函数在上单调减 由于 ‎ 则函数有且仅有一个零点．‎ ‎（Ⅱ）一方面，当时，，由此；‎ 当时，下证：，在时恒成立，‎ 记函数，，在上单调递增，在上单调递减 ‎；‎ 记函数，，在上单调减，在上单调减 ‎，即；‎ ‎，成立 又因为和不能同时在同一处取到最大值，‎ 所以当时，恒成立 所以最小整数．‎ ‎【点睛】本题考查了函数切线，零点问题，恒成立问题，综合性强，计算量大，意在考查学生对于导数函数知识技巧的灵活运用及计算能力.‎ ‎ ‎