湖南省郴州市2021届高三上学期第二次质检数学试题 Word版含答案 12页

郴州市 2021 届高三上学期第二次质检 数学 （试题卷） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条 形码上的姓名、准考证号和科目。 2.学生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在本试题卷上作答无效。考生在答题卡 上按答题卡中注意事项的要求答题。 3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 4.本试题卷共 5 页。如缺页，考生须声明，否则后果自负。 绝密★启用前 郴州市 2021 届高三第二次教学质量监测试卷 数学 （命题人：资兴市立中学 黄永行 嘉禾一中 邝玉忠 桂东一中 李毓灵 审题人：郴州一中 欧巧玲 郴 州三中 李兰兵 郴州市教科院 汪昌华） 一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.设集合  2| 2 3 0A x x x    ， { | 2 3}B x x    ，则 A B  （ ） A.  1,3 B.  1,3 C.  1,2 D. 2,3 2.若复数 Z满足 (1 ) 2Z i i  ，则下列说法正确的是（ ） A. Z的虚部为 i B. Z的共轭复数为 1Z i   C. Z对应的点在第二象限 D. 2Z  3.已知 a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且 a  ，b  ，则“ //a b”是“ //  ”的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深 奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源.河图的排列结构如图 1所示，一与六共 宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈数为阳数，黑 点数为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值大于 5的概率为（ ） A. 4 25 B. 7 25 C. 8 25 D. 2 5 5.已知单位向量 a，满足等式 2 | | | |a b  ， | 2 | 13a b   ，则 a与b  的夹角为（ ） A.120° B.90° C.60° D.30° 6.随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益. 假设在放射性同位素钍 234 的衰变过程中，其含量 N（单位：贝克）与时间 t（单位：天）满足函数关系 24 0( ) 2 t N t N   ，其中 0N 为 0t  时钍 234的含量.已知 24t  时，钍 234含量的瞬时变化率为 8ln 2 ，则 (96)N （ ） A.12贝克 B.12ln 2贝克 C.24贝克 D. 24ln 2贝克 7.如图 2，设椭圆 1C ： 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a b  ）与双曲线 2C ： 2 2 2 2 1x y m n   （ 0m  ， 0n  ）的公共焦 点为 1F ， 2F ，将 1C ， 2C 的离心率分别记为 1e ， 2e ，点 A是 1C ， 2C 在第一象限的公共点，若点 A关于 2C 的一条渐近线的对称点为 1F ，则 2 2 1 2 2 2 e e  （ ） A.2 B. 5 2 C. 7 2 D.4 8.已知可导函数 ( )f x 的导函数为 ( )f x ，若对任意的 xR ，都有 ( ) ( ) 2f x f x   ，且 ( ) 2021f x  为奇 函数，则不等式 ( ) 2019 2xf x e  的解集为（ ） A. (0, ) B. ( ,0) C. ( , )e D. 1 , e      二、多选题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得 5分，有选错的得 0分，部分选对的得 3分。 9.2020年初，突如其来的疫情改变了人们的消费方式，在目前疫情防控常态化背景下，某大型超市为了解 人们以后消费方式的变化情况，更好的提高服务质量，收集并整理了本超市 2020年 1月份到 8月份的线上 收入和线下收入的数据，并绘制如下的折线图 3.根据折线图，下列结论正确的是（ ） A.根据该超市这 8个月折线图可知，线下收入的平均值在  7,8 内 B.根据该超市这 8个月折线图可知，线上收入的极差比线下收入的极差大 C.根据该超市这 8个月折线图可知，每月总收入与时间呈现负相关 D.根据该超市这 8个月折线图可知，在疫情逐步得到有效控制后，人们比较愿意线下消费 10.已知函数 ( ) sin( )f x x   （ 0  ，| | 2   ）的最小正周期为 2 .把函数 ( )f x 的图象向左平移 2 3  个单位长度得到的图象对应的函数为偶函数，则（ ） A. 6   B. ,0 6       是 ( )f x 的图象的对称中心 C. ( )f x 在 0, 2      上单调递增 D. ( )f x 在 0, 上的值域为 1 ,1 2     11.已知抛物线 C： 2 4y x 的焦点为 F，  1 1,P x y ，  2 2,Q x y 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ） A. C的准线方程： 1x   B.若直线 PQ过点 F，则 1 2 4x x  C.若 5| | | | 2 PF QF  ，则线段 PQ的中点 M到 y轴的距离为 1 4 D.若 PF QF  ，则 2OPQS △ 12.已知5 3a  ，8 5b  ，则（ ） A. a b B. 1 1 2 a b   C. 1 1a b a b    D. b aa a b b   三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，第 15题第一问 2分，第 2问 3分，共 20分。 13. tan 765  __________. 14.已知圆 O的半径为 5， 4OP  ，过点 P的 2021条弦的长度组成一个等差数列 na ，最短弦长为 1a ，最 长弦长为 2021a ，则公差 d  __________. 15.定义：在等式中  2 0 2 1 2 1 2 2 2 2 1 22 n n n n n n n n n n nx x D x D x D x D x D          （ *n N ）中，把 0 nD ， 1 nD ， 2 nD ，… 2n nD 叫做三项式  2 2 n x x  的 n次系数列（如三项式的 1次系数列是 1，-1，-2）.则（1） 三项式  2 2 n x x  的 2次系数列各项之和等于__________；（2） 9 5D __________. 16.如图 4，已知球 O是直三棱柱 1 1 1ABC ABC 的外接球， 1 6AC BC CC   ， AC BC ，E，F分别 为 1BB ， 1 1AC 的中点，过点 A，E，F作三棱柱的截面α，若α交 1 1BC 于 M，过点 M作球 O的截面，则所得 截面圆面积的最小值是__________. 四、解答题：本大题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分 10分） 设 na 为等差数列， nb 是正项等比数列，且 1 1 2a b  ， 3 22a b .在① 5 3 112b b b  ，② 5 42a b  ， ③ 2 2 1log log 1n nb b   ， 2n  ， *n N 这三个条件中任选一个，求解下列问题： （Ⅰ）写出你选择的条件并求数列 na 和 nb 的通项公式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若 n n nc a b  （ *n N ），求数列 nc 的前 n项和 nS . 18.（本小题满分 12分） 如图 5，在平面四边形 ABCD中， AB AD ， 1AB  ， 3AD  ， 2BC  . （I）若 2 2CD  ，求四边形 ABCD的面积； （Ⅱ）若 7cos 5 BCD  ， 0, 2 ADC       ，求 sin ADC . 19.（本小题满分 12分） 如图 6，在直四棱柱 1 1 1 1ABCD ABC D 中，四边形 ABCD为平行四边形，M为 1AA 的中点， 1BC BD  ， 1 2AB AA  . （Ⅰ）求证：平面 BMD 平面 BDC； （Ⅱ）求二面角 1 1D MC C  的正弦值. 20.（本小题满分 12分） 已知椭圆 C： 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a b  ）的离心率为 3 3 ，直线 5 0x y   与椭圆 C有且只有一个公共 点. （Ⅰ）求椭圆 C的标准方程 （Ⅱ）设点 ( 3,0)A  ， ( 3,0)B ，P为椭圆 C上一点，且直线 PA与 PB的斜率乘积为 2 3  ，点 M，N是 椭圆 C上不同于 A，B的两点，且满足 //AP OM ， //BP ON，求证： OMN△ 的面积为定值. 21.（本小题满分 12分） 已知函数 ( ) 1 lnxf x ae x  （Ⅰ）当 1a  ，讨论函数 ( )f x 的单调性； （Ⅱ）若不等式  ( ) x af x e x x  （ 0a  ），对 (1, )x  恒成立，求实数 a的取值范围. 22.（本小题满分 12分） 垃圾分类，是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运，从而转变成公共资源的一系列 活动的总称.分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用.垃圾分类后，大部分运往垃圾处 理厂进行处理.为了监测垃圾处理过程中对环境造成的影响，某大型垃圾处理厂为此建立了 5套环境监测系 统，并制定如下方案：每年工厂的环境监测费用预算定为 80万元，日常全天候开启 3套环境监测系统，若 至少有 2套系统监测出排放超标，则立即检查污染处理系统；若有且只有 1套系统监测出排放超标，则立 即同时启动另外 2 套系统进行 1 小时的监测，且后启动的这 2 套监测系统中只要有 1套系统监测出排放超 标，也立即检查污染处理系统.设每个时间段（以 1小时为计量单位）被每套系统监测出排放超标的概率均 为 p（0 1p  ），且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立. （Ⅰ）当 1 2 p  时，求某个时间段需要检查污染处理系统的概率； （Ⅱ）若每套环境监测系统运行成本为 20元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环 境监测系统每年的维修和保养费用需要 6万元.现以此方案实施，问该工厂的环境监测费用是否会超过预算 （全年按 9000小时计算）？并说明理由. 郴州市 2021 届高三第二次教学质量监测试卷 数学参考答案及评分细则 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1-5 BCDAC 6-8 CDA 二、多选题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的四个选项中，多项是符合题目要求的。 全部选对得 5分，有选错得 0分，部分选对得 3分。 9.AD 10.BCD 11.ACD 12.ABD 三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，第 16题第一问 2分，第 2问 3分，共 20分。 13.1 14. 1 505 15.（1）4 （2）-80 16.8 四、解答题：本大题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（Ⅰ）选择①：设 na 的公差为 d， nb 的公比为 q（ 0q  ）. 则根据题意有 4 2 2 2 4 2 2 24 d q q q      ，·················································································（2分） 解得 2 3 q d    ·············································································································（4分） 所以， 2 3( 1) 3 1na n n     12 2 2n n nb    ·························································（5分） 选择②：设 na 的公差为 d， nb 的公比为 q（ 0q  ）. 则根据题意有 3 2 2 4 2 4 2 2 d q d q       ，···············································································（2分） 解得 2 3 q d    ·············································································································（4分） 所以 2 3( 1) 3 1na n n     ， 12 2 2n n nb    .·····················································（5分 ） 选择③：由 2 2 1log log 1n nb b   ， 2n  ， *n N 得 2 2 1log log 1n nb b   ∴ 1 2n n b b   ··············································································（2分） ∴ nb 的公比为 2q  又 2 2 4d q  ∴ 3d  ·····························································（4分） 所以 2 3( 1) 3 1na n n     ， 12 2 2n n nb    .···························································（5分） （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 (3 1) 2nnc n   ············································································（6分） 2 32 2 5 2 8 2 (3 1) 2nnS n          ① 2 3 12 2 2 5 2 (3 4)2 (3 1)2n n nS n n          ②···················································· （7分） ①－②得 2 3 12 2 3 2 3 2 3 2 (3 1) 2n n nS n              ············································（8分）  2 3 14 3 2 2 2 (3 1)2n nn        ········································································（9分） ∴ 2 12 2 24 3 (3 1)2 1 2 n n nS n          1(3 4)2 8nn    ···································································································（10分） 18.（Ⅰ）连接 BD，在Rt ABD△ 中 由勾股定理得： 2 2 2 4BD AB AD   ，所以 2BD  ·················································（1分） 在 BCD△ 中，由余弦定理知： 2 2 2 3cos 2 4 BC CD BDC BC CD      ·····································（3分） ∴ 2 7sin 1 cos 4 C C   ··················································································· （4分） 所以 1 7sin 2 2BCDS BC CD C  △ ， 1 3 2 2ABDS AB AD  △ ···································· （5分） 所以 ABCD的面积 3 7 2ABD BCDS S S    △ △ ························································· （6分） （Ⅱ）由 7cos 5 BCD  得 3 2sin 5 BCD  ·····························································（7分） 在 BCD△ 中，由正弦定理知： sin sin BC BD BDC BCD    所以 sin 3sin 5 BC BCDBDC BD      ·········································································（8分） 因为 0, 2 ADC       ，所以 0, 2 BDC       ， 4cos 5 BDC  ····································（9分） 在Rt ABD△ 中， 3tan 3 ABADB AD    ，所以 6 ADB    ······································（10分） 所以 3 3 4 1 4 3 3sin sin 6 5 2 5 2 10 ADC BDC               ··································（12分） 19.（Ⅰ）因为 1BC BD  ， 2CD AB  .可得 2 2 2BC BD CD  ， ∴ BD BC ，又∵ //AD BC，∴ BD AD . 又∵ 1 1 1 1ABCD ABC D 是直四棱柱， ∴ 1DD 平面 ABCD .∴ 1DD BD . 1DD AD D ，∴ BD 平面 1 1ADD A， ∴ BD MD .··········································································································（2分） 法一：取 1BB 中点 N，连接 NC，MN， ∵ //MN DC ，∴四边形MNCD为平行四边形，∴ //MD NC， ∵ 1 2 2 NB BC BC CC   ，∴ 1NBC BCC∽△ △ ，∴ 1 90C BC BCN   ，∴ 1BC CN ， 又∵ //MD NC，∴ 1MD BC .···················································································（4分） 又 1BC BD B ，∴MD 平面 1BDC .······································································（5分） 又MD 平面MBD，所以平面 BMD 平面 1BDC .······················································ （6分） 法二：连接 1 1AC ，可计算得 1 22 2 C M  ， 6 2 MD  ， 1 2C D  ， 所以 2 2 2 1 1MD C D MC  ，由勾股定理的逆定理得： 1MD DC ，余同法一 （Ⅱ）以DA为 x轴，DB为 y轴， 1DD 为 z轴，建立如图所示的坐标系， 则 (0,1,0)B ， 1( 1,1, 2)C  ， 1(0,0, 2)D ， 21,0, 2 M        ∴ 1 22,1, 2 MC          ， 1 (0,0, 2)CC   ， 1 1 ( 1,1,0)DC    ············································ （7分） 设平面 1C CM 的法向量为 ( , , )n x y z ，由 1 1 0 0 CC n MC n           得 2 0 2 3 0 z x y z        可求得一个法向量 (1,2,0)n  ············································································································· （8分） 同理可得平面 1 1DC M 的一个法向量 (1,1, 2)m  ························································· （10分） 设二面角 1 1D MC C  的大小为θ 所以 | | 3 3 5| cos | | cos , | | || | 102 5 m nm n m n              ·····················································（11分） 则 55sin 10   ，即二面角 1M BC D  的正弦值为 55 10 .·············································（12分） 20.解：（Ⅰ）∵直线 5 0x y   与椭圆有且只有一个公共点， ∴直线 5 0x y   与椭圆 C： 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a b  ）相切， ∴ 2 2 2 2 5 0 1 x y x y a b           2 2 2 2 2 2 22 5 5 0b a x a x a a b      ·········································· （3分） ∴ 2 20 5a b     又∵ 3 3 c a  ，∴ 3a  ，∴ 2 2 2 2b a c   ， 椭圆 C的方程为 2 2 1 3 2 x y   .······················································································（5分） （Ⅱ）证明：由题意 M、N是椭圆 C上不同于 A，B的两点， 由题意知，直线 AP， BP斜率存在且不为 0，又由已知 2 3AP BPk k   . 由 //AP OM ， //BP ON，所以 2 3OM ONk k   ······························································ （6分） 设直线MN的方程为 x my t  ， 代入椭圆方程得  2 2 22 3 4 2 6 0m y mty t     ①······················································（7分） 设  1 1,M x y ，  2 2,N x y ， 则 1 2 2 4 2 3 mty y m     ， 2 1 2 2 2 6 2 3 ty y m    ······································································（8分） 又   2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 6 2 3 6 3OM ON y y y y tk k x x m y y mt y y t t m            ···································（9分） 得 2 22 2 3t m  ·····································································································（10分） 所以 2 2 1 2 2 2 1 1 48 24 72 1 2 6 | | 6| | | | | | 2 2 2 3 2 2 2MON m t tS t y y t t m t        △ 即 MON△ 的面积为定值 6 2 ·················································································（12分） 21.解：（Ⅰ） ( )f x 的定义域为 (0, ) ， 1( ) lnxf x e x x        ，······································ （1分） 令 1( ) lng x x x   ，则 2 2 1 1 1( ) xg x x x x      ，·····························································（2分） 当 (0,1)x 时， ( ) 0g x  ， ( )g x 单调递减， 当 (1, )x  时， ( ) 0g x  ， ( )g x 单调递增，····························································· （3分） ∴ 1x  时， ( )g x 取得极小值即最小值 (1) 1g  ， ∴ ( ) 0f x  在 (0, ) 恒成立，·················································································· （4分） ∴ ( )f x 在 (0, ) 单调递增；·····················································································（5分） （Ⅱ）不等式  ( ) x af x e x x  等价于 ln ln lnx a x x a ae x x a x e e x x         ，······（6分） 设 ( ) lnk t t t  ，即    x ak e k x  （*） ∵ 1 1( ) 1 tk t t t     ·································································································（7分） ∴当 (0,1)t ， ( ) 0k t  ， ( )k t 在 (0,1)是减函数 (1, )t  ， ( ) 0k t  ， ( )k t 在 (1, ) 是增函数 ·························································（8分） ∵ (1, )x  ， 10 1xe e    ·············································································· （9分） 当 0a  时， 0 1ax  ，且 ( )k t 在 (0,1)是减函数 则（*）式 ln x a xe x a x     令 ( ) ln xh x x  （ 1x  ），则 2 ln 1( ) (ln ) xh x x    ，······························································（10分） 当 (1, )x e 时， ( ) 0h x  ， ( )h x 单调递减， 当 ( , )x e  时， ( ) 0h x  ， ( )h x 单调递增，····························································（11分） min( ) ( )h x h e e a e     ∴ a e  又 0a  ∴ 0e a   ·································（12分） 22.（Ⅰ）设某个时间段在需要开启 3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的事件为 A 2 3 3 3 2 2 3 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1( ) (1 ) 2 2 2 2 2 2 P A C p p C p C C C C                               ，···············（2分） 设某个时间段在需要开启另外 2套系统才能确定需要检查污染源处理系统的事件为 B 3 2 1 2 2 1 3 3 1 1 9( ) (1 ) 1 (1 ) 1 2 2 32 P B C p p p C                        ···········································（5分） ∴某个时间段需要检查污染源处理系统的概率为 1 9 25 2 32 32   ··········································· （6分） （Ⅱ）设某个时间段环境监测系统的运行费用为 X元，则 X的可能取值为 60，100.···············（7分） 1 2 3( 100) (1 )P X C p p   1 2 3( 60) 1 (1 )P X C p p    ···············································（8分） 1 2 1 2 2 3 3( ) 60 1 (1 ) 100 (1 ) 60 120 (1 )E X C p p C p p p p           令 2( ) (1 )g p p p  ， (0,1)p ，则 2( ) (1 ) 2 (1 ) (3 1)( 1)g p p p p p p        .··············（9分） 当 10, 3 p      时， ( ) 0g p  ， ( )g p 在 10, 3       上单调递增， 当 1 ,1 3 p      时， ( ) 0g p  ， ( )g p 在 1 ,1 3       上单调递减，············································（10分） ∴ ( )g p 的最大值为 1 4 3 27 g       ，·············································································（11分） ∴实施此方案，最高费用为 446 9000 60 120 10 76 27          （万元）， ∵76 80 ，故不会超过预算.····················································································（12分）