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- 2021-06-09 发布
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一.方法综述
与三角形相关的范围问题同样是高考命题的热点问题之一,要充分利用解三角形知识,正余弦定理的边角转化策略以及结合基本不等式、方程与不等式思想、转化与化归思想求解.
二.解题策略
类型一 结合基本不等式求解问题
【例1】在中,若=,则角的最大值为
A. B. C. D.
【答案】C
【指点迷津】本题考查了余弦定理及基本不等式的应用,利用余弦定理表示出cosC,将得出的关系式利用基本不等式变形求出cosC的最小值,根据C为三角形的内角,求出C的最大值.
【举一反三】
1、【2018天津市耀华中学模拟】在中,如果边, , 满足,则( )
A. 一定是锐角 B. 一定是钝角 C. 一定是直角 D. 以上情况都有可能
【答案】A
【解析】已知不等式两边平方得,利用余弦定理
为三角形的内角, ,即一定是锐角.
故选A
2、【2018江西省赣州市上高二中模拟】在中,内角所对边分别为,若,且,则的最小值为__________.
【答案】4
3、【2018河南省漯河市高级中学模拟】在中,内角的对边分别为,已知, ,则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】,
得, , ,
则,得,
解得,又,
的范围是。
类型二 利用消元法求解问题
【例2】【2018重庆市第一中学模拟】在中,角, , 的对边分别是,
, ,若, ,则的取值范围是__________.
【答案】
【指点迷津】利用正弦定理边化角,利用角的关系消元,利用辅助角公式求范围.
【举一反三】
1、在中,角, , 的对边分别为, , ,若, ,则的最小值是__________.
【答案】[ 学 ]
【解析】, , ,
, ,
当且仅当时成立.
2、【2018浙江省镇海中学模拟】圆上任意一点,过点作两直线分别交圆于, 两点,且,则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】在中,由正弦定理得 ,设
又,所以,
.
.
..
答案为 .
3. 【2018江苏省丹阳高级中学模拟】在锐角三角形ABC中, 的最小值为____.
【答案】25
,当且仅当,即 时取等号.
类型三 与三角形的周长有关的最值问题
【例3】【河南省豫南豫北 高三第二次联考】已知锐角的内角的对边分别为,其外接圆半径为,则的周长的取值范围是__________.
【答案】
【指点迷津】在处理解三角形问题时,要注意抓住题目所给的条件,将所有边的关系转化为角的关系,有时需将角的关系转化为边的关系;这类问题的通法思路是 全部转化为角的关系,建立函数关系式,从而求出范围或最值,或利用余弦定理以及基本不等式求范围,从而得最值.
【举一反三】
1、【2018四川省宜宾市模拟】在中, , , 分别是角, , 的对边,且, , 那么周长的最大值是
A. B. C. D.
【答案】C
2、【2018广西联考】在中,角, , 所对应的边分别为, , ,若, ,则当角取得最大值时,三角形的周长为( )
A. B. C. 3 D.
【答案】A
【解析】在△ABC中,由正弦定理得 ∵
∴A为钝角.∴,
由,
可得,
tanB=﹣==≤=,
当且仅当tanC=时取等号.∴B取得最大值时,
∴.
∴a=2×=.∴a+b+c=2+.故答案为 2+.
类型四 与三角形面积有关的最值问题
【例4】【2018湖北省襄阳市四校联考】在中, 分别为内角的对边,若,且,则的面积的最大值为__________.
【答案】
【指点迷津】本题综合性较大,且突破了常规性,即在条件中只在等式的一边给出了三角形的边,所以在解题中要熟练地对所得中间结论的变形,如在本题中要在的基础上在利用正弦定理得到。对于最值的处理往往要考虑到基本不等式的运用,运用不等式时,不要忘了基本不等的使用条件。
【举一反三】
1、【2018山东省德州市模拟】在中, 分别为内角的对边, ,则面积的最大值为__________.
【答案】
2、中,内角, , 所对的边分别为, , ,已知,且,则面积的最大值是__________.
【答案】
【解析】根据由正弦定理可得, ,可得 , 中, 根据余弦定理,可得,化简可得, , ,由此可得,当且仅当时等号成立, 面积,综上所述,当且仅当时,
面积最大值为,故答案为.
3、如图半圆的半径为1, 为直径延长线上一点,且, 为半圆上任意一点,以为一边作等边三角形,则四边形面积最大值为___________.
【答案】
类型五 与三角形解的个数有关的最值问题
【例5】在中,角的对边分别为, ,若符合条件的三角形有两解,则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】 因为,所以,
又,则,则,
由,所以.
【指点迷津】
本题主要考查了三角形问题的求解,其中解答中涉及到正弦定理在解三角形中的应用,三角形的内角和定理等知识点的应用,试题比较基础属于基础题,解答中熟记三角形的正弦定理的边角互化和合理应用是解答的关键.
【举一反三】
1、【2018山东省济南外国语学校模拟】在中,内角所对的边分别为,已知,如果这样的三角形有且只有一个,则的取值范围为________.
【答案】或
【解析】试题分析 由题意得,在中内角所对的边分别为,由,所以,所以当或时,此时满足条件的三角形只有一个.
2、已知分别为的三个内角的对边,已知,若满足条件的三角形有两个,则的取值范围是_____.
【答案】
三.强化训练
1.在中, ,在边上存在一点,满足,作, 为垂足,若为的最小内角,则的取值范围是__________.
【答案】
2. 【2018江苏省常州市武进模拟】中,若、、依次成等比数列,则的取值范围为________.
【答案】
【解析】由已知得,则
即
的取值范围是
故答案为
3. 已知分别为内角的对边,成等比数列,当取最大值时,则的值为_________.
【答案】
4. 【2018河南省豫北豫南名联考】在中,若,则的最大值为__________.
【答案】
【解析】, , 若,则均为钝角,不可能,故, 的最大值为,故答案为.
5、已知平面四边形是由与等腰直角拼接而成,其中, , ,则当点到点的距离最大时,角的大小为__________.
【答案】
【解析】
如图, , ,则,
所以,[ . . ]
所以当时, 最大,即角的大小为。
6. 【2018河北省衡水第一中学模拟】在中,角的对边分别为,且,若的面积为,则的最小值为__________.
【答案】3
7、【2018江西省南城县第一中学模拟】在中,角, , 的对边分别为, , ,且满足,若,则的最小值为__________.
【答案】
【解析】由得
由,得,所以
因此,即的最小值为
8. 【2018云南省师范大学附属中模拟】在中, 为上一点,且, , 为的角平分线,则面积的最大值为__________.
【答案】
9. 已知分别为的三个内角的对边, =2,且,则面积的最大值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由正弦定理得 ,即,由余弦定理得 , ,又,,当且仅当时取等号,此时为正三角形,则的面积的最大值为,故选A.
10、【2018河北省衡水中学模拟】已知的内角的对边分别是,且,若,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】B
11、【2018江西省南昌市莲塘一中模拟】在锐角三角形中, 分别是内角的对边,设,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由正弦定理得 , 为锐角,即,且 为锐角, ,所以,即,
,则的取值范围是,故选A.
12. 【2018四川省绵阳市模拟】已知,且满足,如果存在两条互相垂直的直线与函数的图象都相切,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B