【数学】2019届一轮复习人教B版　 空间点、直线、平面之间的位置关系 学案 14页

第 40 讲　空间点、直线、平面之间的位置关系 考纲要求 考情分析 命题趋势 2017·全国卷Ⅱ， 10 2017·全国卷Ⅲ， 16 2016·浙江卷，2 理解空间直线、平面位 置关系的定义，并了解可以 作为推理依据的公理和定理. 分值：5 分 空间点、线、面的位置关系以 位置关系的判断为主要考查点，同 时也考查逻辑推理能力和空间想象 能力. 1．平面的基本性质 (1)公理 1：如果一条直线上的__两点__在一个平面内，那么这条直线在此平面内． (2)公理 2：过__不在一条直线上__的三点，有且只有一个平面． (3)公理 3：如果两个不重合的平面有__一个__公共点，那么它们有且只有一条过该点的 公共直线． (4)公理 2 的三个推论 推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面； 推论 2：经过两条__相交__直线有且只有一个平面； 推论 3：经过两条__平行__直线有且只有一个平面． 2．空间中两直线的位置关系 (1)空间中两直线的位置关系 Error! (2)异面直线所成的角 ①定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 a′∥a，b′∥b，把 a′ 与 b′所成的__锐角(或直角)__叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)． ②范围：__(0，π 2 ]__. (3)平行公理：平行于__同一条直线__的两条直线互相平行． (4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角__相等或互补__. 3．直线与平面、平面与平面之间的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有__相交__、__平行__、__在平面内__三种情况． (2)平面与平面的位置关系有__平行__、__相交__两种情况． 1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分．(　×　) (2)两个平面 α，β 有一个公共点 A，就说 α，β 相交于 A 点，并记作 α∩β＝A．(　×　) (3)两个平面 ABC 与 DBC 相交于线段 BC．(　×　) (4)已知 a，b 是异面直线，直线 c 平行于直线 a，那么 c 与 b 不可能是平行直 线．(　√　) (5)没有公共点的两条直线是异面直线．(　×　) 解析 (1)错误．当两个平面平行时，把空间分成三部分． (2)错误．由公理 3 知应交于过点 A 的一条直线． (3)错误．应相交于直线 BC，而非线段． (4)正确．因为若 c∥b，则由已知可得 a∥b，这与已知矛盾． (5)错误．异面或平行． 2．若空间三条直线 a，b，c 满足 a⊥b，b∥c，则直线 a 与 c(　D　) A．一定平行　　 B．一定相交 C．一定是异面直线　　 D．一定垂直 解析 因为 b∥c，a⊥b，所以 a⊥c，即 a 与 c 垂直． 3．下列命题正确的个数为(　C　) ①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面； ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面． A．0　　 B．1　　 C．2　　 D．3 解析 ①错误，②③正确． 4．已知直线 a 和平面 α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且 a 在 α，β 内的射影分别为直线 b 和 c，则直线 b 和 c 的位置关系是(　D　) A．相交或平行　　 B．相交或异面 C．平行或异面　　 D．相交、平行或异面 解析 依题意，直线 b 和 c 的位置关系可能是相交、平行或异面． 5．如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB ，AD 的中点，则异面 直线 B1C 与 EF 所成的角的大小为__60°__. 解析 连接 B1D1，D1C，则 B1D1∥EF，故∠D1B1C 为所求，又 B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C ＝60°. 一　平面的基本性质及应用 用平面的基本性质证明共点、共线、共面的方法 (1)证明点或线共面问题的两种方法：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面， 然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再 证两平面重合． (2)证明点共线问题的两种方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直 线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上． (3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该 点． 【例 1】 以下四个命题中，正确命题的个数是(　B　) ①不共面的四点中，其中任意三点不共线； ②若点 A，B，C，D 共面，点 A，B，C，E 共面，则 A，B，C，D，E 共面； ③若直线 a，b 共面，直线 a，c 共面，则直线 b，c 共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面． A．0　　 B．1　　 C．2　　 D．3 解析 ①显然是正确的，可用反证法证明；②中若 A，B，C 三点共线，则 A，B，C， D，E 五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图显然 b，c 异面，故不正确；④中空间 四边形中四条线段不共面．故只有①正确，故选 B． 【例 2】 已知空间四边形 ABCD(如图所示)，E，F 分别是 AB，AD 的中点，G，H 分别 是 BC，CD 上的点，且 CG＝1 3BC，CH＝1 3DC．求证： (1)E，F，G，H 四点共面； (2)直线 FH，EG，AC 共点． 解析 (1)连接 EF，GH， ∵E，F 分别是 AB，AD 的中点，∴EF∥BD． 又∵CG＝1 3BC，CH＝1 3DC， ∴GH∥BD，∴EF∥GH，∴E，F，G，H 四点共面． (2)由(1)知 FH 与直线 AC 不平行，但共面， ∴设 FH∩AC＝M，∴M∈平面 EFHG，M∈平面 ABC． 又∵平面 EFHG∩平面 ABC＝EG，∴M∈EG.∴FH，EG，AC 共点． 二　空间两条直线的位置关系 判断空间两条直线的位置关系的方法 (1)异面直线，可采用直接法或反证法． (2)平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理 4 及线面平行与面面平行的性质 定理． (3)垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决． 【例 3】 如图所示，正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M，N 分别是 A1B1，B1C1 的中点．问： (1)AM 和 CN 是否是异面直线？说明理由； (2)D1B 和 CC1 是否是异面直线？说明理由． 解析 (1)不是异面直线．理由如下： 连接 MN，A1C1，AC． ∵M，N 分别是 A1B1，B1C1 的中点，∴MN∥A1C1. 又∵A1A C1C，∴A1ACC1 为平行四边形． ∴A1C1∥AC，∴MN∥AC， ∴A，M，N，C 在同一平面内， 故 AM 和 CN 不是异面直线． (2)是异面直线．证明如下： ∵ABCD－A1B1C1D1 是正方体，∴B，C，C1，D1 不共面． 假设 D1B 与 CC1 不是异面直线，则存在平面 α，使 D1B⊂平面 α，CC1⊂平面 α， ∴D1，B，C，C1∈α 矛盾．∴假设不成立，即 D1B 与 CC1 是异面直线． 三　两条异面直线所成的角 两异面直线所成角的作法及求解步骤 (1)找异面直线所成的角的三种方法： ①利用图中已有的平行线平移． ②利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移． ③补形平移． (2)求异面直线所成的角的三个步骤： ①作：通过作平行线，得到相交直线． ②证：证明相交直线所成的角或其补角为异面直线所成的角． ③算：通过解三角形，求出该角． 【例 4】 (2017·全国卷Ⅲ)a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的 直角边 AC 所在直线与 a，b 都垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线 AB 与 a 成 60°角时，AB 与 b 成 30°角； ②当直线 AB 与 a 成 60°角时，AB 与 b 成 60°； ③直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45°； ④直线 AB 与 a 所成角的最大值为 60°. 其中正确的是__②③__(填写所有正确结论的编号)． 解析 由题意，AB 是 AC 为轴，BC 为底面半径的圆锥的母线，又 AC⊥a，AC⊥b，AC⊥ 圆锥底面，∴在底面内可以过点 B，作 BD∥a，交底面圆 C 于点 D，如图所示，连接 DE， 则 DE⊥BD，∴DE∥b，连接 AD，设 BC＝1，在等腰△ABD 中，AB＝AD＝ 2，当直线 AB 与 a 成 60°角时，∠ABD＝60°，故 BD＝ 2，又在 Rt△BDE 中，BE＝2，∴DE＝ 2，过点 B 作 BF∥DE，交圆 C 于点 F，连接 AF，EF，∴BF＝DE＝ 2，∴△ABF 为等边三角形，∴∠ ABF＝60°，即 AB 与 b 成 60°角，故②正确，①错误． 由最小角定理可知③正确；很明显，可以满足平面 ABC⊥直线 a， ∴直线 AB 与 a 所成角的最大值为 90°，④错误． ∴正确的说法为②③. 1．下列命题中正确的个数是(　A　) ①过异面直线 a，b 外一点 P 有且只有一个平面与 a，b 都平行； ②异面直线 a，b 在平面 α 内的射影相互垂直，则 a⊥b； ③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； ④直线 a，b 分别在平面 α，β 内，且 a⊥b，则 α⊥β. A．0　　 B．1　　 C．2　　 D．3 解析 对于①，当点 P 与两条异面直线中的一条直线确定的平面与另一条直线平行时， 就无法找到过点 P 且与两条异面直线都平行的平面，故①错误；对于②，在如图 1 所示的 三棱锥 P－ABC 中，PB⊥面 ABC，BA⊥BC，满足 PA，PC 两边在底面的射影相互垂直， 但 PA 与 PC 不垂直，故②错误；对于③，在如图 2 所示的三棱锥 P－ABC 中，AB＝BC＝AC ＝PA＝2，PB＝PC＝3，满足底面 ABC 是等边三角形，侧面都是等腰三角形，但三棱锥 P－ ABC 不是正三棱锥，故③错误；对于④，直线 a，b 分别在平面 α，β 内，且 a⊥b，则 α，β 可以平行，故④错误．所以正确命题的个数为 0，选 A． 2．两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是　(　C　) A．两条相交直线　　　　 B．两条平行直线 C．两个点　　　 D．一条直线和直线外一点 解析 如图，在正方体 ABCD－EFGH 中，M，N 分别为 BF，DH 的中点，连接 MN， DE，CF，EG.当异面直线为 EG，MN 所在直线时，它们在底面 ABCD 内的射影为两条相交 直线；当异面直线为 DE，GF 所在直线时，它们在底面 ABCD 内的射影分别为 AD，BC， 是两条平行直线；当异面直线为 DE，BF 所在直线时，它们在底面 ABCD 内的射影分别为 AD 和点 B，是一条直线和一个点，故选 C． 3．(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC 1＝ 1，则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为(　C　) A． 3 2 　　 B． 15 5 　　 C． 10 5 　　 D． 3 3 解析 如图所示，将直三棱柱 ABC－A1B1C1 补成直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1，连接 AD1， B1D1，则 AD1∥BC1，所以∠B1AD1 或其补角为异面直线 AB1 与 BC1 所成的角．因为∠ABC＝ 120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，所以 AB1＝ 5，AD1＝ 2.在△B1D1C1 中，∠B1C1D1＝60°，B1C1 ＝ 1 ， D1C1 ＝ 2 ， 所 以 B1D1 ＝ 12＋22－2 × 1 × 2cos 60°＝ 3， 所 以 cos ∠ B1AD1 ＝ 5＋2－3 2 × 5 × 2 ＝ 10 5 ，故选 C． 4．如图，在直二面角 E－AB－C 中，四边形 ABEF 是矩形，AB＝2，AF＝2 3，△ABC 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，点 P 是线段 BF 上的一点，PF＝3. (1)证明：FB⊥平面 PAC； (2)求异面直线 PC 与 AB 所成的角的余弦值． 解析 (1)证明：易得 FB＝4，cos ∠PFA＝cos ∠BFA＝ 3 2 ， 在△PAF 中，由余弦定理得 PA＝ PF2＋FA2－2PF·FA·cos ∠PFA＝ 9＋12－2 × 3 × 2 3 × 3 2 ＝ 3. ∵PA2＋PF2＝3＋9＝12＝AF2，∴PA⊥BF. ∵平面 ABEF⊥平面 ABC，平面 ABEF∩平面 ABC＝AB，AB⊥AC，∴AC⊥平面 ABEF. ∵BF⊂平面 ABEF，∴AC⊥BF. ∵PA∩AC＝A，∴BF⊥平面 PAC． (2)过 P 作 PM∥AB，PN∥AF，分别交 BE，BA 于 M，N，∠MPC 或其补角为 PC 与 AB 所成的角．连接 MC，NC． 易得 PN＝MB＝ 3 2 ，AN＝3 2，NC＝ AN2＋AC2＝5 2，BC＝2 2，PC＝ PN2＋NC2＝ 7， MC＝ MB2＋BC2＝ 35 2 ， cos ∠MPC＝ 1 4＋7－35 4 2 × 1 2 × 7 ＝ －3 2 7 ＝－3 7 14 . ∴异面直线 PC 与 AB 所成的角的余弦值为3 7 14 . 易错点　忽视位置关系 错因分析：考虑问题不全面，忽略元素存在的多种可能性，导致丢解． 【例 1】 设平面 α，β 满足 α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线 AB 与 CD 交于 S，若 SA＝ 18，SB＝9，CD＝34，求 SC 的长度． 解析 设相交直线 AB，CD 确定的平面 γ，则 γ∩α＝AC， γ∩β＝BD，由 α∥β，得 AC∥BD． ①当 S 点在两平面的同侧时，如图 1，因为 AC∥BD， 所以SB SA＝SD SC，即 9 18＝SC－34 SC ，所以 SC＝68. ②当 S 点在两平面之间时，如图 2，因为 AC∥BD，所以 SA SB＝SC SD＝ SC CD－SC，即18 9 ＝ SC 34－SC，解得 SC＝68 3 . 综上知 SC＝68 或 SC＝68 3 . 　　 【跟踪训练 1】 若一直线上有相异三个点 A，B，C 到平面 α 的距离相等，那么直线 l 与平面 α 的位置关系是(　D　) A．l∥α　　　　 B．l⊥α C．l 与 α 相交且不垂直　　　　 D．l∥α 或 l⊂α 解析 由于 l 上有三个相异点到平面 α 的距离相等，则 l 与 α 可以平行，l⊂α 时也成 立． 课时达标　第 40 讲 [解密考纲]考查点、线、面的位罝关系常以选择题或填空题的形式出现． 一、选择题 1．设 a，b 是平面 α 内两条不同的直线，l 是平面 α 外的一条直线，则“l⊥a，l⊥b” 是“l⊥α”的(　C　) A．充要条件　　 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件　　 D．既不充分也不必要条件 解析 直线 a，b 平行时，由“l⊥a，l⊥b”⇒/　“l⊥α”；“l⊥α”⇒“l⊥a，l⊥b”，所 以“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的必要不充分条件． 2．如图所示，ABCD－A1B1C1D1 是长方体，O 是 B1D1 的中点，直线 A1C 交平面 AB1D1 于点 M，则下列结论正确的是(　A　) A．A，M，O 三点共线 B．A，M，O，A1 不共面 C．A，M，C，O 不共面 D．B，B1，O，M 共面 解析 连接 A1C1，AC，则 A1C1∥AC， ∴A1，C1，C，A 四点共面． ∴A1C⊂平面 ACC1A1. ∵M∈A1C，∴M∈平面 ACC1A1. 又 M∈平面 AB1D1，∴M 为平面 ACC1A1 与 AB1D1 的公共点． 同理 O，A 为平面 ACC1A1 与平面 AB1D1 的公共点． ∴A，M，O 三点共线． 3．正方体 A1C 中，E，F 分别是线段 BC，CD1 的中点，则直线 A1B 与直线 EF 的位置 关系是(　A　) A．相交　　 B．异面 C．平行　　 D．垂直 解析 如图所示，直线 A1B 与直线外一点 E 确定的平面为 A1BCD1，EF⊂平面 A1BCD1， 且两直线不平行，故两直线相交． 4．已知空间中有三条线段 AB，BC 和 CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线 AB 与 CD 的 位置关系是(　D　) A．AB∥CD B．AB 与 CD 异面 C．AB 与 CD 相交 D．AB∥CD 或 AB 与 CD 异面或 AB 与 CD 相交 解析 若三条线段共面，如果 AB，BC，CD 构成等腰三角形，则直线 AB 与 CD 相交， 否则直线 AB 与 CD 平行；若不共面，则直线 AB 与 CD 是异面直线． 5.如图，直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠BCA＝90°，点 D1，F1 分别是 A1B1，A1C1 的中点， 若 BC＝CA＝CC1＝1，则 BD1 与 AF1 所成角的余弦值为(　A　) A． 30 10 　　 B．1 2 C． 30 15 　　 D． 15 10 解析 取 BC 的中点 E，连接 EF1，EA，则可知∠EF1A 为 BD1 与 AF1 所成的角，在△AEF1 中 ， 可 求 得 F1E ＝ 6 2 ， AF1 ＝ 5 2 ， AE ＝ 5 2 ， 由 余 弦 定 理 得 ， cos ∠ EF1A ＝ ( 6 2 )2＋( 5 2 )2－( 5 2 )2 2 × 6 2 × 5 2 ＝ 30 10 ，故选 A． 6．如图，在正方体 ABCD－A 1B1C1D1 中，点 M，N 分别在 AB1，BC1 上，且 AM＝1 3 AB1，BN＝1 3BC1.给出下列结论：①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面 A1B1C1D1；④B1D1 ⊥MN.其中正确结论的个数是(　B　) A．1　　 B．2　　 C．3　　 D．4 解析 在 BB1 上取一点 P，使 BP＝1 3BB1，连接 PN，PM.∵点 M，N 分别在 AB1，BC1 上， 且 AM＝1 3AB1，BN＝1 3BC1，∴PN∥B1C1，PM∥A1B1.又∵PN∩PM＝P，B1C1∩A1B1＝B1，∴ 平面 PMN∥平面 A1B1C1D1.∵MN⊂平面 PMN，∴MN∥平面 A 1B1C1D1.又∵AA1⊥平面 PMN，∴ AA1⊥MN.故①③正确．分别作 MM1∥BB1，NN1∥CC1，交 A1B1，B1C1 于点 M1，N1，连接 M1N1，则 M1N1 不平行于 A1C1，∴MN 与 A1C1 不平行．又∵A1C1⊥B1D1，∴B1D1 与 MN 不 垂直，故②④不正确．∴正确结论的个数是 2，故选 B． 二、填空题 7．下列如图所示是正方体和正四面体，P，Q，R，S 分别是所在棱的中点，则四个点 共面的图形是__①②③__. 解析 在④图中，可证 Q 点所在棱与平面 PRS 平行，因此，P，Q，R，S 四点不共面．可 证①中四边形 PQRS 为梯形；③中可证四边形 PQRS 为平行四边形；②中如图所示，取 A1A 与 BC 的中点为 M，N，可证明 PMQNRS 为平面图形，且 PMQNRS 为正六边形． 8．四棱锥 P－ABCD 的顶点 P 在底面 ABCD 上的投影恰好是 A，其三视图如图所示， 其中正视图与侧视图都是腰长为 a 的等腰三角形，则在四棱锥 P－ABCD 的任意两个顶点的 连线中，互相垂直的异面直线共有__6__对． 解析 由题意可得 PA⊥BC，PA⊥CD，AB⊥PD，BD⊥PA，BD⊥PC，AD⊥PB，即互 相垂直的异面直线共有 6 对． 9．如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M，N 分别为棱 C1D1，C1C 的中点，有以下 四个结论： ①直线 AM 与 CC1 是相交直线； ②直线 AM 与 BN 是平行直线； ③直线 BN 与 MB1 是异面直线； ④直线 MN 与 AC 所成的角为 60°. 其中正确的结论为__③④__(填所有正确结论的序号)． 解析 AM 与 CC1 是异面直线，AM 与 BN 是异面直线，BN 与 MB1 为异面直线．因为 D1C ∥MN，所以直线 MN 与 AC 所成的角就是 D1C 与 AC 所成的角，为 60°. 三、解答题 10．如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M，N 分别是棱 CD，CC1 的中点，求异面 直线 A1M 与 DN 所成的角的大小． 解析 如图，连接 D1M，可证 D1M⊥DN. 又∵A1D1⊥DN，A1D1，MD1⊂平面 A1MD1， A1D1∩MD1＝D1，∴DN⊥平面 A1MD1， ∴DN⊥A1M， 即异面直线 A1M 与 DN 所成的夹角为 90°. 11．如图，四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC 1 2AD，BE 1 2FA，G，H 分别为 FA, FD 的中点． (1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形． (2)C，D，F，E 四点是否共面？为什么？ 解析 (1)证明：由已知 FG＝GA，FH＝HD，可得 GH 1 2AD． 又 BC 1 2AD，∴GH BC． ∴四边形 BCHG 为平行四边形． (2)由 BE 1 2AF，G 为 FA 的中点知，BE FG， ∴四边形 BEFG 为平行四边形． ∴EF∥BG.由(1)知 BG∥CH，∴EF∥CH，∴EF 与 CH 共面． 又 D∈FH，∴C，D，F，E 四点共面． 12．如图所示，在三棱锥 P－ABC 中，PA⊥平面 ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝ 2，E 是 PC 的中点． (1)求证：AE 与 PB 是异面直线； (2)求异面直线 AE 和 PB 所成角的余弦值； (3)求三棱锥 A－EBC 的体积． 解析 (1)证明：假设 AE 与 PB 共面，设此平面为 α. 因为 A∈α，B∈α，E∈α，所以平面 α 即为平面 ABE， 所以 P∈平面 ABE，这与 P∉平面 ABE 矛盾，所以 AE 与 PB 是异面直线． (2)取 BC 的中点 F，连接 EF，AF， 则 EF∥PB，所以∠AEF 或其补角就是异面直线 AE 和 PB 所成的角， 因为∠BAC＝60°， PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面 ABC， 所以 AF＝ 3，AE＝ 2，EF＝ 2， 由余弦定理得 cos ∠AEF＝ 2＋2－3 2 × 2 × 2 ＝1 4， 所以异面直线 AE 和 PB 所成角的余弦值为1 4. (3)因为 E 是 PC 的中点，所以点 E 到平面 ABC 的距离为 1 2PA＝1， VA－EBC＝VE－ABC＝1 3×( 1 2 × 2 × 2 × 3 2 )×1＝ 3 3 .