【数学】2019届一轮复习人教B版第3章导数及其应用第1节学案 13页

第 1 节 导数的概念及运算 最新考纲 1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义； 3.能根据导数的定义求函数 y＝c(c 为常数)，y＝x，y＝1 x，y＝x2，y＝x3，y＝ x的 导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导 数，能求简单复合函数(仅限于形如 y＝f(ax＋b)的复合函数)的导数. 知 识 梳 理 1.函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 (1)定义：函数 y＝f(x)在点 x0 的瞬时变化率 f（x0＋Δx）－f（x0） Δx ＝l，通常 称为 f(x)在点 x0 处的导数，并记作 f′(x0)，即 f（x0＋Δx）－f（x0） Δx ＝f′(x0)． (2)几何意义：函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0， f(x0))的切线的斜率等于 f′(x0)． 2.函数 y＝f(x)的导函数 如果 f(x)在开区间(a，b)内每一点 x 导数都存在，则称 f(x)在区间(a，b)可导．这 样，对开区间(a，b)内每个值 x，都对应一个确定的导数 f′(x)．于是，在区间(a， b)内，f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数 y＝f(x)的导函数，记为 f′(x)(或 yx′、y′)． 3.基本初等函数的导数公式 y＝f(x) y′＝f′(x) y＝c y′＝0 y＝xn(n∈N＋) y′＝nxn－1，n 为正整 数 y＝xμ (x>0，μ≠0 且 μ∈Q) y′＝μxμ－1，μ 为有理 数 y＝ax (a>0，a≠1) y′＝axln a y＝ex y′＝ex 0 lim x∆ → 0 lim x∆ → y＝logax(a>0，a≠1，x>0) y′＝ 1 xln a y＝ln x y′＝1 x y＝sin x y′＝cos x y＝cos x y′＝－sin x 4.导数的运算法则 若 f′(x)，g′(x)存在，则有： (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)[f（x） g（x）]′＝f′（x）g（x）－f（x）g′（x） [g（x）]2 (g(x)≠0). 5.复合函数的导数 复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 y x′＝yu ′·ux′. [常用结论与微点提醒] 1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函 数. 2.求导常见易错点：①公式(x n)′＝nx n－1 与(ax)′＝a xln a 相互混淆；②公式中 “ ＋ ”“ － ” 号 记 混 ， 如 出 现 如 下 错 误 ： [f（x） g（x）]′ ＝ f′（x）g（x）＋f（x）g′（x） [g（x）]2 ，(cos x)′＝sin x. 3.f′(x0)代表函数 f(x)在 x＝x0 处的导数值；(f(x0))′是函数值 f(x0)的导数，且(f(x0))′ ＝0. 4.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只 有一个公共点. 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同.( ) (2)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( ) (3)(2x)′＝x·2x－1.( ) (4)若 f(x)＝e2x，则 f′(x)＝e2x.( ) 解析 (1)f′(x0)是函数 f(x)在 x0 处的导数，(f(x0))′是常数 f(x0)的导数即(f(x0))′＝0； (3)(2x)′＝2xln 2； (4)(e2x)′＝2e2x. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 2.函数 y＝xcos x－sin x 的导数为( ) A.xsin x B.－xsin x C.xcos x D.－xcos x 解析 y′＝(xcos x)′－(sin x)′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x. 答案 B 3.(教材习题改编)曲线 y＝sin x x 在 x＝π 2 处的切线方程为( ) A.y＝0 B.y＝ 2 π C.y＝－ 4 π2x＋ 4 π D.y＝ 4 π2x 解析 ∵y′＝xcos x－sin x x2 ，∴y′|x＝ π 2 ＝－ 4 π2， 当 x＝π 2 时，y＝ 2 π， ∴切线方程为 y－ 2 π＝－ 4 π2(x－ π 2 )，即 y＝－ 4 π2x＋ 4 π. 答案 C 4.设 f(x)＝ln(3－2x)＋cos 2x，则 f′(0)＝________. 解析 f′(x)＝－ 2 3－2x －2sin 2x，所以 f′(0)＝－2 3. 答案 －2 3 5.(2017·天津卷)已知 a∈R，设函数 f(x)＝ax－ln x 的图象在点(1，f(1))处的切线 为 l，则 l 在 y 轴上的截距为________. 解析 f(1)＝a，切点为(1，a).f′(x)＝a－1 x，则切线的斜率为 f′(1)＝a－1，切线方程 为：y－a＝(a－1)(x－1)，令 x＝0 得出 y＝1，故 l 在 y 轴上的截距为 1. 答案 1 考点一 导数的运算 【例 1】 求下列函数的导数： (1)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (2)y＝sin x 2(1－2cos2x 4)； (3)y＝cos x ex ； (4)y＝ln 2x－1 2x＋1. 解 (1)进行积的导数计算很烦琐，故先展开再求导.因为 y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3 ＋6x2＋11x＋6， 所以 y′＝3x2＋12x＋11. (2)因为 y＝sin x 2(－cos x 2)＝－1 2sin x， 所以 y′＝(－1 2sin x)′＝－1 2(sin x)′＝－1 2cos x. (3)y′＝(cos x ex )′＝（cos x）′ex－cos x（ex）′ （ex）2 ＝－sin x＋cos x ex . (4)y′＝(ln 2x－1 2x＋1)′＝ 1 2x－1 2x＋1 (2x－1 2x＋1)′＝ 2x＋1 2x－1[（2x－1）′（2x＋1）－（2x－1）（2x＋1）′ （2x＋1）2 ]＝ 4 4x2－1. 规律方法 1.熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导 之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，尽量避免不 必要的商的求导法则，这样可以减少运算量，提高运算速度减少差错. 2.(1)若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导. (2)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元. 【训练 1】 分别求下列函数的导数： (1)y＝exln x；(2)y＝x(x2＋1 x ＋1 x3)； (3)y＝x－sin x 2cos x 2；(4)y＝ln 1＋2x. 解 (1)y′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′＝exln x＋ex·1 x ＝ex(ln x＋1 x). (2)∵y＝x3＋1＋ 1 x2，∴y′＝3x2－ 2 x3. (3)∵y＝x－1 2sin x，∴y′＝1－1 2cos x. (4)∵y＝ln 1＋2x＝1 2ln(1＋2x)， ∴y′＝1 2· 1 1＋2x ·(1＋2x)′＝ 1 1＋2x. 考点二 导数的几何意义(多维探究) 命题角度 1 求切线的方程 【例 2－1】 (1)(2018·湖北百所重点高中联考)已知函数 f(x＋1)＝2x＋1 x＋1 ，则曲线 y ＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为( ) A.1 B.－1 C.2 D.－2 (2)(2016·全国Ⅲ卷)已知 f(x)为偶函数，当 x≤0 时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线 y＝f(x) 在点(1，2)处的切线方程是________. 解析 (1)由 f(x＋1)＝2x＋1 x＋1 ，知 f(x)＝2x－1 x ＝2－1 x. ∴f′(x)＝1 x2，且 f′(1)＝1. 由导数的几何意义，所求切线的斜率 k＝1. (2)设 x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x. 又 f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x， 所以当 x>0 时，f(x)＝ex－1＋x. 因此，当 x>0 时，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝e0＋1＝2. 则曲线 y＝f(x)在点(1，2)处的切线的斜率为 f′(1)＝2，所以切线方程为 y－2＝2(x －1)，即 2x－y＝0. 答案 (1)A (2)2x－y＝0 命题角度 2 求参数的值 【例 2－2】 (1)已知直线 y＝x＋1 与曲线 y＝ln(x＋a)相切，则 a 的值为( ) A.1 B.2 C.－1 D.－2 (2)(2018·沈阳调研)设曲线 y＝ 2－cos x sin x 在点(π 2 ，2)处的切线与直线 x＋ay＋1 ＝0 垂直，则 a＝____________. 解析 (1)设切点为(x0，y0)，y′＝ 1 x＋a ，所以有{y0＝x0＋1， 1 x0＋a ＝1， y0＝ln（x0＋a）， 解得{x0＝－1， y0＝0， a＝2. (2)y′＝（2－cos x）′sin x－（2－cos x）（sin x）′ sin2x ＝1－2cos x sin2x ， 则曲线 y＝2－cos x sin x 在点(π 2 ，2)处的切线的斜率为 k1＝1. 因为直线 x＋ay＋1＝0 的斜率 k2＝－1 a， 又该切线与直线 x＋ay＋1＝0 垂直， 所以 k1k2＝－1，解得 a＝1. 答案 (1)B (2)1 命题角度 3 求切点坐标 【例 2－3】 (1)(2017·郑州月考)已知曲线 y＝ x2 4 －3ln x 的一条切线的斜率为1 2 ， 则切点的横坐标为( ) A.3 B.2 C.1 D. 1 2 (2)设曲线 y＝ex 在点(0，1)处的切线与曲线 y＝1 x(x>0)上点 P 处的切线垂直，则 P 的坐标为________. 解析 (1)设切点的横坐标为 x0(x0>0)， ∵曲线 y＝x2 4 －3ln x 的一条切线的斜率为1 2 ， ∴y′＝x 2－3 x，即x0 2 － 3 x0＝1 2， 解得 x0＝3 或 x0＝－2(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为 3. (2)∵函数 y＝ex 的导函数为 y′＝ex， ∴曲线 y＝ex 在点(0，1)处的切线的斜率 k1＝e0＝1. 设 P(x0，y0)(x0>0)，∵函数 y＝1 x 的导函数为 y′＝－ 1 x2，∴曲线 y＝1 x(x>0)在点 P 处 的切线的斜率 k2＝－1 x， 由题意知 k1k2＝－1，即 1·(－1 x )＝－1，解得 x20＝1，又 x0>0，∴x0＝1. 又∵点 P 在曲线 y＝1 x(x>0)上，∴y0＝1，故点 P 的坐标为(1，1). 答案 (1)A (2)(1，1) 规律方法 1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线， 曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线方程是 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的 切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解. 2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数 的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在 曲线上. 【训练 2】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)曲线 y＝x 2 ＋1 x在点(1，2)处的切线方程为 ________. (2)(2018·开封模拟)函数 f(x)＝ln x＋ax 的图象存在与直线 2x－y＝0 平行的切线， 则实数 a 的取值范围是( ) A.(－∞，2] B.(－∞，2) C.(2，＋∞) D.(0，＋∞) 解析 (1)设 y＝f(x)，则 f′(x)＝2x－ 1 x2， 所以 f′(1)＝2－1＝1， 所以在(1，2)处的切线方程为 y－2＝1×(x－1)， 即 y＝x＋1. (2)函数 f(x)＝ln x＋ax 的图象存在与直线 2x－y＝0 平行的切线，即 f′(x)＝2 在(0，＋ ∞)上有解. ∴f′(x)＝1 x＋a＝2 在(0，＋∞)上有解，则 a＝2－1 x. 因为 x＞0，所以 2－1 x ＜2，所以 a 的取值范围是(－∞，2). 答案 (1)y＝x＋1 (2)B 基础巩固题组 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1.(2018·山西名校联考)若函数 f(x)的导函数的图象关于 y 轴对称，则 f(x)的解析式 可能为( ) A.f(x)＝3cos x B.f(x)＝x3＋x2 C.f(x)＝1＋sin 2x D.f(x)＝ex＋x 解析 A 选项中，f′(x)＝－3sin x，其图象不关于 y 轴对称，排除 A 选项；B 选 项中，f′(x)＝3x2＋2x，其图象的对称轴为 x＝－1 3，排除 B 选项；C 选项中， f′(x)＝2cos 2x，其图象关于 y 轴对称；D 选项中，f′(x)＝ex＋1，其图象不关于 y 轴对称. 答案 C 2.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x)，且满足 f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则 f′(1)等于( ) A.－e B.－1 C.1 D.e 解析 由 f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得 f′(x)＝2f′(1)＋1 x ， ∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则 f′(1)＝－1. 答案 B 3.(2018·广西五市联考)已知 e 为自然对数的底数，曲线 y＝aex＋x 在点(1，ae＋1) 处的切线与直线 2ex－y－1＝0 平行，则实数 a＝( ) A. e－1 e B. 2e－1 e C. e－1 2e D. 2e－1 2e 解析 ∵y′＝aex＋1，∴切线的斜率为 y′|x＝1＝ae＋1，又切线与直线 2ex－y－1＝0 平行，∴ae＋1＝2e，解得 a＝2e－1 e . 答案 B 4.已知 f(x)＝ln x，g(x)＝1 2x2＋mx＋7 2(m<0)，直线 l 与函数 f(x)，g(x)的图象都相切， 且与 f(x)图象的切点为(1，f(1))，则 m 的值为( ) A.－1 B.－3 C.－4 D.－2 解析 ∵f′(x)＝1 x， ∴直线 l 的斜率为 k＝f′(1)＝1. 又 f(1)＝0， ∴直线 l 的方程为 y＝x－1， g′(x)＝x＋m，设直线 l 与 g(x)的图象的切点为(x0，y0)， 则有 x0＋m＝1，y0＝x0－1， 又因为 y0＝1 2x20＋mx0＋7 2(m<0). 解得 m＝－2. 答案 D 5. (2018·四川名校一模)已知函数 f(x)的图象如图，f′(x)是 f(x)的 导函数，则下列数值排序正确的是( ) A.00).若曲线 y＝f(x)与曲线 y＝g(x)在 x ＝1 处的切线斜率相同，求 a 的值，并判断两条切线是否为同一条直线. 解 根据题意有 f′(x)＝1＋ 2 x2，g′(x)＝－a x. 曲线 y＝f(x)在 x＝1 处的切线斜率为 f′(1)＝3， 曲线 y＝g(x)在 x＝1 处的切线斜率为 g′(1)＝－a， 所以 f′(1)＝g′(1)，即 a＝－3. 曲线 y＝f(x)在 x＝1 处的切线方程为 y－f(1)＝3(x－1). 所以 y＋1＝3(x－1)，即切线方程为 3x－y－4＝0. 曲线 y＝g(x)在 x＝1 处的切线方程为 y－g(1)＝3(x－1)， 所以 y＋6＝3(x－1)，即切线方程为 3x－y－9＝0， 所以，两条切线不是同一条直线. 能力提升题组 (建议用时：20 分钟) 11.若存在过点(1，0)的直线与曲线 y＝x 3 和 y＝ax2＋15 4 x－9(a≠0)都相切，则 a 的值为( ) A.－1 或－25 64 B.－1 或21 4 C.－7 4或－25 64 D.－7 4 或 7 解析 由 y＝x3 得 y′＝3x2，设曲线 y＝x3 上任意一点(x0，x30)处的切线方程为 y－x30 ＝3x20(x－x0)，将(1，0)代入得 x0＝0 或 x0＝3 2. ①当 x0＝0 时，切线方程为 y＝0，由{y＝0， y＝ax2＋15 4 x－9得 ax2＋15 4 x－9＝0， Δ＝(15 4 ) 2 ＋4·a·9＝0 得 a＝－ 25 64. ②当 x0＝3 2时，切线方程为 y＝27 4 x－27 4 ， 由{y＝27 4 x－27 4 ， y＝ax2＋15 4 x－9 得 ax2－3x－9 4 ＝0， Δ＝32＋4·a· 9 4＝0 得 a＝－1. 综上①②知，a＝－1 或 a＝－25 64. 答案 A 12.(一题多解)(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线 y＝x＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线 y ＝ax2＋(a＋2)x＋1 相切，则 a＝________. 解析 法一 ∵y＝x＋ln x，∴y′＝1＋1 x，y′|x＝1＝2. ∴曲线 y＝x＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为 y－1＝2(x－1)，即 y＝2x－1. ∵y＝2x－1 与曲线 y＝ax2＋(a＋2)x＋1 相切， ∴a≠0(当 a＝0 时曲线变为 y＝2x＋1 与已知直线平行). 由{y＝2x－1， y＝ax2＋（a＋2）x＋1消去 y，得 ax2＋ax＋2＝0. 由 Δ＝a2－8a＝0，解得 a＝8. 法二 同法一得切线方程为 y＝2x－1. 设 y＝2x－1 与曲线 y＝ax2＋(a＋2)x＋1 相切于点(x0，ax20＋(a＋2)x0＋1). ∵y′＝2ax＋(a＋2)，∴y′|x＝x0＝2ax0＋(a＋2). 由{2ax0＋（a＋2）＝2， ax＋（a＋2）x0＋1＝2x0－1，解得{x0＝－1 2， a＝8. 答案 8 13.(2018·新乡调研)已知函数 f(x)＝ex－x2＋2ax. (1)若 a＝1，求曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若 f(x)在 R 上单调递增，求实数 a 的取值范围. 解 (1)∵f′(x)＝ex－2x＋2，∴f′(1)＝e， 又 f(1)＝e＋1， ∴所求切线方程为 y－(e＋1)＝e(x－1)， 即 ex－y＋1＝0. (2)f′(x)＝ex－2x＋2a， ∵f(x)在 R 上单调递增，∴f′(x)≥0 在 R 上恒成立， ∴a≥x－ex 2 在 R 上恒成立，令 g(x)＝x－ex 2 ， 则 g′(x)＝1－ex 2，令 g′(x)＝0，则 x＝ln 2， 在(－∞，ln 2)上，g′(x)>0； 在(ln 2，＋∞)上，g′(x)<0， ∴g(x)在(－∞，ln 2)上单调递增，在(ln 2，＋∞)上单调递减， ∴g(x)max＝g(ln 2)＝ln 2－1，∴a≥ln 2－1， ∴实数 a 的取值范围为[ln 2－1，＋∞).