安徽省铜陵一中池州一中浮山中学等2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 10页

安徽省铜陵一中、浮山中学等2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 已知集合A={（x，y）|y=x2，x∈R}，B={（x，y）|y=4x-4}，则A∩B=（　　）‎ A. , B. C. D. ‎ 2. 已知全集U={x|x≤10，x∈R}，集合M={a|-3≤a≤3}，N={b|b≤-5}，则∁U（M∪N）为（　　）‎ A. 且 B. 或 C. 或 D. 且 3. 已知A={y|y=2x+1，x＜5，x∈N*}，，则A∩B的非空子集的个数为（　　）‎ A. 8 B. ‎7 ‎C. 6 D. 无数个 4. 下列关于x，y关系中为函数的是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎0‎ ‎5‎ ‎11‎ 5. 已知函数f（x）=x2+bx+5，对任意实数x，都满足f（1+x）=f（3-x），则f（1）、f（2）、f（4）的大小关系为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 6. 已知函数f（x）=x3+ax+5在x∈[-8，8]上的最大值为M，最小值为m，则M+m为（　　）‎ A. 0 B. ‎5 ‎C. 10 D. 20‎ 7. 已知函数y=（a＞0且a≠1）有最小值，则函数f（x）=loga的单调性为（　　）‎ A. 单调增 B. 单调减 C. 无单调性 D. 不确定 8. 已知函数y=f（x）=|ax-a|（a＞0且a≠1）的图象可能为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 9. 幂函数在x∈（0，+∞）上是增函数，则m=（　　）‎ A. 或2 B. C. 2 D. 1‎ 10. 已知函数，若函数g（x）=f（x）-k有三个不同的零点，则k的范围为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 11. 定义在R上的偶函数f（x）满足f（4-x）=f（x），且当x∈[0，2]时，f（x）=x，则f（2019）的值为（　　）‎ A. B. ‎0 ‎C. 1 D. 2‎ 1. 已知函数y=f（x）在x∈R上单调递增，g（x）=f（x2-2x+3），a=g（log23），b=g（log46），c=g（log‎0.20.03‎），d=g（log0.22），则a，b，c，d的大小关系为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 2. 已知函数y=f（x）的定义域为（2，3）∪（3，4），则函数f（2x-1）的定义城为______．‎ 3. 已知函数y=f（x）满足，则f（512）=______．‎ 4. 已知函数y=f（x），对任意实数x都满足f（x）=-f（x+1）．当0≤x≤1时，f（x）=x（1-x），则x∈[2，4]，函数的解析式为______．‎ 5. 已知函数，若f（a）≥2，则实数a的取值范围是______．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）‎ 6. 已知y=f（x）是定义域为R的奇函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）=-x2+4x． （1）求函数y=f（x）的解析式； （2）若函数y=f（x）在区间[t，t+1]上单调，求t的取值范围． ‎ 7. 已知函数，在R上单调递增，求a的范围． ‎ 8. 已知函数，其中a＞0且a≠1，求函数的定义域． ‎ 9. 已知奇函数y=f（x）定义域为[-1，1]对任意不同两数x1，x2∈[-1，1]，都有[f（x1）+f（x2）]•（x1+x2）＜0，若f（1-a）+f（1-a2）＞0，求实数a的取值范围． ‎ 10. 已知函数f（x）=px2+qx+3，x∈R，（p，q∈R）． （1）若函数f（x）的最小值为f（2）=-1，求f（x）的解析式； （2‎ ‎）函数g（x）=-x2-2x+s，在（1）的条件下，对任意x1∈[1，4]时，都存在x2∈[-2，2]，使g（x2）≥f（x1），求实数s的范围． ‎ 1. 已知，（a＞0且a≠1）． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当λ∈[0，1]，恒成立．求实数x的取值范围． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】D ‎ ‎【解析】解：解得，， ∴A∩B={（2，4）}． 故选：D． 可解方程组得出A∩B的元素，从而得出A∩B． 本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题． 2.【答案】C ‎ ‎【解析】解：∵M={a|-3≤a≤3}，N={b|b≤-5}， ∴M∪N={x|-3≤x≤3或x≤-5}， ∵U={x|x≤10，x∈R}， ∴∁U（M∪N）={x|-5＜x＜-3或3＜x≤10}． 故选：C． 根据并集，补集的定义进行计算即可． 本题主要考查集合的基本运算，结合并集，补集的定义是解决本题的关键．比较基础． 3.【答案】B ‎ ‎【解析】解：A={3，5，7，9}，B={x|-x2+7x+8≥0}={x|-1≤x≤8}， ∴A∩B={3，5，7}， ∴A∩B的非空子集个数为23-1=7． 故选：B． 可以求出集合A，B，然后进行交集的运算求出A∩B，从而可得出A∩B的非空子集的个数． 本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，集合子集个数的计算公式，考查了计算能力，属于基础题． 4.【答案】D ‎ ‎【解析】解：根据函数的定义，自变量在其允许取值范围内任意取一个值，有唯一的函数值与其对应， 选项A中的表达式中，x的取值范围为∅，故它不是函数； 选项B中的表达式，当x在它允许取值范围取值时，y的值不唯一，故它不是函数； 选项C中，当x=1时，y的值不唯一，故它不是函数； 只有选项D中的x、y满足函数的定义， 故选：D． 由题意利用函数的定义，做出判断． 本题主要考查函数的定义，属于基础题． 5.【答案】A ‎ ‎【解析】解：因为函数f（x）满足f（1+x）=f（3-x），所以函数f（x）的对称轴为x=2， ∴=2，∴b=-4， ∴f（x）=x2-4x+5，由函数f（x）的图象开口向上，所以越靠近对称轴，函数值越小， 所以：f（2）＜f（1）＜f（4‎ ‎）， 故选：A． 由函数f（x）满足f（1+x）=f（3-x）可知，函数f（x）的对称轴为x=2，又开口向上，所以越靠近对称轴，函数值越小，得到函数值大小关系． 考查了函数的对称性，二次函数的图象和性质，是基础题． 6.【答案】C ‎ ‎【解析】解：设函数g（x）=x3+ax，x∈[-8，8]， 则g（x）为[-8，8]上的奇函数，所以g（x）max+g（x）min=0， 又M=g（x）max+5，m=g（x）min+5， 所以：M+m=10． 故选：C． 设出函数g（x），因为函数g（x）是奇函数，在关于原点对称区间上的最大值和最小值的和为零，从而求出M+m=10． 考查了函数的奇偶性，以及利用奇偶性求函数的最值，做题时注意巧妙设出函数，是中档题． 7.【答案】A ‎ ‎【解析】解：已知函数y=a（a＞0且a≠1）有最小值， 令t=2x＞0，设内层函数u=t2-2t+5=（t-1）2+4，t∈（0，1）递减，t∈（1，+∞）递增， 函数y=a（a＞0且a≠1）有最小值， 当a＞1时，外层为增函数，所以复合函数y在t∈（0，1）递减，t∈（1，+∞）递增，t=1，即2x=1，x=0时，有最小值，所以a＞1， 当0＜a＜1时，外层为减函数，所以复合函数y在t∈（0，1）递增，t∈（1，+∞）递减，无最小值，不成立， 所以a＞1， 所以f（x）在内层为增，外层为增，复合起来为增函数， 故选：A． 令t=2x＞0，设内层函数u=t2-2t+5=（t-1）2+4，t∈（0，1），当a＞1时，复合函数y在t∈（0，1）递减，t∈（1，+∞）递增，t=1，即2x=1，x=0时，有最小值，所以a＞1，当0＜a＜1时，外不成立，所以a＞1，所以f（x）在内层为增，外层为增，复合起来为增函数． 考查复合函数单调性，复合函数求最值，对数函数与指数函数的综合，中档题． 8.【答案】C ‎ ‎【解析】解：根据题意，函数y=f（x）=|ax-a|（a＞0且a≠1）的图象是由y=ax向下平移a个单位，得y=ax-a，再x轴上方图象不变，下方图象关于x轴对称上去得到的； 对于答案A，由图象知0＜a＜1，渐近线是y=1是由y=-1对称上去的，故图象的渐近线由x轴向下平移了1个单位，与0＜a＜1矛盾，因此A错误； 对于答案B，由图象知0＜a＜1，图象对称到x轴上方的部分形状不对，应有渐近线，不能与渐近线相交，因此B错误； 对于答案C，由图象知a＞1，渐近线是y=2是由y=-2对称上去的，故图象的渐近线由x轴向下平移了2个单位，即a=2，故x=0时，y=1合题意，因此C正确； 对于答案D，由图象知a＞1，渐近线是y=2是由y=-2对称上去的，故图象的渐近线由x轴向下平移了2个单位，当x=0时，y＞1，与a=2矛盾，因此D错误； 故选：C． 函数y=f（x）=|ax-a|（a＞0且a≠1）的图象是由y=ax向下平移a个单位，得y=ax-a，再x轴上方图象不变，下方图象关于x 轴对称上去；根据给出的答案逐一分析即可得出结果，分析时注意曲线的渐进线． 本题考查函数的图象，涉及指数函数的性质与图象的变换，属于基础题． 9.【答案】C ‎ ‎【解析】解：由幂函数定义知：m2-m-1=1得m=2或m=-1，又函数在x∈（0，+∞）上是增函数 ∴m2+m-3＞0，故只有m=2成立，m=-1舍弃． 所以m的值为2 故选：C． 由幂函数的定义知系数m2-m-1=1及函数在x∈（0，+∞）上是增函数性质m2+m-3＞0，这两个条件共同确定可得m的值 本题考查了求幂函数的解析式的应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题与函数单调性的应用问题，是综合性题目． 10.【答案】D ‎ ‎【解析】解：函数的图象如图所示． 函数g（x）=f（x）-k有三个不同的零点，即函数f（x）的图象与y=k的图象有三个交点； 由函数f（x）的图象可知：k=0或 3＜k； 故选：D． 作出函数f（x）的图象，由函数f（x）的图象与y=k的图象有三个交点，找出参数k的取值范围； 考查函数零点问题，根据函数零点个数数形结合求参数的范围，属于基础题． 11.【答案】C ‎ ‎【解析】解：根据题意，f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x）， 又由f（4-x）=f（x），则有f（4-x）=f（-x），变形可得f（x+4）=f（x）， 即函数f（x）是周期为4的周期函数， 又由x∈[0，2]时，f（x）=x，则f（x）的图象如图所示， 则f（2019）=f（2019-4×505）=f（-1）=f（1）=1， 故选：C． 根据题意，分析可得f（4-x）=f（-x），变形可得f（x+4）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，结合函数的解析式分析可得答案． 本题考查抽象函数的应用，涉及函数值的计算，属于基础题． 12.【答案】A ‎ ‎【解析】解：函数y=x2-2x+3关于x=1对称，所以g（x）=f（x2-2x+3）关于x=1对称， 又函数y=f（x）在x∈R上单调递增，而y=x2-2x+3在[1，+∞）单调递增， ∴g（x）=f（x2-2x+3）在[1，+∞）单调递增，有对称性可知，g（x）=f（x2-2x+3）在（-∞，1]单调递减， ∵，，，，log‎0.20.1‎＞log0.20.15＞log0.20.2=1， ‎ ‎∴|log0.22-1|＞|log0.20.03-1|＞1＞|log23-1|＞|log46-1|， ∴b＜a＜c＜d． 故选：A． 可知函数y=x2-2x+3关于x=1对称，从而得出g（x）关于x=1对称，再根据y=f（x）在R上单调递增可得出g（x）在（-∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，从而得出|x-1|的值越大g（x）越大，并可得出1＜log46＜log23＜2，1-log0.22=log0.20.1，log0.20.03-1=log0.20.15，并可得出log0.20.1＞log0.20.15＞1，从而得出|log0.22-1|＞|log0.20.03-1|＞|log23-1|＞|log46-1|，这样即可得出a，b，c，d的大小关系． 本题考查了二次函数的对称轴，二次函数和复合函数的单调性，对数的运算性质，考查了推理和计算能力，属于中档题． 13.【答案】（log23，2）∪（2，log25） ‎ ‎【解析】解：因为函数y=f（x）定义域为（2，3）∪（3，4）， 所以2＜2x-1＜3或3＜2x-1＜4， 即3＜2x＜4或4＜2x＜5， ∴log23＜x＜2或2＜x＜log25， 函数f（2x-1）的定义域为（log23，2）∪（2，log25）． 故答案为：（log23，2）∪（2，log25） 根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可． 题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题． 14.【答案】 ‎ ‎【解析】解：∵函数y=f（x）满足， ∴． 故答案为：-． 由函数y=f（x）满足，f（512）=f（29）．由此能求出结果． 本题考查函数值的求法，考查函数值等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 15.【答案】y= ‎ ‎【解析】解：f（x）=-f（x+1）⇒f（x+1）=-f（x+2），f（x）=-f（x-1）⇒f（x）=f（x+2），f（x）=f（x-2）． 由于0≤x≤1时，f（x）=x（1-x），任取x∈[2，3]则x-2∈[0，1]， 所以f（x）=f（x-2）=（x-2）[1-（x-2）]=-x2+5x-6． 任取x∈（3，4]，则x-3∈（0，1]，f（x）=f（x-2）=-f[（x-2）-1]=-f（x-3）=-（x-3）[1-（x-3）]=x2-7x+12． 所以函数解析式为y=． 故答案为：y=． 根据题意，推出函数f（x）周期为2，所以f（x）=f（x-2），将[2，3]上的解析式和（3，4]上的解析式的求解转化到区间[0，1]上求解即可． 本题考查了抽象函数的解析式的求法，借助周期性和灵活使用已知条件是解决此类问题的关键，本题属于基础题． 16.【答案】 ‎ ‎【解析】解：当a≤0时，f（a）≥2⇒21-a≥2⇒a≤0，即a≤0． 当a＞0时，，即． 综上，实数a 的取值范围是． 故答案为：． 当a≤0时，f（a）≥2⇒21-a≥2，当a＞0时，f（a）=1-log‎2a＞2，在解不等式得解集． 本题考查分段函数解不等式，对数、指数不等式解法，属于基础题． 17.【答案】解：（1）当x∈[0，+∞）时，f（x）=-x2+4x， 又因为y=f（x）为奇函数， 则任取x∈（-∞，0）时，f（x）=-f（-x）=x2+4x， 所以f（x）=； （2）由（1）知：f（x）=； 当t+1≤-2，即t≤-3时，函数y=f（x）在区间[t，t+1]单调递减； 当-2≤t，且t+1≤2，即-2≤t≤1时，函数y=f（x）在区间[t，t+1]单调递增； 当t≥2时，函数y=f（x）在区间[t，t+1]单调递减． ‎ ‎【解析】（1）通过为y=f（x）为奇函数，转化求解函数的解析式即可． （2）由（1）知：f（x）=；画出图象，通过函数的对称轴与求解的关系，转化求解函数的单调区间即可． 本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及分类讨论思想的应用，是中档题． 18.【答案】解：当x≥1时，f（x）=x2+2ax+a2-2单调递增， 所以，即a≥-1，① 当x＜1时，f（x）=9x-a2x+2=（9-a2）x+2单调递增， 所以9-a2＞0，即-3＜a＜3，② 要使得f（x）在R上单调递增则还需要满足： 1+‎2a+a2-2≥9-a2+2，解得a≥2或a≤-3，③ 取①②③的交集得a的取值范围为[2，3） 故a的取值范围为[2，3）． ‎ ‎【解析】f（x）在x≥1时单调递增，则，在x＜1单调递增，则9-a2＞0，还需要x=1处满足1+‎2a+a2-2≥9-a2+2． 本题考查分段函数的单调性，考查了数形结合的思想，属于中档题． 19.【答案】解：由题意可得，， 则， ①当△=4‎-4a＜0，即a＞1时x2-2x+a＞0恒成立， 所以解集为（1，+∞）， 即函数的定义域为（1，+∞）， ②当△≥0，即a≤1时，x2-2x+a=0的两根为，， ∴， 又因为a＞0且a≠1，即0＜a＜1，所以x2＞1＞x1＞0． 所以不等式解集为（x2，+∞）∪（x1，1），即， 所以函数的定义域为， 综上所述，当a＞1时，函数的定义域为（1，+∞）； 当0＜a＜1时，函数的定义域为． ‎ ‎【解析】由题意可得，，从而可得，然后结合二次函数的性质分类进行讨论可求． 本题主要考查了对数函数的定义域的求解，体现了分类讨论思想的应用，属于中档试题． 20.【答案】解：因为函数y=f（x）在[-1，1]上是奇函数， 所以[f（x1）+f（x2）]•（x1+x2）=[f（x1）-f（-x2）]•[x1-（-x2）]． 由于对于任意不同两数x1，x2∈[-1，1]，都有[f（x1）+f（x2）]•（x1+x2）＜0， 所以对于任意不同两数x1，-x2∈[-1，1]，都有[f（x1）-f（-x2）]•[x1-（-x2）]＜0． ∴f（x）在[-1，1]上单调递减， ∵f（1-a）+f（1-a2）＞0， ∴f（1-a）＞-f（1-a2）即f（1-a）＞f（a2-1）， 所以． 所以a的取值范围为． ‎ ‎【解析】由已知x1，x2∈[-1，1]，都有[f（x1）-f（-x2）]•[x1-（-x2）]＜0，可知f（x）在[-1，1]上单调递减，结合f（1-a）+f（1-a2）＞0，及已知函数为奇函数即可求解． 本题主要考查了函数的单调性的定义的应用及利用单调性求解不等式，解题的关键是性质的灵活应用． 21.【答案】解：（1）函数f（x）的最小值，且f（2）=-1， ，解得p=1，q=-4， 所以f（x）=x2-4x+3． （2）对任意x1∈[1，4]时，都存在x2∈[-2，2]，使g（x2）≥f（x1）， 相当于g（x）最大值大于等于f（x）的最大值， 当x∈[1，4]时，f（x）max=f（4）=3， 当x∈[-2，2]时，g（x）max=g（-1）=s+1， 由于对任意x1∈[1，4]时，都存在x2∈[-2，2]，使g（x2）≥f（x1）， 所以g（x）max≥f（x）max，所以s+1≥3，即s≥2． 所以s的取值范围为[2，+∞）． ‎ ‎【解析】（1）函数f（x）的最小值，且f（2）=-1，得到方程组求解即可； （2）对任意x1∈[1，4]时，都存在x2∈[-2，2]，使g（x2）≥f（x1），相当于g（x）最大值大于等于f（x）的最大值，求出最大值，代入运算即可． 考查了二次函数求解析式，函数恒成立和存在性问题，中档题． 22.【答案】解：（1）当a＞1时，，函数y=ax单调递增， 两数y=a-x单调递减， 所以函数（a＞1）单调递增． 当0＜a＜1时，，函数y=ax单调递减，函数y=a-x单调递增， 所以函数，（a＞1）单调递增． 所以函数，（a＞0且a≠1）在其定义域上单调递增． （2）令，λ∈[0，1]，则， 由=， 由（1）知函数y=f（x）为递增函数， 所以，当λ=0时等号成立． 要使得恒成立， 即恒成立， 只需f（1-2x）＜f（-1），即1-2x＜-1，得x＞1． 所以实数x的取值范围为（1，+∞）． ‎ ‎【解析】（1）利用指数函数的性质对底数a大小讨论即可判断； （2）换元思想，利用（1）中的单调性脱去“f”，即可求解； 本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论以及转化思想的应用，指数函数单调性的应用． ‎