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- 2021-06-09 发布
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开平二中2014届高三年级期中考试题数 学(理科)
本试卷共2页,共21小题, 满分150分. 考试用时120分钟.
参考公式:锥体的体积公式,其中是锥体的底面积,是锥体的高.
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.复数i(i为虚数单位),则等于( )
A. B. C. D.
2.已知集合,集合,则( )
A. B. C. D.
3.已知函数, 则的值是 ( )
开始
K=1
?
是
否
输出
结束
A. B. C. D.
4.设向量,,则下列结论中正确的是
A. B.
C. D.
5. 已知是实数,则“且”是
“且”的 ( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6、如果执行右面的程序框图,那么输出的( )
A.2450 B.2500
C.2550 D.2652
7.已知等差数列的前n项和为,若,则的值为( )
A. B. C. D.
8.在R上定义运算若对任意,不等式都成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.
(一)必做题(9~13题)
9、不等式<3的解集为
10. 命题“”的否定是 。
11、△的三个内角、、所对边的长分别为、、,已知,
则= .
12. 的展开式的常数项是 (结果用数值作答)
13、 若 , 满足约束条件,则的最大值为 .
(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)
14.(几何证明选讲选做题)
如图3,已知是⊙的一条弦,点为上一点,,
交⊙于,若,,则的长是
15.(坐标系与参数方程选讲选做题)
已知圆的参数方程为为参数), 以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为, 则直线截圆所得的弦长是 .
三、解答题:本大题共6小题,满分80分.
解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16、(本小题满分12分)
已知函数.
(1)求的值; (2)求函数的最小正周期;
(3)若,求的值。
17、(本小题满分12分)
某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样,购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖,中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。
(Ⅰ)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率;
(Ⅱ)求中奖人数X的分布列及数学期望EX.
18、(本小题满14分)
如图4,在四棱锥中,底面是矩形,平面,
,,于点.
(1)求四棱锥的体积;
(2) 求证:;
(3) 求直线与平面所成的角的余弦值.
19、(本小题满分14分)
已知数列的前项和为,,
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列求数列的前项和.
20 、(本小题满分14分)
已知椭圆的离心率. 直线()与曲线交于
不同的两点,以线段为直径作圆,圆心为.
(1) 求椭圆的方程;
(2) 若圆与轴相交于不同的两点,求的面积的最大值.
21、(本小题满分14分)
已知函数=,其中a>0.
(Ⅰ)若a=1,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)若在区间上,恒成立,求a的取值范围。
2014届高三数学期中考试参考答案(理科)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
B
D
C
C
C
C
9、 10. 11.
12. 13. 9 14.15.
16.(本小题满分12分)
解:
(1) …………… 2分
(2)
…………… 3分
. …………… 5分
周期 …………… 6分
(3)解:由(1)可知,
∴,得. …………… 8分
∴ …………… 9分
…………… 10分
…………… 11分
. …………… 12分
17.(本小题满分12分)
解:(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C,那么
P(A)=P(B)=P(C)=
P()=P(A)P()P()=
答:甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为……………………………………6分
(2)x的可能值为0,1,2,3
P(ξ=k)=(k=0,1,2,3)
所以中奖人数ξ的分布列为
x
0
1
2
3
P
Ex=0×+1×+2×+3×=………………………………………………12分
18.(本小题满分l4分)
(本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角等知识, 考查数形结合的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)
(1)四棱锥的体积
……2分
(2)∵ 平面,平面,∴.
∵,平面,平面,
∴平面.
∵平面
∴, ……5分
∵, ,平面,平面,
∴平面.
∵平面,
∴. ……7分
(2)解法1:由(1)知,,又,
则是的中点,
在Rt△中,得,在Rt△中,得,
∴.
设点到平面的距离为,由, ……8分
得.
解得, ……10分
设直线与平面所成的角为,则, ……12分
∴.
∴ 直线与平面所成的角的余弦值为. ……14分
解法2: 如图所示,以点为坐标原点,建立空间直角坐标系,
则,,,,,.
∴. ……8分
设平面的一个法向量为,
由可得:
令,得.
∴. ……10分
设直线与平面所成的角为,则. ……12分
∴.
∴直线与平面所成的角的余弦值为. ……14分
19.(本小题满分14分)
(本小题主要考查数列、数列求和等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)
(1)解:,
∴ ……… 1分
∴.
∴ …………… 3分
∴ ……………… 1分
是公比为2首项为1的等比数列
. ……… 8分
(2)解:∵,
∴. ① ……… 9分
.② …………… 10分
①②得 …………… 11分
…………… 12分
. …………… 13分
∴. …………… 14分
20.(本小题满分14分)
(本小题主要考查椭圆、圆、直线与圆的位置关系等知识,
考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)
(1)解:∵椭圆的离心率,
∴. …… 2分
解得.
∴ 椭圆的方程为. …… 4分
(2)解法1:依题意,圆心为.
由 得.
∴ 圆的半径为. …… 6分
∵ 圆与轴相交于不同的两点,且圆心到轴的距离,
∴ ,即.
∴ 弦长. …… 8分
∴的面积 …… 9分
. …… 12分
当且仅当,即时,等号成立.
∴ 的面积的最大值为. …… 14分
解法2:依题意,圆心为.
由 得.
∴ 圆的半径为. …… 6分
∴ 圆的方程为.
∵ 圆与轴相交于不同的两点,且圆心到轴的距离,
∴ ,即.
在圆的方程中,令,得,
∴ 弦长. …… 8分
∴的面积 …… 9分
. ……12分
当且仅当,即时,等号成立.
∴ 的面积的最大值为. … 14分
21、【解析】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法.满分12分.
(Ⅰ)解:当a=1时,f(x)=,f(2)=3;f’(x)=, f’(2)=6.所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-3=6(x-2),即y=6x-9.
(Ⅱ)解:f’(x)=.令f’(x)=0,解得x=0或x=.
以下分两种情况讨论:
若,当x变化时,f’(x),f(x)的变化情况如下表:
X
0
f’(x)
+
0
-
f(x)
极大值
当等价于
解不等式组得-52,则.当x变化时,f’(x),f(x)的变化情况如下表:
X
0
f’(x)
+
0
-
0
+
f(x)
极大值
极小值
当时,f(x)>0等价于即
解不等式组得或.因此2