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  • 2021-06-09 发布

广东省开平二中2014届高三数学上学期期中试题 理 新人教A版

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开平二中2014届高三年级期中考试题数 学(理科)‎ 本试卷共2页,共21小题, 满分150分. 考试用时120分钟.‎ 参考公式:锥体的体积公式,其中是锥体的底面积,是锥体的高.‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数i(i为虚数单位),则等于( ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知集合,集合,则( ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知函数, 则的值是 ( )‎ 开始 K=1‎ ‎?‎ 是 否 输出 结束 A. B. C. D. ‎ ‎4.设向量,,则下列结论中正确的是 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D.‎ ‎5. 已知是实数,则“且”是 ‎“且”的 ( ) ‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 ‎ C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎ ‎6、如果执行右面的程序框图,那么输出的(  )‎ A.2450 B.2500 ‎ C.2550 D.2652‎ ‎7.已知等差数列的前n项和为,若,则的值为( ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎8.在R上定义运算若对任意,不等式都成立,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.‎ ‎(一)必做题(9~13题)‎ ‎9、不等式<3的解集为 ‎ ‎10. 命题“”的否定是 。‎ ‎11、△的三个内角、、所对边的长分别为、、,已知,‎ ‎ 则= .‎ ‎12. 的展开式的常数项是 (结果用数值作答)‎ ‎13、 若 , 满足约束条件,则的最大值为 .‎ ‎(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)‎ ‎14.(几何证明选讲选做题) ‎ 如图3,已知是⊙的一条弦,点为上一点,,‎ 交⊙于,若,,则的长是 ‎ ‎15.(坐标系与参数方程选讲选做题)‎ 已知圆的参数方程为为参数), 以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为, 则直线截圆所得的弦长是 .‎ 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.‎ 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎16、(本小题满分12分)‎ 已知函数.‎ ‎(1)求的值; (2)求函数的最小正周期;‎ ‎(3)若,求的值。‎ ‎17、(本小题满分12分)‎ 某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样,购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖,中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。‎ ‎(Ⅰ)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率;‎ ‎(Ⅱ)求中奖人数X的分布列及数学期望EX.‎ ‎18、(本小题满14分)‎ 如图4,在四棱锥中,底面是矩形,平面,‎ ‎,,于点.‎ ‎(1)求四棱锥的体积;‎ ‎ (2) 求证:;‎ ‎ (3) 求直线与平面所成的角的余弦值.‎ ‎19、(本小题满分14分)‎ 已知数列的前项和为,,‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若数列求数列的前项和.‎ ‎20 、(本小题满分14分)‎ 已知椭圆的离心率. 直线()与曲线交于 ‎ 不同的两点,以线段为直径作圆,圆心为.‎ ‎ (1) 求椭圆的方程;‎ ‎ (2) 若圆与轴相交于不同的两点,求的面积的最大值.‎ ‎21、(本小题满分14分)‎ 已知函数=,其中a>0. ‎ ‎(Ⅰ)若a=1,求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)若在区间上,恒成立,求a的取值范围。‎ ‎2014届高三数学期中考试参考答案(理科)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 A D B D C C C C ‎9、 10. 11. ‎ ‎12. 13. 9 14.15. ‎ ‎16.(本小题满分12分)‎ 解:‎ ‎(1) …………… 2分 ‎(2)‎ ‎ …………… 3分 ‎ ‎ ‎. …………… 5分 ‎ 周期 …………… 6分 ‎(3)解:由(1)可知,‎ ‎∴,得. …………… 8分 ‎∴ …………… 9分 ‎ …………… 10分 ‎ …………… 11分 ‎. …………… 12分 ‎17.(本小题满分12分)‎ 解:(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C,那么 P(A)=P(B)=P(C)=‎ P()=P(A)P()P()=‎ 答:甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为……………………………………6分 ‎(2)x的可能值为0,1,2,3‎ P(ξ=k)=(k=0,1,2,3)‎ 所以中奖人数ξ的分布列为 x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P Ex=0×+1×+2×+3×=………………………………………………12分 ‎18.(本小题满分l4分)‎ ‎ (本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角等知识, 考查数形结合的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)‎ ‎(1)四棱锥的体积 ‎ ……2分 ‎ (2)∵ 平面,平面,∴.‎ ‎∵,平面,平面,‎ ‎∴平面.‎ ‎∵平面 ‎∴, ……5分 ‎∵, ,平面,平面,‎ ‎∴平面.‎ ‎∵平面,‎ ‎∴. ……7分 ‎(2)解法1:由(1)知,,又,‎ ‎ 则是的中点,‎ ‎ 在Rt△中,得,在Rt△中,得, ‎ ‎ ∴.‎ 设点到平面的距离为,由, ……8分 得.‎ 解得, ……10分 设直线与平面所成的角为,则, ……12分 ‎ ∴. ‎ ‎ ∴ 直线与平面所成的角的余弦值为. ……14分 解法2: 如图所示,以点为坐标原点,建立空间直角坐标系,‎ ‎ 则,,,,,.‎ ‎ ∴. ……8分 设平面的一个法向量为,‎ 由可得:‎ 令,得.‎ ‎∴. ……10分 设直线与平面所成的角为,则. ……12分 ‎∴.‎ ‎∴直线与平面所成的角的余弦值为. ……14分 ‎19.(本小题满分14分)‎ ‎(本小题主要考查数列、数列求和等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)‎ ‎(1)解:,‎ ‎∴ ……… 1分 ‎∴. ‎ ‎ ∴ …………… 3分 ‎ ‎ ‎∴ ……………… 1分 是公比为2首项为1的等比数列 ‎ . ……… 8分 ‎(2)解:∵, ‎ ‎ ∴. ① ……… 9分 ‎ .② …………… 10分 ‎①②得 …………… 11分 ‎ …………… 12分 ‎ . …………… 13分 ‎ ∴. …………… 14分 ‎20.(本小题满分14分)‎ ‎(本小题主要考查椭圆、圆、直线与圆的位置关系等知识, ‎ ‎ 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)‎ ‎(1)解:∵椭圆的离心率,‎ ‎ ∴. …… 2分 ‎ 解得.‎ ‎ ∴ 椭圆的方程为. …… 4分 ‎(2)解法1:依题意,圆心为.‎ ‎ 由 得. ‎ ‎∴ 圆的半径为. …… 6分 ‎∵ 圆与轴相交于不同的两点,且圆心到轴的距离,‎ ‎∴ ,即. ‎ ‎∴ 弦长. …… 8分 ‎∴的面积 …… 9分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ . …… 12分 ‎ 当且仅当,即时,等号成立.‎ ‎ ∴ 的面积的最大值为. …… 14分 解法2:依题意,圆心为.‎ ‎ 由 得.‎ ‎∴ 圆的半径为. …… 6分 ‎ ∴ 圆的方程为.‎ ‎∵ 圆与轴相交于不同的两点,且圆心到轴的距离,‎ ‎∴ ,即.‎ ‎ 在圆的方程中,令,得,‎ ‎ ∴ 弦长. …… 8分 ‎∴的面积 …… 9分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ . ……12分 ‎ 当且仅当,即时,等号成立.‎ ‎ ∴ 的面积的最大值为. … 14分 ‎21、【解析】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法.满分12分.‎ ‎(Ⅰ)解:当a=1时,f(x)=,f(2)=3;f’(x)=, f’(2)=6.所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-3=6(x-2),即y=6x-9.‎ ‎(Ⅱ)解:f’(x)=.令f’(x)=0,解得x=0或x=.‎ 以下分两种情况讨论:‎ 若,当x变化时,f’(x),f(x)的变化情况如下表:‎ X ‎0‎ f’(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(x)‎ 极大值 ‎ 当等价于 ‎ 解不等式组得-52,则.当x变化时,f’(x),f(x)的变化情况如下表:‎ X ‎0‎ f’(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ 极大值 极小值 当时,f(x)>0等价于即 解不等式组得或.因此2