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- 2021-06-10 发布
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第8讲 指数与指数函数
考纲要求
考情分析
命题趋势
1.了解指数函数模型的实际背景.
2.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.
3.理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点.
4.知道指数函数是一类重要的函数模型.
2016·全国卷Ⅲ,6
2015·天津卷,7
2015·山东卷,14
2015·江苏卷,7
1.指数幂的化简与运算,经常与对数函数相结合考查.
2.指数函数的图象与性质的应用是高考的热点,经常与对数函数一起考查.
3.指数函数的综合应用是高考的热点,经常以指数型函数和复合函数的形式出现,考查它们的单调性、奇偶性、最值等.
分值:5分
1.根式
(1)根式的概念
根式的概念
符号表示
备注
如果__xn=a__,那么x叫做a的n次方根
n>1且n∈N*
当n是奇数时,正数的n次方根是一个__正数__,负数的n次方根是一个__负数__
零的n次方根是零
当n是偶函数时,正数的n次方根有__两个__,这两个数互为__相反数__
±(a>0)
负数没有偶次方根
(2)两个重要公式
①=
②()n=__a__(注意:a必须使有意义).
2.有理数的指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂:a=!!! ###(a>0,m,n∈N*,且n>1);
②负分数指数幂:a-=!!! ###=!!! ###(a>0,m,n∈N*,且n>1).
③0的正分数指数幂等于__0__,0的负分数指数幂__无意义__.
(2)有理数指数幂的性质
①aras=__ar+s__(a>0,r,s∈Q);
②(ar)s=__ars__(a>0,r,s∈Q);
③(ab)r=__arbr__(a>0,b>0,r∈Q).
3.指数函数的图象与性质
y=ax
a>1
00时,__y>1__;
x<0时,__00时,__01__
在R上是__增函数__
在R上是__减函数__
1.思维辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)与()n都等于a(n∈N*).( × )
(2)2a·2b=2a b.( × )
(3)函数y=3·2x与y=2x+1都不是指数函数.( √ )
(4)若am0且a≠1),则m1时,mn.
(5)正确.y=2-x=x,根据指数函数的性质可知函数在R上为减函数.
2.函数f(x)=的定义域是( A )
A.(-∞,0] B.[0,+∞)
C.(-∞,0) D.(-∞,+∞)
解析 ∵1-2x≥0,∴2x≤1,∴x≤0.
3.已知函数f(x)=4+ax-1的图象恒过定点P,则点P的坐标是( A )
A.(1,5) B.(1,4)
C.(0,4) D.(4,0)
解析 当x=1时,f(x)=5.
4.不等式2x2-x<4的解集为__{x|-10,a≠1)的图象,应抓住三个关键点(1,a),(0,1),和一条渐近线y=0.
(2)与指数函数有关的函数的图象的研究,往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换,得到其图象.
(3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.
【例2】 (1)函数y=ax-(a>0,且a≠1)的图象可能是( D )
(2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是__[-1,1]__.
解析 (1)函数y=ax-(a>0,且a≠1)的图象必过点(-1,0),故选D.
(2)曲线|y|=2x+1与直线y=b的图象如图所示,
由图象可得:如果|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b应满足的条件是b∈[-1,1].
三 指数函数的性质及应用
指数函数性质问题的类型及解题思路
(1)比较指数幂大小问题.常利用指数函数的单调性及中间值(0或1).
(2)简单的指数不等式的求解问题.解决此类问题应利用指数函数的单调性,要特别注意底数a的取值范围,并在必要时进行分类讨论.
(3)求解与指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断,最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决.
【例3】 已知函数f(x)=ex-e-x(x∈R,且e为自然对数的底数).
(1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性;
(2)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R都成立?若存在,求出t;若不存在,请说明理由.
解析 (1)∵f(x)=ex-x,
∴f′(x)=ex+x,
∴f′(x)>0对任意x∈R都成立,∴f(x)在R上是增函数.
∵f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-ex=-f(x),∴f(x)是奇函数.
(2)存在,由(1)知f(x)在R上是增函数和奇函数,则f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R都成立
⇔f(x2-t2)≥f(t-x)对一切x∈R都成立
⇔x2-t2≥t-x对一切x∈R都成立
⇔t2+t≤x2+x=2-对一切x∈R都成立
⇔t2+t≤(x2+x)min=-⇔t2+t+=2≤0,
又2≥0,∴2=0,∴t=-,∴存在t=-,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R都成立.
1.(2018·山东德州一模)已知a=,b=,c=,则( D )
A.ac,∴b0,且a≠1,如果以P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2))为端点的线段的中点在y轴上,那么f(x1)·f(x2)=( A )
A.1 B.a
C.2 D.a2
解析 ∵以P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2))为端点的线段的中点在y轴上,∴x1+x2=0,又∵f(x)=ax,∴f(x1)·f(x2)=ax1·ax2=ax1+x2=a0=1,故选A.
3.函数y=4x+2x+1+1的值域为( B )
A.(0,+∞) B.(1,+∞)
C.[1,+∞) D.(-∞,+∞)
解析 令2x=t(t>0),则函数y=4x+2x+1+1可化为y=t2+2t+1=(t+1)2(t>0).∵函数y=(t+1)2在(0,+∞)上递增,∴y>1.∴所求值域为(1,+∞),故选B.
4.函数f(x)=ax+loga(x+1)(a>0,且a≠1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a,则a的值为( B )
A. B.
C.2 D.4
解析 ∵在[0,1]上y=ax与y=loga(x+1)具有相同的单调性,∴f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上单调,∴f(0)+f(1)=a,
即a0+loga1+a1+loga2=a,化简得1+loga2=0,解得a=.
易错点 忽视对含参底数的讨论
错因分析:对数函数、指数函数的底数含字母参数时,要分底数大于1和大于0小于1讨论.
【例1】 已知函数f(x)=(ax-a-x)(a>0且a≠1)在R上为增函数,求a的取值范围.
解析 ①当a>1时,ax在R上为增函数,y=a-x=x在R上为减函数,∴y=ax-a-x为增函数.
∵f(x)为增函数,∴>0,解得a>3或a<-3,
又∵a>1,∴a>3.
②当00,且a≠1)有两个不等实根,则a的取值范围是( D )
A.(0,1)∪(1,+∞) B.(0,1)
C.(1,+∞) D.
解析 方程|ax-1|=2a(a>0,且a≠1)有两个实数根转化为函数y=|ax-1|与y=2a有两个交点.
①当01时,如图②,
而y=2a>1不符合要求.
∴0f(c)>f(b),
结合图象知00,
∴0<2a<1.
∴f(a)=|2a-1|=1-2a<1,
∴f(c)<1,∴0f(c),∴1-2a>2c-1,
∴2a+2c<2,故选D.
二、填空题
7.已知函数f(x)=a-x(a>0,且a≠1),且f(-2)>f(-3),则a的取值范围是__(0,1)__.
解析 因为f(x)=a-x=x,且f(-2)>f(-3),
所以函数f(x)在定义域上单调递增,所以>1,解得01)在区间[-1,1]上的最大值是14,则a=__3__.
解析 y=a2x+2ax-1(a>1),令ax=t,则y=t2+2t-1,此二次函数图象开口向上,对称轴为t=-1,
又a>1,所以当t=a,即x=1时取最大值,所以a2+2a-1=14,
解得a=3.
9.(2018·皖南八校联考)对于给定的函数f(x)=ax-a-x(x∈R,a>0,a≠1),下面给出五个命题,其中真命题是__①③④__(只需写出所有真命题的编号).
①函数f(x)的图象关于原点对称;
②函数f(x)在R上不具有单调性;
③函数f(|x|)的图象关于y轴对称;
④当01时,函数f(|x|)的最大值是0.
解析 ∵f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数,f(x)的图象关于原点对称,①真;当a>1时,f(x)在R上为增函数,当01时,f(|x|)在(-∞,0)上为减函数,在[0,+∞)上为增函数,∴当x=0时,y=f(|x|)取最小值为0,⑤假.综上,真命题是①③④.
三、解答题
10.化简:(1)(a>0,b>0);
(2) -+(0.002)--10(-2)-1+(-)0.
解析 (1)原式=
=a++-1·b1+-2-=ab-1.
(2)原式=-+--+1
=+500-10(+2)+1
=+10-10-20+1
=-.
11.已知函数f(x)=ax2-4x+3.
(1)若a=-1,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)有最大值3,求a的值.
解析 (1)当a=-1时,f(x)=-x2-4x+3,令g(x)=-x2-4x+3,由于g(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减,而y=t在R上单调递减,所以f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是(-2,+∞),单调递减区间是(-∞,-2).
(2)令g(x)=ax2-4x+3=a2+3-,∵f(x)有最大值,∴g(x)应有最小值,且g(x)min=3-(a>0),
∴f(x)max=3-=3,∴3-=-1,∴a=1.
12.已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.
(1)求a,b的值;
(2)解关于t的不等式f(t2-2t)+f(2t2-1)<0.
解析 (1)因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,即=0,解得b=1,所以f(x)=.
又由f(1)=-f(-1)知=-,解得a=2.
(2)由(1)知f(x)==-+.
由上式易知f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.
又因为f(x)是奇函数,所以不等式f(t2-2t)+f(2t2-1)<0
等价于f(t2-2t)<-f(2t2-1)=f(-2t2+1).因为f(x)是减函数,由上式推得t2-2t>-2t2+1,即3t2-2t-1>0,解不等式可得解集为t.