数学理卷·2017届江西省重点中学协作体高三下学期第一次联考（2017 12页

‎2017.2‎ 江西省重点中学协作体2017届高三第一次联考 ‎ 数学（理科）试卷 考试用时：120分 全卷满分：150分 ‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．若复数满足，则复数在复平面内对应的点在（ ）‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎2.设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 已知变量呈现线性相关关系，回归方程为，则变量是（ ）‎ A．线性正相关关系 ‎ B．由回归方程无法判断其正负相关关系 ‎ C．线性负相关关系 ‎ D．不存在线性相关关系 ‎ 4. ‎ 若直线过三角形内心（三角形内心为三角形内切圆的圆心），则“直线平分三角形周长”是“直线平分三角形面积”的（ ） 条件 A．充分不必要 B．必要不充分 ‎ C．充要 D．既不充分也不必要 ‎5. 如果执行如图所示的程序框图，输入正整数和实数，，…，，输出，，则（ ）‎ A．+为，，…，的和 ‎ B．和分别是，，…，中最大的数和最小的数 ‎ C．为，，…，的算术平均数 ‎ D．和分别是，，…，中最小的数和最大的数 ‎6. 已知函数是定义在上的偶函数，且在 上是增函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 若一个空间几何体的三视图如右图所示，且已知该几何体的体积为 ‎ ，则其表面积为（ ）‎ ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎8. 已知实数满足，且，则的最大值（ ）‎ ‎ A．2 B．4 C．5 D．6‎ ‎9. 已知函数和函数在区间上的图像交于 ‎ 三点，则的面积是（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎10. 等差数列的前项和为，若公差，则（　　）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎11. 我国古代数学家祖暅是著名数学家祖冲之之子，祖暅原理叙述道 :“夫叠棋成立积，缘 ‎ 幂势既同，则积不容异。”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体被平行于这两个 ‎ 平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面面积总相等，那么这两个几何体的体积 ‎ 相等。其最著名之处是解决了“牟合方盖”中的体积问题，其核心过程为：如下图正方 ‎ 体 ，求图中四分之一圆柱体和四分之一圆柱体 ‎ 公共部分的体积 ，若图中正方体的棱长为2，则（ ）‎ ‎ （在高度 处的截面：用平行于正方体上下底面的平面去截，记截得两圆柱体公共部分所得面积为 ，截得正方体所得面积为 ，截得锥体所得面积为 ， ，）‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ 12. 设、分别为双曲线的左、右顶点，是双曲线上关于轴对称的不同两点，设直线的斜率分别为，则取得最小值时，双曲线的离心率为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.‎ ‎13．二项式的展开式中第四项的系数为 ．‎ ‎14．如右图所示矩形边长，抛物线顶点为边的中点，且两点在抛物线上，则从矩形内任取一点落在抛物线与边围成的封闭区域（包含边界上的点）内的概率是 ． ‎ ‎15. 已知向量满足：，且，若，其中且，则最小值是 ．‎ ‎16．已知锐角中，内角所对应的边分别为，且满足：，，则的取值范围是 ．‎ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 数列满足，．‎ ‎（1）设，证明是等差数列，并求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ 18. ‎（本小题满分12分）‎ ‎2016年11月20日-22日在江西省南昌市举行了首届南昌国际马拉松赛事，赛后某机构用“10分制”调查了很多人（包括普通市民，运动员，政府官员，组织者，志愿者等）对此项赛事的满意度.现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的满意度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：‎ ‎（1）指出这组数据的众数和中位数；‎ ‎（2）若满意度不低于9.5分，则称该被调查者的满意度为“极满意”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极满意”的概率；‎ ‎（3）以这16人的样本数据来估计整个被调查群体的总体数据，若从该被调查群体(人数很多)任选3人，记表示抽到“极满意”的人数，求的分布列及数学期望.‎ 19. ‎（本小题满分12分）‎ 如图，在棱台中，与分别是棱长为1与2的正三角形，平面 平面，四边形为直角梯形，，点为的重 心，为中点，，‎ ‎（1）当时，求证：//平面；‎ ‎（2）若直线与所成角为，试求二面角的余弦值.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的左右焦点分别为，过点作直线交椭圆于 ‎ ‎ 两点，若且 ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知圆为原点，圆与椭圆交于两点，点为椭圆上一动点，若直线与轴分别交于点求证：为常数.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 若总有则称为与在上的一个“严格分界函数”.‎ ‎（1）求证：是和在上的一个“严格分界函数”；‎ ‎（2）函数，若存在最大整数使得在恒成立，求的值.（…是自然对数的底数，）‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）写出曲线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设点的极坐标为（），过点的直线与曲线相交于两点，若，求的弦长．‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 选修4-5：不等式选讲 设，（）‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若不等式对任意非零实数恒成立，求的取值范围.‎ 江西省重点中学协作体2017届高三第一次联考 数学（理科）试卷参考答案 一、选择题 ‎1-5: DBCCB 6-10: BACCB 11、12：AD ‎12.详解：解析：设点则，所以，即，又，即，所以，则 ‎，令则，考查函数，由，知时单调递减，时单调递减，所以当时，取得唯一极小值即为最小值，此时，所以 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ ‎16.详解：由得，则，所以 ‎，可化为，‎ 则，又为锐角三角形，所以，又，所以，则，所以，解得 三、解答题 ‎17.解：（1）由，得，即，所以为等差数列，且···································5(分) ‎ ‎（2）因为，·······························8(分)‎ 所以，‎ 则·······12(分)‎ ‎18.解：（1）众数：8.6；中位数：8.75 ·······································2(分) ‎ ‎（2）由茎叶图可知，满意度为“极满意”的人有4人。‎ 设表示所取3人中有个人是“极满意”，至多有1人是“极满意”记为事件，‎ ‎ ································6(分) ‎ ‎（3）从16人的样本数据中任意选取1人，抽到“极满意”的人的概率为，故依题意可知，从该顾客群体中任选1人，抽到“极满意”的人的概率.的可能取值为0，1，2，3；；‎ ‎； ·······························9(分) ‎ 所以的分布列为 ‎ ‎ ‎. ‎ 另解：由题可知， 所以=.·····················12(分)‎ ‎19.解：（Ⅰ）连延长交于，‎ 因为点为的重心，所以 又，所以，所以//；···················3(分)‎ 为中点，为中点, //,又//，‎ 所以//，得四点共面 ‎//平面··································6(分)‎ ‎（Ⅱ）平面平面，平面，连接易得，‎ 以为原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，‎ 则，设，‎ ‎， ，‎ 因为与所成角为，所以，‎ 得，，，··············8(分)‎ 设平面的法向量，则，取，‎ 平面的法向量，所以二面角的余弦值 ‎····················12(分)‎ ‎20.解：(1)设，则，，，． ‎ 则有，解得．·······················3(分)‎ ‎，，，，‎ ‎，．‎ 于是，在△中，，‎ 所以，所以，椭圆的方程为.········6(分)‎ ‎(2)由条件可知、两点关于轴对称，设，，则，‎ ‎，，所以，．‎ 直线的方程为，······················9(分)‎ 令得点的横坐标，同理可得点的横坐标.于是 ‎，‎ 所以，为常数．····················12(分)‎ ‎21.解：（1）证明：令，‎ ‎．‎ 当时，，故在区间上为减函数，‎ 因此，故．···················2(分)‎ 再令，当时，，‎ 故在区间上为增函数．，所以，故是和在上的一个“严格分界函数”···················5(分)‎ （2） 由（1）知.‎ 又，···················7分)‎ 令 解得，易得在单调递减，在单调递增，则 ‎···················9(分)‎ 又在存在使得，故在上先减后增，则有，则，所以，则····················12(分)‎ ‎22.解析：（1）由（为参数），得，即，所以···················5(分)‎ ‎（2）设直线的参数方程是（为参数）（1）‎ 曲线的直角坐标方程是，（2）联立方程可得，所以，且，所以，则或，所以···················10(分)‎ ‎23.解析：（1） ····················4(分)‎ （2） 即，化简或或 解得或，即为所求····················10(分)‎