数学理卷·2017届北京市朝阳区高三第一次（3月）模拟考试（2017 11页

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 ‎ 数学学科测试（理工类） 2017.3‎ ‎（考试时间120分钟 满分150分）‎ 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.‎ ‎（1）已知集合，，则 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ 开始 输入m,n 是 结束 输出a 否 a能被n整除？‎ ‎（2）若满足 则的最大值为 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（3）执行如图所示的程序框图，若输入，，则输出 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（4）给出如下命题： ‎ ‎①若“p∧q”为假命题，则p, q均为假命题；‎ ‎②在△ABC中，“”是“”的充要条件；‎ ‎③的展开式中二项式系数最大的项是第五项.‎ ‎ 其中正确的是 ‎（A）①② （B）②③ （C）①③ （D）①②③‎ ‎（5）设抛物线的焦点为F，准线为，P为抛物线上一点，，A为垂足.若直线AF的斜率为，则 ‎ （A） （B） （C） （D）16 ‎ ‎（6）已知函数若,,,是互不相同的正数，且 ‎，则的取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的底面的面积是 侧视图 ‎0.5‎ 俯视图 ‎1‎ 正视图 ‎1‎ ‎0.5‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（8）现有10支队伍参加篮球比赛，规定：比赛采取单循环比赛制，即每支队伍与其他9支队伍各比赛一场；每场比赛中，胜方得2分，负方得0分，平局双方各得1分．下面关于这10支队伍得分的叙述正确的是 ‎（A）可能有两支队伍得分都是18分 （B）各支队伍得分总和为180分 ‎（C）各支队伍中最高得分不少于10分 （D）得偶数分的队伍必有偶数个 ‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎（9）复数在复平面内对应的点的坐标是____.‎ ‎（10）在△中，，，，则____. ‎ ‎（11）已知为等差数列，为其前项和．若，，则数列的公差 ，通项公式 ．‎ ‎ (12) 在极坐标系中，直线C1的极坐标方程为．若以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，则直线C1的直角坐标方程为_____；曲线C2的方程为（为参数），则C2被 C1截得的弦长为___. ‎ A B1‎ P1‎ B2‎ B3‎ C1‎ C3‎ C2‎ P2‎ ‎(13) 如图，，，是三个边长为的等边三角形，且有一条边在同一直线上，边上有个不同的点，则 .‎ ‎（14）在平面直角坐标系中，动点到两坐标轴的距离之和等于它到定点的距离，记点的轨迹为.给出下面四个结论：‎ ①曲线关于原点对称；‎ ②曲线关于直线对称；‎ ③点在曲线上；‎ ④在第一象限内，曲线与轴的非负半轴、轴的非负半轴围成的封闭图形的面积小于. ‎ 其中所有正确结论的序号是 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.‎ ‎（15）（本小题满分13分）‎ 已知函数的最小正周期为.‎ ‎(Ⅰ)求的值；‎ ‎(Ⅱ)求函数的单调递减区间.‎ ‎（16）（本小题满分13分）‎ ‎ 某单位共有员工45人，其中男员工27人，女员工18人．上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核．‎ ‎（Ⅰ）求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少；‎ ‎　 （Ⅱ）考核前，评估小组从抽取的5名员工中，随机选出3人进行访谈．设选出的3人中男员工人数为，求随机变量的分布列和数学期望；‎ ‎　 （Ⅲ）考核分笔试和答辩两项．5名员工的笔试成绩分别为78，85，89，92，96；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为95，88，102，106，99．这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记为，，试比较与的大小．（只需写出结论）‎ ‎（17）（本小题满分14分）‎ P A C D E B ‎ 如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，,， .‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得 ‎ 平面？若存在，求出点 的位置；若不存在，说明理由.‎ ‎(18)（本小题满分13分）‎ 已知函数(),.‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，若函数在区间内存在唯一的极值点，求的值.‎ ‎(19)（本小题满分14分）‎ 已知椭圆，离心率．直线与轴交于点，与椭圆相交于两点．自点分别向直线作垂线，垂足分别为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程及焦点坐标；‎ ‎（Ⅱ）记,,的面积分别为,,，试证明为定值.‎ ‎(20)（本小题满分13分）‎ 对于正整数集合（，），如果去掉其中任意一个元素（）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”.‎ ‎（Ⅰ）判断集合是否是“和谐集”（不必写过程）；‎ ‎（Ⅱ）求证：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数；‎ ‎（Ⅲ）若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值.‎ 北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 ‎ 数学学科测试答案（理工类） 2017.3‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．‎ 题号 ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）‎ ‎（5）‎ ‎（6）‎ ‎（7）‎ ‎（8）‎ 答案 B C C B C A ‎ D D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ 题号 ‎（9）‎ ‎（10）‎ ‎（11）‎ ‎（12）‎ ‎（13）‎ ‎（14）‎ 答案 ‎，‎ ‎，‎ ‎②③④‎ 三、解答题： ‎ ‎（15）（本小题满分13分）‎ 解：因为 ‎， …………5分 ‎(Ⅰ) 又因为函数的最小正周期为，‎ ‎ 所以.‎ 解得. …………7分 ‎(Ⅱ) 令得，‎ ‎ ，‎ ‎ 所以.‎ 所以函数的单调递减区间是. …………13分 ‎（16）（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）抽取的5人中男员工的人数为，‎ 女员工的人数为．…………………………………4分 ‎ ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，抽取的5名员工中，有男员工3人，女员工2人．‎ 所以，随机变量的所有可能取值为．‎ 根据题意，，‎ ‎ ，‎ ‎．‎ 随机变量的分布列是：‎ 数学期望． ………………………………10分 ‎（Ⅲ）． ……………………………………………………………13分 ‎（17）（本小题满分14分）‎ P A B C D E x y z ‎（Ⅰ）证明：由已知平面平面，，‎ ‎ 且平面平面，‎ ‎ 所以平面.‎ ‎ 所以.‎ 又因为，，‎ ‎ 所以.‎ ‎ 所以平面. ‎ ‎ 因为平面， ‎ ‎ 所以平面平面. ……4分 ‎（Ⅱ）作EzAD，以E为原点，以 的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E－xyz，‎ 则点，，，,，.‎ 所以，，.‎ 设平面的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 所以即 令，解得.‎ 设平面的法向量为m＝(a，b，c)，‎ 所以即 令，解得.‎ 所以.‎ 由图可知，二面角的余弦值为. …………………………………10分 ‎（Ⅲ）“线段上存在点，使得平面”等价于“”.‎ ‎ 因为，设，，‎ ‎ 则，.‎ ‎ 由（Ⅱ）知平面的法向量为，‎ 所以.‎ 解得.‎ 所以线段上存在点，即中点，使得平面. ………14分 ‎（18）（本小题满分13分）‎ ‎ 解：（Ⅰ）由已知得，.‎ ‎ （ⅰ）当时，恒成立，则函数在为增函数；‎ ‎（ⅱ）当时，由，得；‎ ‎ 由，得；‎ 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. ……4分 ‎（Ⅱ）因为，‎ ‎ 则.‎ ‎ 由（Ⅰ）可知，函数在上单调递增，在上单调递减.‎ 又因为，，‎ 所以在上有且只有一个零点.‎ 又在上，在上单调递减；‎ 在上，在上单调递增.‎ 所以为极值点，此时.‎ 又，，‎ 所以在上有且只有一个零点.‎ 又在上，在上单调递增；‎ 在上，在上单调递减.‎ 所以为极值点，此时.‎ 综上所述，或. ……………………………………………………13分 ‎（19）（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）由题意可知，又，即.‎ ‎ 解得.即.‎ ‎ 所以.‎ ‎ 所以椭圆的方程为，焦点坐标为. …………………4分 ‎（Ⅱ）由得，显然.‎ 设,则，.‎ 因为 ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ 又因为 ‎.‎ 所以. ………………………………14分 ‎（20）（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）集合不是“和谐集”. …………………………………3分 ‎（Ⅱ）设集合所有元素之和为.‎ 由题可知，（）均为偶数，‎ 因此（）的奇偶性相同.‎ ‎（ⅰ）如果为奇数，则（）也均为奇数，‎ 由于，所以为奇数.‎ ‎（ⅱ）如果为偶数，则（）均为偶数，‎ 此时设，则也是“和谐集”.‎ 重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“和谐集”.‎ 此时各项之和也为奇数，集合中元素个数为奇数.‎ 综上所述，集合中元素个数为奇数. …………………………………8分 ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）可知集合中元素个数为奇数，‎ 当时，显然任意集合不是“和谐集”.‎ 当时，不妨设，‎ 将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，‎ 则有 ①，或者 ②；‎ 将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，‎ 则有 ③，或者 ④.‎ 由①、③，得，矛盾；由①、④，得，矛盾；‎ 由②、③，得，矛盾；由②、④，得，矛盾.‎ 因此当时，集合一定不是“和谐集”.‎ 当时，设，‎ 因为，，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 所以集合是“和谐集”.‎ 集合中元素个数的最小值是7. ……………………………………13分 ‎ ‎