江苏省徐州市2019-2020学年高二上学期学情调研数学试题 含解析 9页

江苏省徐州市2019-2020学年度第一学期学情调研高二数学试题 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 设a∈R，则“a＞1”是“a2＞‎1”‎的（　　）条件．‎ A. 必要不充分 B. 充分不必要 C. 既不充分也不必要 D. 充要 2. 若数列的前4项分别是，则此数列一个通项公式为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 3. 在等差数列{an}中，若a3=2，a6=4，则等差数列{an}的公差d=（　　）‎ A. B. ‎1 ‎C. D. ‎ 4. 已知等比数列{an}中a4=27，q=-3，则a1=（　　）‎ A. 1 B. C. 3 D. ‎ 5. 已知，则y的最小值是（　　）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ 6. 已知命题p：x＞m，q：2+x-x2＜0，如果命题p是命题q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 7. 在等比数列{an}中，，，则a1=（　　）‎ A. 或6 B. ‎3 ‎C. 或3 D. 6‎ 8. 设a，b，c为实数，且a＞b＞0，则下列不等式正确的是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 9. 我国古代用诗歌的形式提出一个数列问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共有三百八十一，试问塔顶几盏灯？”，请问塔顶一共（　　）盏灯．‎ A. 4 B. ‎3 ‎C. 6 D. 2‎ 10. 观察下列一组数据 a1=‎1 a2=3+‎5 a3=7+9+‎11 a4=13+15+17+19 … 则a20从左到右第一个数是（　　）‎ A. 379 B. ‎383 ‎C. 381 D. 377‎ 1. 等差数列{an}中，Sn为它的前n项和，若a1＞0，S20＞0，S21＜0，则当n＝（    ）时，Sn最大．‎ A. 8 B. ‎9 ‎C. 10 D. 11‎ 2. 设函数f（x）=，利用课本（苏教版必修5）中推导等差数列前n项和的方法，求得f（-5）+f（-4）+…+f（0）+…+f（4）+f（5）的值为（　　）‎ A. 9 B. ‎11 ‎C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 3. 命题“∃x＞0，2x-1＜0．”的否定是______．‎ 4. 不等式2x2-kx+k＞0对于任意的实数x恒成立，则实数k的取值范围是______．‎ 5. 已知数列{an}首项为a1=1，且，则数列的前n项和为______．‎ 6. 已知正数a，b满足a+b=2，则的最大值为______．‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ 7. 解下列不等式： （1）（1-x）（x+2）＞-4 （2） ‎ 8. 已知等差数列{an}前n项和为Sn，且S2=-18，S11=0． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若，求证：数列{bn}是等差数列． ‎ 9. 已知数列{an}的前n项和Sn，且满足：Sn=2an-1，n∈N*． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若bn=2n+1，求数列{an•bn}的前n项和Tn． ‎ 10. 某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=x2+10x（万元）；当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+-1450（万元），每件售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完． （1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？‎ ‎ ‎ 1. 设函数f（x）=ax2+（b-2）x+3，（a≠0） （1）若不等式f（x）＞0的解集为（-3，1），求a，b的值； （2）若b=-a，求不等式f（x）≤1的解集． ‎ 2. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=n2-2n+1，数列{bn}中，b1=，对任意正整数． （1）求数列{an}的通项公式； （2）是否存在实数μ，使得数列{3n•bn+μ}是等比数列？若存在，请求出实数μ及公比q的值，若不存在，请说明理由； （3）求数列{bn}前n项和为Tn． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】B ‎ ‎【解析】解：当a∈R时，a＞1⇒a2＞1；而a2＞1不能推出a＞1，也可能a＜-1． ∴“a＞1”是“a2＞‎1”‎的充分不必要条件． 故选：B． 由a＞1⇒a2＞1，而a2＞1不能推出a＞1，则答案可求． 本题考查充分必要条件的判定，是基础题． 2.【答案】A ‎ ‎【解析】解：由数列的前四项是，得； 故选：A． 根据数列的前四项是，找规律，奇数项为负数，偶数项为正数，分子都是1，分母是项数加1，即可写出通项公式． 还可以根据选项排除错误选项，选出答案． 本题考查了数列通项公式的写法，主要用观察法，还可以用法特值法排除错误选项法，属于基础题． 3.【答案】C ‎ ‎【解析】解：∵在等差数列{an}中，a3=2，a6=4， ∴等差数列{an}的公差d===． 故选：C． 利用等差数列的通项公式直接求解． 本题考查等差数列的公差的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4.【答案】B ‎ ‎【解析】解：等比数列{an}中，a4=27，q=-3， 则a1===-1． 故选：B． 根据等比数列的通项公式计算即可． 本题考查了等比数列的定义与性质应用问题，是基础题． 5.【答案】C ‎ ‎【解析】解：=x-1++1≥2+1=3，当且仅当x=2时取等号． 则y的最小值是3． 故选：C． 变形利用基本不等式的性质即可得出． 本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 6.【答案】D ‎ ‎【解析】解：命题p：x＞m，q：2+x-x2＜0， ∵命题p是命题q的充分不必要条件， ∴p能推出q，q推不出p． 由题知：q：2+x-x2＜0，解得：x＞2或x＜-1． 则：m≥2‎ ‎． 故选：D． 求解一元二次不等式化简q，再由命题p是命题q的充分不必要条件转化为两集合间的关系求解． 本题考查了充要条件、简易逻辑的应用，考查了推理能力与计算能力，是基础题． 7.【答案】A ‎ ‎【解析】解：由，，得： 得a1=或6． 故选：A． 将，建立关于a1，q的方程组求解，解方程组即可求出结果 本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，熟练掌握公式，同时要注意运算的正确性，属于基础题． 8.【答案】D ‎ ‎【解析】解：因为a，b，c为实数，且a＞b＞0， 所以取a=2，b=1，可排除A，B，C． 故选：D． 根据a＞b＞0，取a=2，b=1可用排除法得到正确选项． 本题考查了不等式的基本性质，属基础题． 9.【答案】B ‎ ‎【解析】解：由题设知七层塔中，各层塔上灯的个数成等比数列，且公比q=2， 设塔顶有x盏灯，则=381，解得x=3． 故选：B． 设塔顶有x盏灯，由等比数列的求和公式可得=381，解方程可得结果． 本题考查等比数列的前n项和，从实际问题中抽象出数列问题是解决本题的关键，属基础题． 10.【答案】C ‎ ‎【解析】解：依题意，前从a1到a19共有=190个数字， 所以a20从左到右第一个数是第191个奇数， 第n个奇数为2n-1， 所以第191个奇数为2×191-1=381． 故选：C． 先计算前19行数字的个数，进而可得a20从左到右第一个数． 本小题主要考查归纳推理、等差数列求和公式的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查分析问题和解决问题的能力．属于中档题． 11.【答案】C ‎ ‎【解析】解：等差数列{an}中，前n项和为Sn，且S20＞0，S21＜0， 即a10+a11＞0，并且a11＜0， 所以a10＞0， 所以数列{an}的前10项和最大． 故选：C． 根据等差数列的前n项和公式与项的性质，得出a10＞0，且a11＜0，由此判断数列{an}的前10项和最大． 本题考查了等差数列的性质和前n项和应用问题，是基础题． ‎ ‎12.【答案】B ‎ ‎【解析】解：函数f（x）=，可得f（-x）==， 则f（x）+f（-x）==2， 设s=f（-5）+f（-4）+…+f（0）+…+f（4）+f（5）， 则s=f（5）+f（4）+…+f（0）+…+f（-4）+f（-5）， 相加可得2s=[f（-5）+f（5）]+[f（-4）+f（4）]+…+‎2f（0）+…+[f（4）+f（-4）]+[f（5）+f（-5）] =2+2+…+2+…+2+2=2×11， 可得s=11． 故选：B． 由题意求得f（x）+f（-x）=2，设s=f（-5）+f（-4）+…+f（0）+…+f（4）+f（5），则s=f（5）+f（4）+…+f（0）+…+f（-4）+f（-5），两式相加，计算可得所求和． 本题考查函数的值的和的求法，注意运用倒序相加法，求得f（x）+f（-x）=2是解题的关键，考查化简运算能力，属于中档题． 13.【答案】∀x＞0，2x-1≥0 ‎ ‎【解析】解：命题为特称命题，则命题的否定为∀x＞0，2x-1≥0， 故答案为：∀x＞0，2x-1≥0． 根据含有量词的命题的否定即可得到结论． 本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础． 14.【答案】0＜k＜8 ‎ ‎【解析】解：2x2-kx+k＞0对于任意的实数x恒成立， ∴二次函数y=2x2-kx+k的图象恒在x轴上方， ∴△=k2-4×2×k＜0，   即 k2-8k＜0， ∴0＜k＜8， 故答案为：0＜k＜8． 本题是一道二次不等式恒成立问题，可以转化为对应的二次函数的图象恒在x轴上方，则判别式△＜0求解． 本题是二次不等式恒成立问题，x的范围是R，我们还可以变式将x的范围进行适当的限制，然后用分类讨论的方法或分离参数的方法求解． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】解：a1=1，且， 可得an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1） =1+2+3+…+n=n（n+1）， 则==2（-）， 可得数列的前n项和为2（1-+-+…+-） =2（1-）=． 故答案为：． 由数列的恒等式：an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1），结合已知递推式，结合等差数列的求和公式，可得an，求得==2（-），再由数列的裂项相消求和，可得所求和． 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的恒等式，考查数列的裂项相消求和，同时考查等差数列的求和公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题． ‎ ‎16.【答案】 ‎ ‎【解析】解：正数a，b满足a+b=2，∴（a+1）+（b+2）=5． 则=+=2-（+）． ∵+=[（a+1）+（b+2）]（+）=（2++）≥（2+2）=，当且仅当a+1=b+2=，解得a=，b=时取等号． ∴=2-（+）≤2-=． ∴的最大值为． 故答案为：． 正数a，b满足a+b=2，变形为（a+1）+（b+2）=5．变形=+=2-（+），再利用基本不等式的性质即可得出． 本题考查了基本不等式的性质、变形方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 17.【答案】解：（1）原不等式可化为x2+x-6＜0，所以原不等式的解集为{x|-3＜x＜2}； （2）原不等式可化为， 等价于， 所以原不等式的解集为{x|x≤-4或x＞3}． ‎ ‎【解析】（1）原不等式可化为x2+x-6＜0，然后按一元二次不等式的解法解即可； （2）原不等式可化为，该不等式又等价于，然后解不等式组即可． 考查一元二次不等式和分式不等式的解法． 18.【答案】解：（1）设等差数列{an}的公差为d， 可得， ∴an=2n-12． （2）， ，从而bn+1-bn=1（常数）． 所以数列{bn}是等差数列． ‎ ‎【解析】（1）设出数列的公差，利用已知条件列出方程组求解首项与公差，即可得到通项公式． （2）求出等差数列的和，化简，然后求解数列的和即可． 本题考查数列求和数列的递推关系式的应用，考查转化首项以及计算能力． 19.【答案】解：（1）依题意：当n=1时，有：S1=‎2a1-1，又S1=a1，故a1=1， 由Sn=2an-1①当n≥2时，有Sn-1=2an-1-1②， ①②得：Sn-Sn-1=an=2an-2an-1化简得：an=2an-1， ∴{an}是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴． （2）， ， ， =， ． ‎ ‎【解析】（1）求出数列的首项，推出{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，然后求解通项公式． （2）利用错位相减法，求解数列的和即可． 本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查转化首项以及计算能力． 20.【答案】解：（1）∵每件商品售价为0.05万元， ‎ ‎∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元， ①当0＜x＜80时，根据年利润=销售收入-成本， ∴L（x）=（0.05×1000x）-x2-10x-250=-x2+40x-250； ②当x≥80时，根据年利润=销售收入-成本， ∴L（x）=（0.05×1000x）-51x-+1450-250=1200-（x+）． 综合①②可得，L（x）=； （2）①当0＜x＜80时，L（x）=-x2+40x-250=-（x-60）2+950， ∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元； ②当x≥80时，L（x）=1200-（x+）≤1200-2=1200-200=1000， 当且仅当x=，即x=100时，L（x）取得最大值L（100）=1000万元． 综合①②，由于950＜1000， ∴年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大． ‎ ‎【解析】（1）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，投入成本为C（x）=x2+10x（万元），根据年利润=销售收入-成本，列出函数关系式，当x≥80时，投入成本为C（x）=51x+-1450，根据年利润=销售收入-成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案； （2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案． 本题考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及运用基本不等式求最值的能力． 21.【答案】解：（1）由不等式f（x）＞0的解集为（-3，1）可得：方程ax2+（b-2）x+3=0的两根为-3，1且a＜0 由根与系数的关系可得：解得：． （2）当b=-a，不等式f（x）≤1即ax2-（a+2）x+2≤0，（a≠0）． 即（ax-2）（x-1）≤0，（a≠0）． ①a＜0时，不等式可化为，，所以． ②a＞0时，原不等式可化为． ∴当0＜a＜2时，，所以． 当a=2时，原不等式可化为（x-1）2≤0，所以x=1． 当a＞2时，，所以． 综上：当a＜0时，原不等式的解集为． 当0＜a＜2时，原不等式的解集为． 当a=2时，原不等式的解集为{x|x=1}． 当a＞2时，原不等式的解集为． ‎ ‎【解析】（1）一元二次不等式解集为（-3，1），则-3，1即为方程ax2+（b-2）x+3=0的两实根，由根与系数的关系可得a，b的值． （2）当b=-a，不等式f（x）≤1即ax2-（a+2）x+2≤0，（a≠0）．即（ax-2）（x-1）≤0，（a≠0）．先看二次项系数，分a＜0，a＞0两种情况； 当a＞0时，再比较两个根为1和的大小关系，分别求出解集即可． 本题考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系，含参数的一元二次不等式的解法，注意数形结合和分类讨论的思想方法的运用，属于中档题． 22.【答案】解：（1）Sn=n2-2n+1， 当n=1时，a1=S1=0； 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-2n+1-（n-1）2-2（n-1）-1=2n-3， 则an=； （2）假设存在实数μ，使得数列{3n•bn+μ}‎ 是等比数列， 数列{bn}中，b1=，对任意正整数． 可得b1=，且3•3n-1•bn-1+3n•bn=1， 由假设可得3n•bn+μ=-3（3n-1•bn-1+μ）， 则-4μ=1，可得μ=-， 可得存在实数μ=-，使得数列{3n•bn+μ}是公比q=-3的等比数列； （3）由（2）可得3n•bn-=（3b1-）•（-3）n-1=•（-3）n-1， 则bn=•（）n+•（-1）n-1， 则前n项和Tn=[++…+•（）n]+（-+…+•（-1）n-1]， 当n为偶数时，Tn=+0=（1-）； 当n为奇数时，Tn=+=（1-）+=-， 则Tn=． ‎ ‎【解析】（1）由数列的递推式：当n=1时，a1=S1；当n≥2时，an=Sn-Sn-1，计算可得所求通项公式； （2）假设存在实数μ，使得数列{3n•bn+μ}是等比数列，求得b1，再由任意正整数，构造等比数列{3n•bn+μ}，解方程可得μ，即可判断存在性； （3）由等比数列的通项公式可得bn=•（）n+•（-1）n-1，再由数列的分组求和，结合等比数列的求和公式，讨论n为奇数或偶数，即可得到所求和． 本题考查数列的递推式的运用：求通项公式，考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查分类讨论思想和构造数列法，考查化简运算能力，属于中档题． ‎