数学理卷·2018届安徽省六安市新安中学高二上学期期末考试（2017-01） 8页

新安中学2016-2017学年度高二上数学（理）期末考试试卷 命题：金 斌 审题：刘美原 一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1. 从一批产品中取出三件产品，设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是(　　)‎ A．A与C互斥 B．B与C互斥 C．任何两个均互斥 D．任何两个均不互斥 ‎2.已知p:或，，则是成立的（ ）‎ A.充分不必要条件　B.必要不充分条件　C.充要条件　 D. 既不充分也不必要条件 ‎3.已知椭圆的一点到椭圆的一个焦点的距离等于6，那么点到椭圆的另一个焦点的距离等于（ ）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎4.双曲线的焦距为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.设原命题为：“若空间两个向量与()共线，则存在实数，使得”则其逆命题、否命题、逆否命题为真的个数( )‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎6.已知抛物线的方程为y＝2ax2，且过点(1,4)，则焦点坐标为(　　)‎ A． 　B． C．(1,0) D．(0,1)‎ ‎7. 从中任取个不同的数，则取出的个数之差的绝对值为的概率是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9. 设点为有公共焦点，的椭圆和双曲线的一个交点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.甲,乙,丙,丁四人进行篮球训练传球,持球人将球等可能的传给其他人,篮球现在被甲持有,共进行三次传球,则传球过程中乙始终没得到球的概率为（　　）‎ ‎ ‎ ‎11.椭圆与直线相交于两点，过中点M与坐标原点的直线的斜率为，则的值为（ ）‎ A．2 B． C．1 D． ‎ ‎12、已知点F为抛物线y2＝8x的焦点，O为坐标原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|＝6，则|PA|＋|PO|的最小值为 (　　)‎ A．8 B． C． D．‎ 第II卷（非选择题）‎ ‎ ‎ 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 如图，在半径为2 的圆内随机撒一百粒豆子，有15 粒落在阴影部分，‎ 据此估计阴影部分的面积为________．‎ ‎14. 已知抛物线的焦点与椭圆的一焦点重合，则该椭圆的离 心率为 ；‎ ‎15.方程 |x+1|＋|y-1|＝2表示的曲线围成的图形面积为________．‎ ‎16.以下四个关于圆锥曲线的命题中：‎ ‎①设A、B为两个定点，K为非零常数，若|PA|﹣|PB|=K，则动点P的轨迹是双曲线；‎ ‎②方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；‎ ‎③双曲线﹣=1与椭圆+y2=1有相同的焦点．‎ ‎④已知抛物线y2=2px，以过焦点的一条弦AB为直径作圆，则此圆与准线相切 其中真命题为　　（写出所有真命题的序号）‎ 三．解答题（本题共6道小题,第1题10分,共70分）‎ ‎17. （10分）六安市为争创文明卫生城市实行生活垃圾分类处理，将生活垃圾分为“厨余垃圾”，“可回收垃圾”、“有害垃圾”和“其他垃圾”四类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾的正确分类投放情况，现随机抽取了我市四类垃圾箱总计100吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：‎ ‎“厨余垃圾”箱 ‎“可回收垃圾”箱 ‎“有害垃圾”箱 ‎“其他垃圾”箱 厨余垃圾 ‎24‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎2‎ 可回收垃圾 ‎4‎ ‎19‎ ‎2‎ ‎3‎ 有害垃圾 ‎2‎ ‎2‎ ‎14‎ ‎1‎ 其他垃圾 ‎1‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎13‎ ‎(1)试估计“可回收垃圾”投放正确的概率； （2）试估计生活垃圾投放错误的概率.‎ ‎18. 命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0,（a＞0），命题q：实数x满足 ‎ ‎（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；‎ ‎（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围． ‎ ‎19. 已知三点P(2，5)、F1(0，-6)、F2(0，6).‎ ‎(1)求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程；‎ ‎(2)设点P、F1、F2关于直线y＝x的对称点分别为P′、F′1、F′2，求以F′1、F′2为焦点过点P′的双曲线的标准方程．‎ ‎20. 已知动圆过定点(4,0)，且在y轴上截得的弦的长为 8.‎ ‎(1)求动圆圆心的轨迹方程；‎ ‎(2)过点（2,0）的直线与相交于，两点．求证：是一个定值．‎ ‎21.已知点A，B的坐标分别是 ，，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是﹣1．‎ ‎（1）过点M的轨迹C的方程；‎ ‎（2）过原点作两条互相垂直的直线，， 分别交曲线C于点A，C和B，D，求四边形ABCD面积的最小值．‎ ‎22. 如图，椭圆E： (a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率.过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8.‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.‎ 高二数学期末考试试卷参考答案 一．选择题： 1.C 2A. 3.A 4.C 5.C 6.A 7. D 8.B 9.C 10.D 11.D 12. C 二： 13.0.6； 14. 15.8 16。②④‎ ‎17解：(Ⅰ)依题意得，“可回收垃圾”共有（吨）‎ 其中投放正确的，即投入了“可回收垃圾”箱的有吨……………………………3分 设事件为“可回收垃圾投放正确”，‎ 所以，可估计“可回收垃圾”投放正确的概率为……………………………5分 ‎（Ⅱ）据数据统计，总共抽取了吨生活垃圾，其中“厨余垃圾”，“可回收垃圾”，“有害垃圾”，“其他垃圾”投放正确的数量分别为24吨，19吨，14吨，13吨。………………7分 故生活垃圾投放正确的数量为吨，‎ 所以，生活垃圾投放错误的总量为吨 设事件“生活垃圾投放错误”，‎ 故可估计生活垃圾投放错误的概率为。‎ ‎18. （1）∵a=1，p∧q为真，∴p，q都为真．‎ p：x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜3． 命题q：x满足2＜x≤3．‎ ‎∴，解得2＜x＜3．∴实数x的取值范围是2＜x＜3．‎ ‎（2）命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（其中a＞0），解得a＜x＜3a．q：x满足2＜x≤3．‎ ‎∵q是p的充分不必要条件，∴，解得1＜a≤2．∴实数a的取值范围是（1，2]．‎ ‎19．解　(1)由题意可设所求椭圆的标准方程为 (a>b>0)，则c＝6,2a＝|PF1|＋|PF2|＝＋＝6，所以a＝3，b2＝a2－c2＝45－36＝9.‎ 故所求椭圆的标准方程为 ‎(2)点P (2,5)、F1(0，－6)、F2(0,6)．关于直线y＝x的对称点分别为P′(5,2)、F1′(－6,0)、F2′(6,0) ‎ 设所求双曲线的标准方程为 (a>0，b>0)，由题意知，c1＝6, 2a1＝||P′F′1|－|P′F′2||＝|－|＝4，所以a1＝2，b＝c－a＝36－20＝16.‎ 故所求双曲线的标准方程为：‎ ‎20. 解：(1)设圆心为C(x，y)，线段MN的中点为T，则 1分 ‎|MT|＝＝4. ‎ 依题意，得|CP|2＝|CM|2＝|MT|2＋|TC|2，∴， ‎ ‎∴为动圆圆心C的轨迹方程． 4分 ‎(2)证明：设直线l的方程为x＝ky＋2，A（x1,y1）,B（x2,y2） 5分 由，得y2－8ky－16＝0. 。 7分 ‎∴y1＋y2＝8k，y1y2＝－16，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)． 8分 ‎∵·＝x1x2＋y1y2＝(ky1＋2)(ky2＋2)＋y1y2 9分 ‎＝k2y1y2＋2k(y1＋y2)＋4＋y1y2‎ ‎＝－16k2＋16k2＋4－16＝－12. 11分 ‎∴·是一个定值． 12分 ‎21解：（1）令M点坐标为（x，y），直线AM的斜率，直线BM的斜率，‎ 因为直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是﹣1，所以有，‎ 化简得到点M的轨迹C方程为 …6分 ‎（2）由题意知，直线l1，l2的斜率存在且不为零，‎ 设直线l1的斜率为k1，则直线l1的方程为y=k1x．‎ 由得，‎ 设A（x1，y1），C（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实根，‎ 于是x1+x2=k1，，‎ 则，‎ 又直线l2的斜率为，可得 所以，‎ 当且仅当即k1=±1，四边形ABCD的面积有最小值为2 …12分 ‎22．解答(1)因为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8，‎ 即|AF1|＋|F1B|＋|AF2|＋|BF2|＝8，又|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a，‎ 所以4a＝8，a＝2.‎ 又因为，即，所以c＝1.‎ 所以.‎ 故椭圆E的方程是 .‎ ‎(2)由 得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.‎ 因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m≠0且＝0，‎ 即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，‎ 化简得4k2－m2＋3＝0.(*)‎ 此时，y0＝kx0＋m＝，‎ 所以P(，).‎ 由得Q(4,4k＋m).‎ 假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上.‎ 设M(x1,0)，则对满足(*)式的m，k恒成立.‎ 因为＝(，)，＝(4－x1,4k＋m)，由，‎ 得，‎ 整理，得(4x1－4)＋x12－4x1＋3＝0.(**)‎ 由于(**)式对满足(*)式的m，k恒成立，所以解得x1＝1.‎ 故存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.‎