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  • 2021-06-09 发布

【数学】2019届一轮复习人教A版与三角形相关的范围问题学案

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一.方法综述 与三角形相关的范围问题同样是高考命题的热点问题之一,要充分利用解三角形知识,正余弦定理的边角转化策略以及结合基本不等式、方程与不等式思想、转化与化归思想求解.‎ 二.解题策略 类型一 结合基本不等式求解问题 ‎【例1】在中,若=,则角的最大值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【指点迷津】本题考查了余弦定理及基本不等式的应用,利用余弦定理表示出cosC,将得出的关系式利用基本不等式变形求出cosC的最小值,根据C为三角形的内角,求出C的最大值.‎ ‎【举一反三】‎ ‎1、【2018天津市耀华中学模拟】在中,如果边, , 满足,则( )‎ A. 一定是锐角 B. 一定是钝角 C. 一定是直角 D. 以上情况都有可能 ‎【答案】A ‎【解析】已知不等式两边平方得,利用余弦定理 ‎ ‎ 为三角形的内角, ,即一定是锐角. 故选A ‎2、【2018江西省赣州市上高二中模拟】在中,内角所对边分别为,若,且,则的最小值为__________.‎ ‎【答案】4‎ ‎ 3、【2018河南省漯河市高级中学模拟】在中,内角的对边分别为,已知, ,则的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,‎ 得, , ,‎ 则,得,‎ 解得,又, ‎ 的范围是。‎ 类型二 利用消元法求解问题 ‎【例2】【2018重庆市第一中学模拟】在中,角, , 的对边分别是, ‎ ‎, ,若, ,则的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【指点迷津】利用正弦定理边化角,利用角的关系消元,利用辅助角公式求范围.‎ ‎【举一反三】‎ ‎1、在中,角, , 的对边分别为, , ,若, ,则的最小值是__________.‎ ‎【答案】[ 学 ]‎ ‎【解析】, , ,  , ,  ‎ ‎ 当且仅当时成立.‎ ‎2、【2018浙江省镇海中学模拟】圆上任意一点,过点作两直线分别交圆于, 两点,且,则的取值范围为__________. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在中,由正弦定理得 ,设 又,所以, ‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎..‎ 答案为 .‎ ‎3. 【2018江苏省丹阳高级中学模拟】在锐角三角形ABC中, 的最小值为____.‎ ‎【答案】25‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎,当且仅当,即 时取等号. ‎ 类型三 与三角形的周长有关的最值问题 ‎【例3】【河南省豫南豫北 高三第二次联考】已知锐角的内角的对边分别为,其外接圆半径为,则的周长的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【指点迷津】在处理解三角形问题时,要注意抓住题目所给的条件,将所有边的关系转化为角的关系,有时需将角的关系转化为边的关系;这类问题的通法思路是 全部转化为角的关系,建立函数关系式,从而求出范围或最值,或利用余弦定理以及基本不等式求范围,从而得最值.‎ ‎【举一反三】‎ ‎1、【2018四川省宜宾市模拟】在中, , , 分别是角, , 的对边,且, , 那么周长的最大值是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎ 2、【2018广西联考】在中,角, , 所对应的边分别为, , ,若, ,则当角取得最大值时,三角形的周长为( )‎ A. B. C. 3 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】在△ABC中,由正弦定理得 ∵‎ ‎∴A为钝角.∴, ‎ 由,‎ 可得,‎ tanB=﹣==≤=, ‎ 当且仅当tanC=时取等号.∴B取得最大值时,‎ ‎∴.‎ ‎∴a=2×=.∴a+b+c=2+.故答案为 2+.‎ 类型四 与三角形面积有关的最值问题 ‎【例4】【2018湖北省襄阳市四校联考】在中, 分别为内角的对边,若,且,则的面积的最大值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【指点迷津】本题综合性较大,且突破了常规性,即在条件中只在等式的一边给出了三角形的边,所以在解题中要熟练地对所得中间结论的变形,如在本题中要在的基础上在利用正弦定理得到。对于最值的处理往往要考虑到基本不等式的运用,运用不等式时,不要忘了基本不等的使用条件。‎ ‎【举一反三】‎ ‎1、【2018山东省德州市模拟】在中, 分别为内角的对边, ,则面积的最大值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎ 2、中,内角, , 所对的边分别为, , ,已知,且,则面积的最大值是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据由正弦定理可得, ,可得 , 中, 根据余弦定理,可得,化简可得, , ,由此可得,当且仅当时等号成立, 面积,综上所述,当且仅当时, ‎ 面积最大值为,故答案为.‎ ‎3、如图半圆的半径为1, 为直径延长线上一点,且, 为半圆上任意一点,以为一边作等边三角形,则四边形面积最大值为___________.‎ ‎【答案】‎ 类型五 与三角形解的个数有关的最值问题 ‎【例5】在中,角的对边分别为, ,若符合条件的三角形有两解,则的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 因为,所以,‎ ‎ 又,则,则,‎ ‎ 由,所以.‎ ‎【指点迷津】‎ 本题主要考查了三角形问题的求解,其中解答中涉及到正弦定理在解三角形中的应用,三角形的内角和定理等知识点的应用,试题比较基础属于基础题,解答中熟记三角形的正弦定理的边角互化和合理应用是解答的关键.‎ ‎【举一反三】‎ ‎1、【2018山东省济南外国语学校模拟】在中,内角所对的边分别为,已知,如果这样的三角形有且只有一个,则的取值范围为________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】试题分析 由题意得,在中内角所对的边分别为,由,所以,所以当或时,此时满足条件的三角形只有一个.‎ ‎2、已知分别为的三个内角的对边,已知,若满足条件的三角形有两个,则的取值范围是_____.‎ ‎【答案】‎ 三.强化训练 ‎1.在中, ,在边上存在一点,满足,作, 为垂足,若为的最小内角,则的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎2. 【2018江苏省常州市武进模拟】中,若、、依次成等比数列,则的取值范围为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知得,则 即 的取值范围是 故答案为 ‎3. 已知分别为内角的对边,成等比数列,当取最大值时,则的值为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎4. 【2018河南省豫北豫南名联考】在中,若,则的最大值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】, , 若,则均为钝角,不可能,故, 的最大值为,故答案为.‎ ‎5、已知平面四边形是由与等腰直角拼接而成,其中, , ,则当点到点的距离最大时,角的大小为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 如图, , ,则,‎ 所以,[ . . ]‎ 所以当时, 最大,即角的大小为。‎ ‎6. 【2018河北省衡水第一中学模拟】在中,角的对边分别为,且,若的面积为,则的最小值为__________.‎ ‎【答案】3‎ ‎ 7、【2018江西省南城县第一中学模拟】在中,角, , 的对边分别为, , ,且满足,若,则的最小值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得 由,得,所以 因此,即的最小值为 ‎8. 【2018云南省师范大学附属中模拟】在中, 为上一点,且, , 为的角平分线,则面积的最大值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎9. 已知分别为的三个内角的对边, =2,且,则面积的最大值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由正弦定理得 ,即,由余弦定理得 , ,又,,当且仅当时取等号,此时为正三角形,则的面积的最大值为,故选A.‎ ‎10、【2018河北省衡水中学模拟】已知的内角的对边分别是,且,若,则的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎11、【2018江西省南昌市莲塘一中模拟】在锐角三角形中, 分别是内角的对边,设,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由正弦定理得 , 为锐角,即,且 为锐角, ,所以,即,‎ ‎,则的取值范围是,故选A.‎ ‎12. 【2018四川省绵阳市模拟】已知,且满足,如果存在两条互相垂直的直线与函数的图象都相切,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B

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