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  • 2021-06-10 发布

高中数学必修4:3_1_1两角差的余弦公式(教、学案)

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‎3. 1.1‎两角差的余弦公式 一、教材分析 ‎《两角差的余弦公式》是人教A版高中数学必修4第三章《三角恒等变换》第一节《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》第一节课的内容。本节主要给出了两角差的余弦公式的推导,要引导学生主动参与,独立思索,自己得出相应的结论。‎ 二、教学目标 ‎1.引导学生建立两角差的余弦公式。通过公式的简单应用,使学生初步理解公式的结构 及其功能,并为建立其他和差公式打好基础。‎ ‎2.通过课题背景的设计,增强学生的应用意识,激发学生的学习积极性。‎ ‎3.在探究公式的过程中,逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力,培养学生学会合作交流的能力。‎ 三、教学重点难点 重点 两角差余弦公式的探索和简单应用。‎ 难点 探索过程的组织和引导。‎ 四、学情分析 之前学习了三角函数的性质,以及平面向量的运算和应用,在此基础上,要考虑如何利用任意角的正弦余弦值来表示,牢固的掌握这个公式,并会灵活运用公式进行下一节内容的学习。‎ 五、教学方法 ‎1.自主性学习法:通过自学掌握两角差的余弦公式.‎ ‎2.探究式学习法:通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程.‎ ‎3.反馈练习法:以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存在的差距 六、课前准备 ‎1.学生准备:预习《两角差的余弦公式》,理解两种方法的推理过程。‎ ‎2.教师准备:课前预习学案,课内探究学案,课后延伸拓展学案。‎ 七、课时安排:1课时 八、教学过程 ‎(一)创设情景,揭示课题 ‎ 以学校教学楼为背景素材(见课件)引入问题。并针对问题中的用计算器或不用计算器计算求值,以激趣激疑,导入课题。‎ ‎ 教师问:想一想: 学校因某次活动的需要,需从楼顶的C点处往该点正对的地面上的A点处拉一条钢绳,为了在购买钢绳时不至于浪费,你能算一算到底需要多长钢绳吗? (要求在地面上测量,测量工具:皮尺,测角器)‎ 问题:(1)能不能不用计算器求值 : , ,‎ ‎(2)‎ 设计意图:由给出的背景素材,使学生感受数学源于生活,又应用于生活,唤起学生解决问题的兴趣,和抛出新知识引起学生的疑惑,在兴趣和疑惑中,激发学生的求知欲,引导学习方向。‎ ‎(二)、研探新知 ‎1.三角函数线法:‎ 问:①怎样作出角、、的终边。‎ ‎②怎样作出角的余弦线OM ‎③怎样利用几何直观寻找OM的表示式。‎ 设计意图:尽量用动画课件把探索过程展示出来,使学生能从几何直观角度加强对公式结构形式的认识。‎ (1) 设角终边与单位圆地交点为P1,。‎ (2) 过点P作PM⊥X轴于点M,那么OM就是 的余弦线。‎ (3) 过点P作PA⊥OP1于A,过点A作AB⊥x轴于B,过点P作PC⊥AB于C 那么 ‎ ‎ OA表示 ,AP 表示,并且 于是 OM=OB+BM ‎ =OB+CP ‎ =OA+AP ‎ =‎ ‎ 最后要提醒学生注意,公式推导的前提条件:‎ ‎、、都是锐角,且 ‎2.向量法:‎ 问:①结合图形,明确应选哪几个向量,它们怎么表示?‎ ② 怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。‎ ③ 对探索的过程进一步严谨性的思考和处理,从而得到合理的科学结论。‎ 设计意图:让学生经历利用向量知识解决一个数学问题的过程,体会向量方法解决数学问题的简洁性。‎ 如图,建立单位圆O ‎ 由向量数量积的概念,有A O B x y ‎ ‎ 由向量数量积的坐标表示,有 因为 、、都是任 意 角,所以也是任意角,但由诱导公式以总可找到一个 ‎,使得 。‎ ‎ 于是对于任意角、都有 ‎ ‎ 例1. 利用差角余弦公式求的值 ‎ ‎(求解过程让学生独立完成,注意引导学生多方向、多维度思考问题)‎ 解法1:‎ 解法2:‎ 变式训练:利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式:‎ ‎(1); (2)‎ ‎ (让学生联系公式和本题的条件,考虑清楚要计算,应作那些准备。) 解:由,得 又由,是第三象限角,得 所以 让学生结合公式,明确需要再求哪些三角函数值,可使问题得到解决。‎ 变式训练: ‎ ‎(三)、质疑答辩,排难解惑,发展思维 ‎ ‎1.利用两角和(差)的余弦公式,求 ‎【点评】:把一个具体角构造成两个角的和、差形式,有很多种构造方法,例如:,要学会灵活运用.‎ ‎2.求值 ‎ ‎3.化简 ‎ ‎ ‎ 提示:利用拆角思想的变换技巧 ‎(设计意图:通过变式训练,进一步加深学生对公式的理解和应用,体验公式既可正用、逆用,还可变用.还可使学生掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题,培养了学生的灵活思维品质,提高学生的数学交流能力,促进思维的创新。) ‎ ‎ (四)发导学案、布置预习 本节我们学习了两角和与差的余弦公式,要求同学们掌握公式的推导,能熟练运用公式,注意公式的逆用。在解题过程中注意角、的象限,也就是符号问题,学会灵活运用.课下完成本节的课后练习以及课后延展作业,课本习题‎2.3.4‎ ‎(设计意图:布置下节课的预习作业,并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。)‎ 九、板书设计 两角差的余弦公式 ‎1.三角函数线法 2.向量法 例1 变式训练 例2 变式训练 当堂训练1. 2.‎ 3. ‎4.‎ 十、教学反思 本节主要考察如何用任意角的正弦余弦值来表示,回顾公式 的推导过程,观察公式的特征,注意符号区别以及公式中角,的任意性,特别要注意公式既可正用、逆用,还可变用(即要活用).还要注意掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题.‎ 设计意图:让学生通过自己小结,反思学习过程,加深对公式及其推导过程(包括发现、‎ 猜想、论证的数学化的过程)的理解。‎ ‎ 十一、学案设计(见下页)‎ ‎3.1.1‎两角差的余弦公式 课前预习学案 一、预习目标 预习《两角差的余弦公式》,体会两角差的余弦公式的推导过程 ,尤其是向量法的运用。‎ 二、 预习内容 阅读课本相关内容,经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式,进一步体会向量方法作用,并回答以下问题:‎ 1. 如何用任意角的正弦余弦值来表示;‎ 2. 如何求出的值;‎ 3. 会求的值吗?‎ 三、 提出疑惑 疑惑点 疑惑内容 课内探究学案 一、 学习内容 通过公式的简单应用,使学生初步理解公式的结构及其功能,并为建立其他和差公式打 好基础。‎ 二、 学习过程 ‎ 探究一:(1)能不能不用计算器求值 : , ,‎ ‎(2)‎ 探究二:两角差的余弦公式的推导 ‎1.三角函数线法:‎ 问:①怎样作出角、、的终边。‎ ‎②怎样作出角的余弦线OM ‎③怎样利用几何直观寻找OM的表示式。‎ ‎2.向量法:‎ 问:①结合图形,明确应选哪几个向量,它们怎么表示?‎ ② 怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。‎ ③ 对探索的过程进一步严谨性的思考和处理,从而得到合理的科学结论。‎ ‎ 例题整理 例1. 利用差角余弦公式求的值 ‎ 变式训练:利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式:‎ ‎(1); (2)‎ 变式训练:。‎ 一、 反思总结 本节主要考察如何用任意角的正弦余弦值来表示,回顾公式 的推导过程,观察公式的特征,注意符号区别以及公式中角,的任意性,特别要注意公式既可正用、逆用,还可变用(即要活用).在求值的过程中,还要注意掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题.‎ 二、 当堂检测 ‎1.利用两角和(差)的余弦公式,求 ‎2.求值 ‎ ‎3.化简 ‎ 课后练习与提高 一、选择题 ‎1. 的值为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 的值为 ( )‎ A. B. C. D .‎ ‎3.已知,则的值等于( )‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题 ‎4.化简= ‎ ‎5.若,则= ‎ 三、解答题、‎ ‎6.已知,求的值.‎