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- 2021-06-10 发布
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2013届高考一轮复习 数学归纳法
一、选择题
1、已知…则f(k+1)等于( )
A.
B.
C.
D.
2、已知…则… ( )
A.f(n)中共有n项,当n=2时
B.f(n)中共有n+1项,当n=2时
C.f(n)中共有项,当n=2时
D.f(n)中共有项,当n=2时,f(2)=
3、某个与正整数n有关的命题,如果当N1)时,该命题成立,则一定可推得当n=k+1时,该命题也成立,现已知n=5时,该命题不成立,则有 ( )
A.当n=4时,该命题成立
B.当n=6时,该命题成立
C.当n=4时,该命题不成立
D.当n=6时,该命题不成立
4、用数学归纳法证明等式……从k到k+1左端需增乘的代数式为( )
A.2k+1 B.2(2k+1)
C. D.
5、设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(k)满足:当“成立时,总可推出
成立”.那么下列命题总成立的是( )
A.若成立,则当均有成立
B.若成立,则当k<5,均有成立
C.若f(7)<49成立,则当均有成立
D.若f(4)=25成立,则当均有成立
6、设n棱柱有f(n)个对角面,则n+1棱柱的对角面的个数f(n+1)等于( )
A.f(n)+n+1 B.f(n)+n
C.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2
7、对于不等式N某同学的证明过程如下:
(1)当n=1时不等式成立.
(2)假设当N时,不等式成立,
即
则当n=k+1时
∴当n=k+1时,不等式成立.
则上述证法( )
A.过程全部正确
B.n=1验得不正确
C.归纳假设不正确
D.从n=k到n=k+1的推理不正确
8、用数学归纳法证明“…N”时,由n=k(k>1)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是( )
A. B.
C. D.
9、已知…b)+c对一切N都成立,则a、b、c的值为( )
A.
B.
C.a
D.不存在这样的a、b、c
二、填空题
10、用数学归纳法证明等式:…N验证n=1时,等式左边= .
11、若…则f(k+1)与f(k)的递推关系式是 .
12、设平面内有n条直线其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)= ;当n>4时,f(n)= (用n表示).
13、如图,这是一个正六边形的序列:
则第n个图形的边数为 .
三、解答题
14、 是否存在常数a,b,c使得等式…+n(n+对于一切正整数n都成立?并证明你的结论.
15、已知数列{}满足N.
(1)计算的值;
(2)由(1)的结果猜想{}的通项公式,并证明你的结论.
16、已知数列{}满足:.求证:
;
对一切N都成立;
(3)数列{}为递增数列.
以下是答案
一、选择题
1、 C
解析:…
…
…
…
.
2、D
解析:项数为.
3、C
解析:因为当N时,该命题成立,则一定可推得当n=k+1时,该命题也成立,所以当n=5时,该命题不成立,则一定有n=4时,该命题不成立.
4、 B
解析:当n=1时,显然成立.
当n=k时,左边…
当n=k+1时,左边=(k+…k+1+k+1)
=(k+2…1+k)(k+1+k+1)
=(k+1…
=(k+1….
5、D
解析:由题意设f(x)满足:“当成立时,总可推出成立.”,
因此,对于A,不一定有k=1,2时成立.
对于B、C显然错误.
对于D,∵f因此对于任意的有成立.
6、C
解析:当n棱柱增加一条侧棱时,该棱与其他n条棱构成n-2个对角面,但同时原先的一个侧面也变成了对角面,故共增加了n-1个对角面.
7、D
解析:用数学归纳法证题的关键在于合理运用归纳假设.
8、C
解析:增加的项数为.
9、A
解析:∵等式对一切N均成立,
∴n=1,2,3时等式成立,
即
整理得
解得.
二、填空题
10、
解析:当n=1时,左边最后一项应该是故此时左边是.
11、f(k+1)=
解析:∵…
∴f…
∴f(k+1)=.
12、5 2)
解析:f(3)=2,f(4)=5,f(5)=9,
每增加一条直线,交点增加的个数等于原来直线的条数.
∴f(4)-f(3)=3,
f(5)-f(4)=4,
…
f(n)-f(n-1)=n-1.
累加得
f(n)-f(3)=3+4+…+(n-1)
.
∴2).
13、5n+1
解析:图(1)共6条边,图(2)共11条边,图(3)共16条边,…,其边数构成等差数列,
则图(n)的边数为6.
三、解答题
14、 证明:假设存在符合题意的常数a,b,c,
在等式…中,
令n=1,得; ①
令n=2,得; ②
令n=3,得70=9a+3b+c; ③
由①②③解得a=3,b=11,c=10,
于是,对于n=1,2,3都有
…11n+10)(*)成立.
下面用数学归纳法证明:对于一切正整数n,(*)式都成立.
(1)当n=1时,由上述过程知,(*)成立.
(2)假设时,(*)成立,
即…成立,
那么当n=k+1时,
…
1
10],
由此可知,当n=k+1时,(*)式也成立.
综上所述,当a=3,b=11,c=10时题设的等式对于一切正整数n都成立.
15、解:(1)由
当n=1时
n=2时
n=3时.
(2)由(1)猜想N.
证明如下:
①当n=1时成立.
②假设N时成立,
那么n=k+1时,有
即n=k+1时也成立.
所以由①②可知N.
16、 证明:已知条件可化为
即.
(1)①当n=1时有成立;
②假设当N时结论成立,即
那么当n=k+1时.
∵
又在内为增函数,
∴
∴则
∴当n=k+1时结论成立.
由①②知,对一切N均有.
(2)①当n=1时成立;
②假设当且N时结论成立,即
∴
∴
∴
即.
同上法可得
∴当n=k+1时结论成立.
由①②知对一切N均有成立.
则
两式相减得
.
若把上式中的n换成2n-1,
则
∴数列{}为递增数列.