数学卷·2018届广东省江门二中高二上学期12月月考数学试卷（文科）（解析版） 23页

‎2016-2017学年广东省江门二中高二（上）12月月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．下列函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（　　）‎ A．f（x）=sin2x B．f（x）=xex C．f（x）=x3﹣x D．f（x）=﹣x+lnx ‎2．曲线y=e2x在点（0，1）处的切线方程为（　　）‎ A．y=x+1 B．y=﹣2x+1 C．y=2x﹣1 D．y=2x+1‎ ‎3．函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间[0，3]上最大值与最小值分别是（　　）‎ A．5，﹣15 B．5，﹣4 C．﹣4，﹣15 D．5，﹣16‎ ‎4．抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短的点的坐标是（　　）‎ A．（1，1） B．（） C． D．（2，4）‎ ‎5．设双曲线的焦距为，一条渐近线方程为，则此双曲线的方程为（　　）‎ A． B． C．6x2﹣y2=1 D．‎ ‎6．若函数f（x）=x3﹣3bx+3b在（0，1）内有极小值，则（　　）‎ A．0＜b＜1 B．b＜1 C．b＞0 D．b＜‎ ‎7．用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎8．如图，已知F1，F2是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．如图所示程序运行的结果是（　　）‎ A．210，11 B．200，9 C．210，9 D．200，11‎ ‎10．如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，下列说法错误的是（　　）‎ A．﹣2是函数y=f（x）的极小值点 B．1是函数y=f（x）的极值点 C．y=f（x）在x=0处切线的斜率大于零 D．y=f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增．‎ ‎11．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：‎ 广告费用x（万元）‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 销售额y（万元）‎ ‎49‎ ‎26‎ ‎39‎ ‎54‎ 根据上表可得回归方程=x+中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（　　）‎ A．63.6万元 B．67.7万元 C．65.5万元 D．72.0万元 ‎12．已知函数f（x）=ex+x2﹣x，若对任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤‎ k恒成立，则k的取值范围是（　　）‎ A．[e﹣1，+∞） B．[e，+∞） C．[e+1，+∞） D．[1，+∞）‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）‎ ‎13．若函数在（1，+∞）上是增函数，则实数k的取值范围是　　．‎ ‎14．从抛物线y2=4x上一点P引其准线的垂线，垂足为M，设抛物线的焦点为F，且|PF|=5，则△MPF的面积为　　．‎ ‎15．如图所示，在圆心角为90°的扇形AOB中，以圆心O作为起点作射线OC，OD，则使∠AOC+∠BOD＜45°的概率为　　．‎ ‎16．设函数f（x）=ax3﹣3x+1（x∈R），若对于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，则实数a的值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（17小题10分，18-22小题12分）‎ ‎17．设f（x）=alnx++x+1，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴．‎ ‎（Ⅰ）求a的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）的极值．‎ ‎18．椭圆方程为=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，2），离心率e=． ‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线l与椭圆相交于不同的两点M，N且P（2，1）为MN中点，求直线l的方程．‎ ‎19．某班同学利用寒假进行社会实践，对年龄段在[10，60]的人生活习惯是否符合环保理念进行调查．现随机抽取n人进行数据分析，得到如下频率分布表和频率分布直方图：‎ ‎（1）求出频率分布表中n，x，y的值 ‎（2）现从第三、四、五组中，采用分层抽样法抽取12人参加户外环保体验活动，则从这三组中应各抽取多少人？‎ 组数 分组 人数 频率 第一组 ‎[10，20）‎ ‎5‎ 第二组 ‎[20，30）‎ x 第三组 ‎[30，40）‎ 第四组 ‎[40，50）‎ y 第五组 ‎[50，60]‎ 合计 n ‎20．一盒有10张奖券，其中2张是有奖的，先由甲后由乙各抽一张，求：‎ ‎（1）甲中奖的概率．‎ ‎（2）甲、乙都中奖的概率．‎ ‎（3）甲、乙至少有一个中奖的概率．‎ ‎21．已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．‎ ‎（Ⅰ）若，求直线AB的斜率；‎ ‎（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．‎ ‎22．已知函数 ‎（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）当x∈（0，e]时，求函数f（x）的最小值；‎ ‎（3）求证：．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年广东省江门二中高二（上）12月月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．下列函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（　　）‎ A．f（x）=sin2x B．f（x）=xex C．f（x）=x3﹣x D．f（x）=﹣x+lnx ‎【考点】函数单调性的判断与证明．‎ ‎【分析】A中f（x）=sin2x在（0，+∞）上无单调性；‎ B中，利用导数判定f（x）=xex在（0，+∞）上是增函数；‎ C中，利用导数判定f（x）=x3﹣x在（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数；‎ D中，利用导数判定f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．‎ ‎【解答】解：对于A，f（x）=sin2x是周期函数，在（0，+∞）上无单调性，∴不满足题意；‎ 对于B，∵f（x）=xex，∴f′（x）=（1+x）ex，‎ ‎∴当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；‎ 对于C，∵f（x）=x3﹣x，∴f′（x）=3x2﹣1，‎ ‎∴当x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；‎ x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；∴不满足题意；‎ 对于D，∵f（x）=﹣x+lnx，∴f′（x）=﹣1+=，‎ 当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，‎ 当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，∴不满足题意．‎ 综上，在（0，+∞）上为增函数的是B．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．曲线y=e2x在点（0，1）处的切线方程为（　　）‎ A．y=x+1 B．y=﹣2x+1 C．y=2x﹣1 D．y=2x+1‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】求出导函数，求出切线斜率，利用点斜式可得切线方程．‎ ‎【解答】解：由于y=e2x，可得y′=2e2x，‎ 令x=0，可得y′=2，‎ ‎∴曲线y=e2x在点（0，1）处的切线方程为y﹣1=2x，即y=2x+1．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间[0，3]上最大值与最小值分别是（　　）‎ A．5，﹣15 B．5，﹣4 C．﹣4，﹣15 D．5，﹣16‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】对函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5求导，利用导数研究函数在区间[0，3]上的单调性，根据函数的变化规律确定函数在区间[0，3]上最大值与最小值位置，求值即可 ‎【解答】解：由题意y'=6x2﹣6x﹣12‎ 令y'＞0，解得x＞2或x＜﹣1‎ 故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在（0，2）减，在（2，3）上增 又y（0）=5，y（2）=﹣15，y（3）=﹣4‎ 故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间[0，3]上最大值与最小值分别是5，﹣15‎ 故选A ‎　‎ ‎4．抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短的点的坐标是（　　）‎ A．（1，1） B．（） C． D．（2，4）‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】设抛物线y=x2上一点为A（x0，），点A（x0，）到直线2x﹣y﹣4=0的距离d==‎ ‎，由此能求出抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短的点的坐标．‎ ‎【解答】解：设抛物线y=x2上一点为A（x0，），‎ 点A（x0，）到直线2x﹣y﹣4=0的距离d==，‎ ‎∴当x0=1时，即当A（1，1）时，抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎5．设双曲线的焦距为，一条渐近线方程为，则此双曲线的方程为（　　）‎ A． B． C．6x2﹣y2=1 D．‎ ‎【考点】双曲线的标准方程．‎ ‎【分析】由题意可得m2+n2=，①②，联立解之即可．‎ ‎【解答】解：由题意可得m2+n2=，①‎ 又双曲线的渐近线为y=，故可得②，‎ 综合①②可得m=，n=，即，‎ 故方程为，即，‎ 故选D ‎　‎ ‎6．若函数f（x）=x3﹣3bx+3b在（0，1）内有极小值，则（　　）‎ A．0＜b＜1 B．b＜1 C．b＞0 D．b＜‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】先对函数f（x）进行求导，然后令导函数等于0，由题意知在（0，1）内必有根，从而得到b的范围．‎ ‎【解答】解：因为函数在（0，1）内有极小值，所以极值点在（0，1）上．‎ 令f'（x）=3x2﹣3b=0，得x2=b，显然b＞0，‎ ‎∴x=±．‎ 又∵x∈（0，1），∴0＜＜1．∴0＜b＜1．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎7．用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】用辗转相除计算最大公约数．‎ ‎【分析】用大数除以小数，得到商和余数，再用上面的除数除以余数，又得到商和余数，继续做下去，知道刚好能够整除为止，得到两个数的最大公约数，从而得到需要做除法的次数．‎ ‎【解答】解：∵294÷84=3…42，‎ ‎84÷42=2，‎ ‎∴用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数2．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．如图，已知F1，F2是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】连接OQ，PF1，先利用三角形中位线定理证明OQ∥PF1，OQ=PF1，而OQ即为圆的半径b，从而得焦半径PF1=2b，再利用椭圆的定义，得PF2=2a﹣2b，最后利用直线与圆相切的几何性质，证明PF1⊥PF2，从而在三角形中利用勾股定理得到a、b、c间的等式，进而计算离心率即可 ‎【解答】解：如图：连接OQ，PF1，∵点Q为线段PF2的中点，∴OQ∥PF1，OQ=PF1，‎ ‎∴PF1=2OQ=2b，‎ 由椭圆定义，PF1+PF2=2a，∴PF2=2a﹣2b ‎∵线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，‎ ‎∴OQ⊥PF2，‎ ‎∴PF1⊥PF2，且|F1F2|=2c，‎ ‎∴（2b）2+（2a﹣2b）2=（2c）2‎ 即3b=2a，5a2=9c2，‎ ‎∴e==‎ 故选 B ‎　‎ ‎9．如图所示程序运行的结果是（　　）‎ A．210，11 B．200，9 C．210，9 D．200，11‎ ‎【考点】伪代码．‎ ‎【分析】根据题意，模拟算法程序的运行过程，即可得出该程序运行输出的是什么．‎ ‎【解答】解：模拟该算法程序的运行过程，得出该程序运行输出的是 X=100+10i，‎ 当X=200时，i=10，此时i+1=11；‎ ‎∴输出的结果是200，11．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，下列说法错误的是（　　）‎ A．﹣2是函数y=f（x）的极小值点 B．1是函数y=f（x）的极值点 C．y=f（x）在x=0处切线的斜率大于零 D．y=f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】由导函数y=f′（x）的图象与导数的几何意义即可对A，B，C，D逐个判断，得到答案．‎ ‎【解答】解：由导函数y=f′（x）的图象知，‎ 当x＜﹣2时，导函数y=f′（x）＜0，函数y=f（x）在区间（﹣∞，﹣2）上单调递减；‎ 当x＞﹣2时，导函数y=f′（x）≥0，函数y=f（x）在区间（﹣2，+∞）上单调递增；‎ 故当x=﹣2时，函数y=f（x）取得极小值，即﹣2是函数y=f（x）的极小值点，A正确；‎ 对于选项B，x=1左右两侧的导数符号均为正，故1不是函数y=f（x）的极值点，故B错误；‎ 对于选项C，由图知，f′（0）＞0，由导数的几何意义知y=f（x）在x=0处切线的斜率大于零，故C正确；‎ 由图知，当x∈（﹣2，2）时，f′（x）≥0，故y=f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增，D正确．‎ 综上所述，B错误．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎11．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：‎ 广告费用x（万元）‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 销售额y（万元）‎ ‎49‎ ‎26‎ ‎39‎ ‎54‎ 根据上表可得回归方程=x+中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（　　）‎ A．63.6万元 B．67.7万元 C．65.5万元 D．72.0万元 ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】根据表中所给的数据，广告费用x与销售额y（万元）的平均数，得到样本中心点，代入样本中心点求出的值，写出线性回归方程．将x=6代入回归直线方程，得y，可以预报广告费用为6万元时销售额．‎ ‎【解答】解：由表中数据得： =3.5， ==42，‎ 又回归方程=x+中的为9.4，‎ 故=42﹣9.4×3.5=9.1，‎ ‎∴=9.4x+9.1．‎ 将x=6代入回归直线方程，得y=9.4×6+9.1=65.5（万元）．‎ ‎∴此模型预报广告费用为6万元时销售额为65.5（万元）．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．已知函数f（x）=ex+x2﹣x，若对任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤k恒成立，则k的取值范围是（　　）‎ A．[e﹣1，+∞） B．[e，+∞） C．[e+1，+∞） D．[1，+∞）‎ ‎【考点】函数恒成立问题．‎ ‎【分析】函数f（x）=ex+x2﹣x对任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤k恒成立，等价于f（x）=ex+x2﹣x在[﹣1，1]内的最大值与最小值的差小于等于k．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=ex+x2﹣x，‎ ‎∴f′（x）=ex+2x﹣1，‎ 由f′（x）=ex+2x﹣1=0，得x=0．又f′（x）单调递增，可知f′（x）=0有唯一零点0，‎ ‎∵f（﹣1）=+2，f（1）=e，f（0）=1．‎ ‎∴函数f（x）=ex+x2﹣x在[﹣1，1]内的最大值是e，最小值是1．‎ ‎∴函数f（x）=ex+x2﹣x，对任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1．‎ ‎∵函数f（x）=ex+x2﹣x对任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤k恒成立，‎ ‎∴k≥e﹣1．‎ ‎∴k的取值范围为[e﹣1，+∞）．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）‎ ‎13．若函数在（1，+∞）上是增函数，则实数k的取值范围是　[﹣2，+∞）　．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】先对函数h（x）求导，令导函数大于等于0在（1，+∞）上恒成立即可求出答案．‎ ‎【解答】解：∵∴h'（x）=2+‎ 因为函数h（x）在（1，+∞）上是增函数，所以h'（x）=2+≥0在（1，+∞）上恒成立 即k≥﹣2x2在（1，+∞）上恒成立 ‎∴k≥﹣2‎ 故答案为：[﹣2，+∞）‎ ‎　‎ ‎14．从抛物线y2=4x上一点P引其准线的垂线，垂足为M，设抛物线的焦点为F，且|PF|=5，则△MPF的面积为　10　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】设出P的坐标，利用抛物线的定义可知|PF|=|PM|进而可求得y0，最后利用三角性的面积公式求得答案．‎ ‎【解答】解：由题意，设P（，y0），则|PF|=|PM|=+1=5，所以y0=±4，‎ ‎∴S△MPF=|PM||y0|=10．‎ 故答案为：10．‎ ‎　‎ ‎15．如图所示，在圆心角为90°的扇形AOB中，以圆心O作为起点作射线OC，OD，则使∠AOC+∠BOD＜45°的概率为　　．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】设∠A0C=x，∠BOD=y，建立夹角之间的关系，作出对应的平面区域，利用几何概型的概率公式即可得到结论．‎ ‎【解答】解：设∠A0C=x，∠BOD=y，‎ 则0＜x＜，0＜y＜，‎ 若∠AOC+∠BOD＜45°，‎ 即x+y＜，‎ 作出对应的平面区域如图：则F（0，），G（，0），‎ 则△oFG的面积S=×=，‎ 则正方形的面积S=×=，‎ 则∠AOC+∠BOD＜45°的概率为=，‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎16．设函数f（x）=ax3﹣3x+1（x∈R），若对于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，则实数a的值为　4　．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】先求出f′（x）=0时x的值，进而讨论函数的增减性得到f（x）的最小值，对于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，可转化为最小值大于等于0即可求出a的范围．‎ ‎【解答】解：由题意，f′（x）=3ax2﹣3，‎ 当a≤0时3ax2﹣3＜0，函数是减函数，f（0）=1，只需f（1）≥0即可，解得a≥2，与已知矛盾，‎ 当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣3=0解得x=±，‎ ‎①当x＜﹣时，f′（x）＞0，f（x）为递增函数，‎ ‎②当﹣＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）为递减函数，‎ ‎③当x＞时，f（x）为递增函数．‎ 所以f（）≥0，且f（﹣1）≥0，且f（1）≥0即可 由f（）≥0，即a•﹣3•+1≥0，解得a≥4，‎ 由f（﹣1）≥0，可得a≤4，‎ 由f（1）≥0解得2≤a≤4，‎ 综上a=4为所求．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ 三、解答题（17小题10分，18-22小题12分）‎ ‎17．设f（x）=alnx++x+1，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴．‎ ‎（Ⅰ）求a的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）的极值．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】（Ⅰ） 求导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴，可得f′（1）=0，从而可求a的值；‎ ‎（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，（x＞0），=，确定函数的单调性，即可求得函数f（x）的极值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ） 求导函数可得 ‎∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴．‎ ‎∴f′（1）=0，∴，‎ ‎∴a=﹣1；‎ ‎（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，（x＞0）‎ ‎=‎ 令f′（x）=0，可得x=1或x=（舍去）‎ ‎∵0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数递减；x＞1时，f′（x）＞0，函数递增 ‎∴x=1时，函数f（x）取得极小值为3．‎ ‎　‎ ‎18．椭圆方程为=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，2），离心率e=． ‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线l与椭圆相交于不同的两点M，N且P（2，1）为MN中点，求直线l的方程．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）先确定b=2，再结合离心率，即可求椭圆的方程；‎ ‎（2）设出M，N的坐标，利用点差法，求得直线的斜率，即可求直线l的方程．‎ ‎【解答】解：（1）∵椭圆方程为=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，2），‎ ‎∴b=2．‎ ‎∵e==和．‎ ‎∴联立上述方程可以解得a=2．‎ ‎∴椭圆的方程为+=1；‎ ‎（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则，‎ 两式相减，结合P（2，1）为MN中点，可得 ‎∴=﹣‎ ‎∴直线l的方程为y﹣1=﹣（x﹣2），即2x+3y﹣7=0．‎ ‎　‎ ‎19．某班同学利用寒假进行社会实践，对年龄段在[10，60]的人生活习惯是否符合环保理念进行调查．现随机抽取n人进行数据分析，得到如下频率分布表和频率分布直方图：‎ ‎（1）求出频率分布表中n，x，y的值 ‎（2）现从第三、四、五组中，采用分层抽样法抽取12人参加户外环保体验活动，则从这三组中应各抽取多少人？‎ 组数 分组 人数 频率 第一组 ‎[10，20）‎ ‎5‎ 第二组 ‎[20，30）‎ x 第三组 ‎[30，40）‎ 第四组 ‎[40，50）‎ y 第五组 ‎[50，60]‎ 合计 n ‎【考点】频率分布直方图；分层抽样方法．‎ ‎【分析】（1）由题意及频率分布直方图，根据第一组的频数和频率以及公式频率=，即可求得样本容量n的值，根据频率等于相应小矩形的面积即可求得x的值，同理即可求得y的值；‎ ‎（2）根据分层抽样的特点，即按比例抽取，即可求得相应的答案．‎ ‎【解答】解：（1）由条件可知，第一组的频率为0.005×10=0.05，根据频率=，‎ ‎∴0.05=，即，‎ 第二组的频率为x=0.035×10=0.35，‎ 第四组的频率为0.02×10=0.2，则根据频率=，‎ ‎∴第四组的频数y=100×0.2=20．‎ ‎（2）第三组的人数为0.3×100=30，第四组的人数为0.2×‎ ‎100=20，第五组的人数为0.1×100=10，则三组人数共计60人，‎ 根据分层抽样即按比例抽取，‎ ‎∴从中抽取12人每组应抽取的人数为：第三组（人），第四组（人），第五组（人），‎ ‎∴第三组，第四组，第五组应分别抽取6人，4人，2人．‎ ‎　‎ ‎20．一盒有10张奖券，其中2张是有奖的，先由甲后由乙各抽一张，求：‎ ‎（1）甲中奖的概率．‎ ‎（2）甲、乙都中奖的概率．‎ ‎（3）甲、乙至少有一个中奖的概率．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】（1）利用等可能事件概率计算公式能求出甲中奖的概率．‎ ‎（2）利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲、乙都中奖的概率．‎ ‎（3）利用对立事件概率计算公式能求出甲、乙至少有一个中奖的概率 ‎【解答】解：（1）一盒有10张奖券，其中2张是有奖的，先由甲后由乙各抽一张，‎ 设“甲中奖”为事件A，‎ ‎∴甲中奖的概率为．‎ ‎（2）设“甲、乙都中奖”为事件B，‎ ‎∴甲、乙都中奖的概率．‎ ‎（3）设“甲、乙至少有一人中奖”为事件C，‎ 甲、乙至少有一个中奖的概率：‎ ‎…．‎ ‎　‎ ‎21．已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．‎ ‎（Ⅰ）若，求直线AB的斜率；‎ ‎（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．‎ ‎【分析】（Ⅰ）依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1．将直线AB的方程与抛物线的方程联立，得y2﹣4my﹣4=0．由此能够求出直线AB的斜率．‎ ‎（Ⅱ）由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB．由此能求出四边形OACB的面积最小值．‎ ‎【解答】（本小题满分13分）‎ ‎（Ⅰ）解：依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1． …‎ 将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2﹣4my﹣4=0． …‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），所以 y1+y2=4m，y1y2=﹣4． ①…‎ 因为，‎ 所以 y1=﹣2y2． ②…‎ 联立①和②，消去y1，y2，得． …‎ 所以直线AB的斜率是． …‎ ‎（Ⅱ）解：由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，‎ 从而点O与点C到直线AB的距离相等，‎ 所以四边形OACB的面积等于2S△AOB． …‎ 因为…‎ ‎=，…‎ 所以 m=0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4． …‎ ‎　‎ ‎22．已知函数 ‎（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）当x∈（0，e]时，求函数f（x）的最小值；‎ ‎（3）求证：．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用．‎ ‎【分析】（1）a=1时，在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；‎ ‎（2）分情况进行讨论：a≤0时易判断单调性，由单调性可得最小值；a＞0时，按照极值点与区间（0，e]的位置关系再分两种情况讨论，由单调性可求；‎ ‎（3）对（1+）n＜e＜（1+）n+1两边取对数，可整理为＜ln（1+）＜，令x=1+，只要证1﹣＜lnx＜x﹣1，（1＜x≤2），左边不等式可由（1）问结论得到；右边不等式通过构造函数利用导数可证明．‎ ‎【解答】解：（1）（x＞0），‎ 当a=1时，，令f'（x）=0，得x=1，‎ 当x变化时，f'（x），f（x）变化如下：‎ x ‎（0，1）‎ ‎1‎ ‎（1，+∞）‎ f′（x）‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ 递减 极小值 递增 所以f（x）的单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（0，1）；‎ ‎（2）①当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）在（0，e]上递减，‎ ‎②当时，即时，f'（x）＜0，f（x）在（0，e]上递减，‎ ‎③当时，即时，当x变化时，f'（x），f（x）变化如下：‎ x ‎（0，）‎ ‎（，e）‎ f′（x）‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ 递减 极小值 递增 所以ymin=f（）=a+aln，‎ 综上，；‎ ‎（3）对两边取对数得，‎ ‎，即，‎ 只需证，令，‎ 只需证，‎ 证明如下：由（1）知 a=1时，的最小值为f（1），‎ 所以，‎ 即，又因为1＜x≤2，上式等号取不到，所以①，‎ 令g（x）=x﹣lnx﹣1（1＜x≤2），则，‎ ‎∴g（x）在1＜x≤2上是增函数，∴g（x）＞g（1）=0②，‎ 综合①②得，‎ 即所以原命题得证．‎