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- 2021-06-10 发布
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3. 1.1两角差的余弦公式
一、教材分析
《两角差的余弦公式》是人教A版高中数学必修4第三章《三角恒等变换》第一节《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》第一节课的内容。本节主要给出了两角差的余弦公式的推导,要引导学生主动参与,独立思索,自己得出相应的结论。
二、教学目标
1.引导学生建立两角差的余弦公式。通过公式的简单应用,使学生初步理解公式的结构
及其功能,并为建立其他和差公式打好基础。
2.通过课题背景的设计,增强学生的应用意识,激发学生的学习积极性。
3.在探究公式的过程中,逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力,培养学生学会合作交流的能力。
三、教学重点难点
重点 两角差余弦公式的探索和简单应用。
难点 探索过程的组织和引导。
四、学情分析
之前学习了三角函数的性质,以及平面向量的运算和应用,在此基础上,要考虑如何利用任意角的正弦余弦值来表示,牢固的掌握这个公式,并会灵活运用公式进行下一节内容的学习。
五、教学方法
1.自主性学习法:通过自学掌握两角差的余弦公式.
2.探究式学习法:通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程.
3.反馈练习法:以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存在的差距
六、课前准备
1.学生准备:预习《两角差的余弦公式》,理解两种方法的推理过程。
2.教师准备:课前预习学案,课内探究学案,课后延伸拓展学案。
七、课时安排:1课时
八、教学过程
(一)创设情景,揭示课题
以学校教学楼为背景素材(见课件)引入问题。并针对问题中的用计算器或不用计算器计算求值,以激趣激疑,导入课题。
教师问:想一想: 学校因某次活动的需要,需从楼顶的C点处往该点正对的地面上的A点处拉一条钢绳,为了在购买钢绳时不至于浪费,你能算一算到底需要多长钢绳吗? (要求在地面上测量,测量工具:皮尺,测角器)
问题:(1)能不能不用计算器求值 : , ,
(2)
设计意图:由给出的背景素材,使学生感受数学源于生活,又应用于生活,唤起学生解决问题的兴趣,和抛出新知识引起学生的疑惑,在兴趣和疑惑中,激发学生的求知欲,引导学习方向。
(二)、研探新知
1.三角函数线法:
问:①怎样作出角、、的终边。
②怎样作出角的余弦线OM
③怎样利用几何直观寻找OM的表示式。
设计意图:尽量用动画课件把探索过程展示出来,使学生能从几何直观角度加强对公式结构形式的认识。
(1) 设角终边与单位圆地交点为P1,。
(2) 过点P作PM⊥X轴于点M,那么OM就是 的余弦线。
(3) 过点P作PA⊥OP1于A,过点A作AB⊥x轴于B,过点P作PC⊥AB于C
那么
OA表示 ,AP 表示,并且
于是 OM=OB+BM
=OB+CP
=OA+AP
=
最后要提醒学生注意,公式推导的前提条件:
、、都是锐角,且
2.向量法:
问:①结合图形,明确应选哪几个向量,它们怎么表示?
② 怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。
③ 对探索的过程进一步严谨性的思考和处理,从而得到合理的科学结论。
设计意图:让学生经历利用向量知识解决一个数学问题的过程,体会向量方法解决数学问题的简洁性。
如图,建立单位圆O
由向量数量积的概念,有A
O
B
x
y
由向量数量积的坐标表示,有
因为 、、都是任 意 角,所以也是任意角,但由诱导公式以总可找到一个
,使得 。
于是对于任意角、都有
例1. 利用差角余弦公式求的值
(求解过程让学生独立完成,注意引导学生多方向、多维度思考问题)
解法1:
解法2:
变式训练:利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式:
(1); (2)
(让学生联系公式和本题的条件,考虑清楚要计算,应作那些准备。) 解:由,得
又由,是第三象限角,得
所以
让学生结合公式,明确需要再求哪些三角函数值,可使问题得到解决。
变式训练:
(三)、质疑答辩,排难解惑,发展思维
1.利用两角和(差)的余弦公式,求
【点评】:把一个具体角构造成两个角的和、差形式,有很多种构造方法,例如:,要学会灵活运用.
2.求值
3.化简
提示:利用拆角思想的变换技巧
(设计意图:通过变式训练,进一步加深学生对公式的理解和应用,体验公式既可正用、逆用,还可变用.还可使学生掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题,培养了学生的灵活思维品质,提高学生的数学交流能力,促进思维的创新。)
(四)发导学案、布置预习
本节我们学习了两角和与差的余弦公式,要求同学们掌握公式的推导,能熟练运用公式,注意公式的逆用。在解题过程中注意角、的象限,也就是符号问题,学会灵活运用.课下完成本节的课后练习以及课后延展作业,课本习题2.3.4
(设计意图:布置下节课的预习作业,并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。)
九、板书设计
两角差的余弦公式
1.三角函数线法 2.向量法
例1 变式训练 例2 变式训练
当堂训练1. 2.
3. 4.
十、教学反思
本节主要考察如何用任意角的正弦余弦值来表示,回顾公式 的推导过程,观察公式的特征,注意符号区别以及公式中角,的任意性,特别要注意公式既可正用、逆用,还可变用(即要活用).还要注意掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题.
设计意图:让学生通过自己小结,反思学习过程,加深对公式及其推导过程(包括发现、
猜想、论证的数学化的过程)的理解。
十一、学案设计(见下页)
3.1.1两角差的余弦公式
课前预习学案
一、预习目标
预习《两角差的余弦公式》,体会两角差的余弦公式的推导过程 ,尤其是向量法的运用。
二、 预习内容
阅读课本相关内容,经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式,进一步体会向量方法作用,并回答以下问题:
1. 如何用任意角的正弦余弦值来表示;
2. 如何求出的值;
3. 会求的值吗?
三、 提出疑惑
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、 学习内容
通过公式的简单应用,使学生初步理解公式的结构及其功能,并为建立其他和差公式打
好基础。
二、 学习过程
探究一:(1)能不能不用计算器求值 : , ,
(2)
探究二:两角差的余弦公式的推导
1.三角函数线法:
问:①怎样作出角、、的终边。
②怎样作出角的余弦线OM
③怎样利用几何直观寻找OM的表示式。
2.向量法:
问:①结合图形,明确应选哪几个向量,它们怎么表示?
② 怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。
③ 对探索的过程进一步严谨性的思考和处理,从而得到合理的科学结论。
例题整理
例1. 利用差角余弦公式求的值
变式训练:利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式:
(1); (2)
变式训练:。
一、 反思总结
本节主要考察如何用任意角的正弦余弦值来表示,回顾公式 的推导过程,观察公式的特征,注意符号区别以及公式中角,的任意性,特别要注意公式既可正用、逆用,还可变用(即要活用).在求值的过程中,还要注意掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题.
二、 当堂检测
1.利用两角和(差)的余弦公式,求
2.求值
3.化简
课后练习与提高
一、选择题
1. 的值为 ( )
A. B. C. D.
2. 的值为 ( )
A. B. C. D .
3.已知,则的值等于( )
A. B. C. D.
二、填空题
4.化简=
5.若,则=
三、解答题、
6.已知,求的值.