数学文卷·2018届天津市部分区（武清区等）高三上学期期末考试（2018 10页

天津市部分区2017-2018学年度第一学期期末考试 高三数学（文）‎ 第Ⅰ卷（共40分）‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集，集合，集合，则集合（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）‎ A． 7 B． 6 C． 5 D．4‎ ‎3. 一个四棱柱的三视图如图所示，该四棱柱的体积为（ ）‎ A．12 B．24 C．36 D． 48‎ ‎4.设，若“”是“”的充分而不必要条件，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5. 已知双曲线的一个焦点为，一条渐近线的斜率为，则该双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.已知函数，且，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.设函数，其图象的一条对称轴在区间内，且的最小正周期大于，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8. 如图，平面四边形中，，，点在对角线上，，则的值为（ ）‎ A． 17 B．13 C. 5 D．1‎ 第Ⅱ卷（共110分）‎ 二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）‎ ‎9.已知，为虚数单位，若为纯虚数，则的值为 ．‎ ‎10.已知函数，为的导函数，则的值为 ．‎ ‎11.阅读如图所示的程序框图，若输入的分别为1，2，运行相应的程序，则输出的值为 ．‎ ‎12.已知函数，则的最小值为 ．‎ ‎13.以点为圆心的圆与直线相切于点，则该圆的方程为 ．‎ ‎14.已知函数，函数，若函数有4个零点，则实数的取值范围为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎15.某公司需要对所生产的三种产品进行检测，三种产品数量（单位：件）如下表所示：‎ 产品 A B C 数量（件）‎ ‎180‎ ‎270‎ ‎90‎ 采用分层抽样的方法从以上产品中共抽取6件.‎ ‎（1）求分别抽取三种产品的件数；‎ ‎（2）将抽取的6件产品按种类编号，分别记为，现从这6件产品中随机抽取2件.‎ ‎（ⅰ）用所给编号列出所有可能的结果；‎ ‎（ⅱ）求这两件产品来自不同种类的概率.‎ ‎16. 在中，角的对边分别为，且满足.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎17. 如图，在多面体中，已知是边长为2的正方形，为正三角形，分别为的中点，且，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面；‎ ‎（3）求与平面所成角的正弦值.‎ ‎18. 已知为等差数列，且，其前8项和为52，是各项均为正数的等比数列，且满足，.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）令，数列的前项和为，若对任意正整数，都有成立，求实数的取值范围.‎ ‎19. 设椭圆的左焦点为，离心率为，为圆的圆心.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围.‎ ‎20. 已知函数，.‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）若图像上任意一点处的切线的斜率，求的取值范围；‎ ‎（3）若对于区间上任意两个不相等的实数都有成立，求的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题:‎ ‎1-4 BDCA 5-8 BDCA 二、填空题:‎ ‎9. 10. 11. 12. 13. 14. ‎ 三、解答题:‎ ‎15.解：（I）设产品抽取了件，则产品抽取了件，产品抽取了件， ‎ ‎ ‎ 所以A、B、C三种产品分别抽取了2件、3件、1件. ‎ ‎（II）（i）设产品编号为； 产品编号为产品编号为. ‎ 则从这6件产品中随机抽取2件的所有结果是：‎ 共个 ‎ ‎（ii）根据题意，这些基本事件的出现是等可能的；‎ 其中这两件产品来自不同种类的有：‎ 共11个. ‎ 因此这两件产品来自不同种类的概率为 ‎ ‎16.解：（1）由及正弦定理得：‎ 即 由余弦定理得：，‎ 所以 ‎（II）由及 得 ‎ ‎ ‎ ‎ 所以 ‎17.（1）证明：如图1，取的中点，连接，‎ 因为，分别为的中点，所以，‎ 因为为的中点，，‎ 所以，所以四边形为平行四边形，所以，‎ 又因为平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（II）证明：因为，，所以，‎ 在正方形中，，所以平面. ‎ 又平面，所以，‎ 在正三角形中，所以平面. ‎ ‎（III）如图2，连接，由（I）（II）可知平面. ‎ 所以为与平面所成的角 .‎ 在中，，，‎ 所以，所以. ‎ ‎18.解：（Ⅰ）在等差数列中,‎ 由 ‎ 得， ‎ 所以 在各项均为正数的等比数列中，‎ 由 ‎ 得 ‎ 所以 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 所以 因为对任意正整数，都有成立 即对任意正整数恒成立，所以. ‎ ‎19.解：（Ⅰ）由题意知，则， ‎ 圆的标准方程为，从而椭圆的左焦点为，即， ‎ 所以，又，得． ‎ 所以椭圆的方程为：. ‎ ‎（Ⅱ）可知椭圆右焦点． ‎ ‎（ⅰ）当l与x轴垂直时，此时不存在，直线l：，直线，‎ 可得：，，四边形面积12. ‎ ‎（ⅱ）当l与x轴平行时，此时，直线，直线，‎ 可得：，，四边形面积为. ‎ ‎（iii）当l与x轴不垂直时，设l的方程为，并设，.‎ 由得. ‎ 显然，且， . ‎ 所以. ‎ 过且与l垂直的直线，则圆心到的距离为，所以 ‎. ‎ 故四边形面积：.‎ 可得当l与x轴不垂直时，四边形面积的取值范围为(12,). ‎ 综上，四边形面积的取值范围为． ‎ ‎20.解：（I）由得 ‎ 因为,所以 ‎ ‎ ‎ 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． ‎ ‎（II）由（I）可知 所以， ‎ 由，得，即 ‎ 又因为，所以的取值范围为. ‎ ‎（Ⅲ）不妨设，‎ 当时，在区间上恒单调递减，有 ‎①当时，在区间上恒单调递减，‎ ‎，‎ 则等价于，‎ 令函数，由知在区间上单调递减，‎ ‎，当时，，‎ 即，求得：‎ ‎② ‎ ‎③当，在区间上恒单调递增，‎ 则等价于，‎ 令函数，由知在区间上单调递减，‎ ‎，当时，，‎ 即，求得，‎ 由得的取值范围为.‎