【数学】2018届一轮复习人教A版 任意角和弧度制及任意角的三角函数 学案 15页

专题16任意角和弧度制及任意角的三角函数 ‎1.了解任意角的概念；‎ ‎2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化；‎ ‎3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．‎ ‎ ‎ ‎1．角的概念的推广 ‎(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．‎ ‎(2)分类 ‎(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．‎ ‎2．弧度制的定义和公式 ‎(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.‎ ‎(2)公式 角α的弧度数公式 ‎|α|＝(弧长用l表示)‎ 角度与弧度的换算 ‎①1°＝ rad；②1 rad＝°‎ 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2‎ ‎3.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 y叫做α的正弦，记作sin α x叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α 各象限符号 Ⅰ ‎＋‎ ‎＋‎ ‎＋‎ Ⅱ ‎＋‎ ‎－‎ ‎－‎ Ⅲ ‎－‎ ‎－‎ ‎＋‎ Ⅳ ‎－‎ ‎＋‎ ‎－‎ 三角函 数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线 高频考点一　角的概念及其集合表示 ‎【例1】 (1)若角α是第二象限角，则是(　　)‎ A.第一象限角 B.第二象限角 C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角 ‎(2)终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________.‎ 解析　(1)∵α是第二象限角，‎ ‎∴＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，‎ ‎∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z.‎ 当k为偶数时，是第一象限角；‎ 当k为奇数时，是第三象限角.‎ ‎【方法规律】(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.‎ ‎(2)确定kα，(k∈N＋)的终边位置的方法 先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出kα或的范围，然后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在位置.‎ ‎【变式探究】 ‎ ‎(1)设集合M＝，N＝，那么(　　)‎ A.M＝N B.M⊆N C.N⊆M D.M∩N＝∅‎ ‎(2)集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)‎ 解析　(1)法一　由于M＝＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，‎ N＝＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°‎ ‎，225°，…}，显然有M⊆N，故选B.‎ 法二　由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；‎ 而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N，故选B.‎ ‎(2)当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；‎ 当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样，故选C.‎ 答案　(1)B　(2)C 高频考点二　弧度制的应用 ‎【例2】 已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.‎ ‎(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；‎ ‎(2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角；‎ ‎(3)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？‎ ‎【方法规律】应用弧度制解决问题的方法 ‎(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.‎ ‎(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决.‎ ‎(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.‎ ‎【变式探究】 已知一扇形的圆心角为α (α>0)，所在圆的半径为R.‎ ‎(1)若α＝90°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；‎ ‎(2)若扇形的周长是一定值C (C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？‎ 解　(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，则 α＝90°＝，R＝10，l＝×10＝5π(cm)，‎ S弓＝S扇－S△＝×5π×10－×102＝25π－50(cm2).‎ ‎(2)扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，‎ ‎∴R＝，‎ ‎∴S扇＝α·R2＝α· ‎＝·＝·≤.‎ 当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值.‎ 高频考点三　三角函数的概念 ‎【例3】 (1)已知角α的终边与单位圆x2＋y2＝1交于点P，则cos 2α等于(　　)‎ A.－ B. C.－ D.1‎ ‎(2)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为(　　)‎ A.－ B. C.－ D. 解析　(1)根据题意可知，cos α＝，‎ ‎∴cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－.‎ ‎(2)∵r＝，‎ ‎∴cos α＝＝－，‎ ‎∴m>0，∴＝，因此m＝.‎ 答案　(1)A　(2)B ‎【方法规律】(1)利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r.‎ ‎(2)利用三角函数线解三角不等式时要注意边界角的取舍，‎ 结合三角函数的周期性正确写出角的范围.‎ ‎【变式探究】 (1)设θ是第三象限角，且＝－cos ，则是(　　)‎ A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 ‎(2)满足cos α≤－的角α的集合为________.‎ 解析　(1)由θ是第三象限角，知为第二或第四象限角，‎ ‎∵＝－cos ，∴cos ≤0，‎ 综上知为第二象限角.‎ 高频考点四　三角函数线 例4、满足cosα≤－的角α的集合为________．‎ 答案　 解析　作直线x＝－交单位圆于C、D两点，连接OC、OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为 .‎ ‎【感悟提升】(1)利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r.‎ ‎(2)根据三角函数定义中x、y的符号来确定各象限内三角函数的符号，理解并记忆： “一全正、二正弦、三正切、四余弦”．‎ ‎(3)利用三角函数线解三角不等式时要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性正确写出角的范围．‎ ‎【变式探究】(1)已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在(　　)‎ A．x轴上 B．y轴上 C．直线y＝x上 D．直线y＝－x上 ‎(2)已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα＞0，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－2,3] B．(－2,3)‎ C．[－2,3) D．[－2,3]‎ 答案　(1)A　(2)A 解析　(1)＝1，‎ ‎∴角α的终边在x轴上．‎ ‎(2)∵cosα≤0，sinα＞0，‎ ‎∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．‎ ‎∴∴－2＜a≤3.故选A.‎ 高频考点五、数形结合思想在三角函数中的应用 例5、(1)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于C(2,1)时，的坐标为________．‎ ‎(2)(2015·合肥调研)函数y＝lg(3－4sin2x)的定义域为________．‎ 解析　(1)如图所示，‎ 过圆心C作x轴的垂线，垂足为A，过P作x轴的垂线与过C作y轴的垂线交于点B.因为圆心移动的距离为2，所以劣弧＝2，即圆心角∠PCA＝2，‎ 则∠PCB＝2－，所以|PB|＝sin(2－)＝－cos 2，‎ ‎|CB|＝cos(2－)＝sin 2，‎ 所以xP＝2－|CB|＝2－sin 2，yP＝1＋|PB|＝1－cos 2，‎ 所以＝(2－sin 2,1－cos 2)．‎ ‎(2)∵3－4sin2x＞0，‎ ‎∴sin2x＜，‎ ‎∴－＜sin x＜.‎ 利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，‎ ‎∴x∈(k∈Z)‎ 答案　(1)(2－sin 2,1－cos 2)‎ ‎(2)(k∈Z)‎ ‎【特别提醒】(1)‎ 解决和旋转有关的问题要抓住旋转过程中角的变化，结合弧长公式、三角函数定义寻找关系．‎ ‎(2)利用三角函数线解三角不等式要在单位圆中先作出临界情况，然后观察适合条件的角的位置．‎ ‎【方法技巧】‎ ‎1．在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．|OP|＝r一定是正值．‎ ‎2．三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．‎ ‎3．在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．‎ ‎【易错点睛】‎ ‎1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．‎ ‎2．角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．‎ ‎3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．‎ ‎1.【2016高考新课标3理数】在中，，边上的高等于,则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎2.【2016高考新课标2理数】若，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ，‎ 且，故选D.‎ ‎【2015高考新课标1，理2】 =( )‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】原式= ==，故选D.‎ ‎（2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图11，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图像大致为(　　)‎ 图11‎ ‎　　A　 　　　 　　　　　B C　 　　　　　　　　D ‎【答案】C　‎ ‎【解析】根据三角函数的定义，点M(cos x，0)，△OPM的面积为|sin xcos x|‎ ‎，在直角三角形OPM中，根据等积关系得点M到直线OP的距离，即f(x)＝|sin xcos x|＝|sin 2x|，且当x＝时上述关系也成立， 故函数f(x)的图像为选项C中的图像．‎ ‎（2013·四川卷）设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________．‎ ‎【答案】　‎ ‎1.给出下列四个命题：‎ ‎①－是第二象限角；②是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角.‎ 其中正确的命题有(　　)‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析　－是第三象限角，故①错误.＝π＋，从而是第三象限角，‎ ‎②正确.－400°＝－360°－40°，从而③正确.－315°＝－360°＋45°，从而④正确.‎ 答案　C ‎2.已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边所在象限是(　　)‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析　由题意知tan α＜0，cos α＜0，∴α是第二象限角.‎ 答案　B ‎3.已知角θ的终边经过点P(4，m)，且sin θ＝，则m等于(　　)‎ A.－3 B.3 C. D.±3‎ 解析　sin θ＝＝，解得m＝3.‎ 答案　B ‎4.点P从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为(　　)‎ A.(－，) B.(－，－)‎ C.(－，－) D.(－，)‎ 解析　由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x＝cos ＝－，y＝sin ＝.‎ 答案　A ‎5.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0.则实数a的取值范围是(　　)‎ A.(－2，3] B.(－2，3)‎ C.[－2，3) D.[－2，3]‎ 解析　∵cos α≤0，sin α>0，‎ ‎∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上.‎ ‎∴∴－2