2020年高考数学（文）金榜题名冲刺卷（一）（解析版） 14页

2020 年高考金榜冲刺卷（一） 数学（文） （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容． 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．复数 2 1 i （i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A． i1  B．1 i C．1 i D． i1  【答案】C 【解析】因为 2 1 ii 1  ,所以其共轭复数是1 i ，故选 C. 2．已知集合  |1 10 ,P x N x     2| 6 0 ,Q x R x x     则 P Q 等于（ ） A． 1,2,3 B． 2,3 C． 1,2 D． 2 【答案】D 【解析】    2| 6 0 3,2Q x R x x        2P Q   .故选 D. 3．设 : 0p b a  ， 1 1:q a b  ，则 p 是 q成立的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若 0b a  ，则 1 1 a b  成立，所以 p 是 q的充分条件,若 1 1 a b  ，则当 0 0b a ， 时成立，不满 足 0b a  ，所以 p 不是 q的必要条件,所以 p 是 q的充分不必要条件,故选 A. 4．如图所示的程序框图，运行后输出的结果为（ ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【解析】执行如图程序框图：当 n=1，b=1，当 n=2，b=2，当 n=3，b=4，当 n=4，b=16，当 n=5 则输出 b, 故选 C. 5．设数列 na 前 n 项和为 nS ，已知 3 n nS a n ，则 3 a （ ） A． 9 8 B． 15 8 C．19 8 D． 27 8 【答案】C 【解析】当 2n  时，  1 13 3 ( 1)n n n n na S S a n a n        ， 整理得 12 3 1n na a   ，又 1 1 13 1S a a   ，得 1 1a 2  ， 2 1 32 3 1 12a a     ，得 2 5 4a  ， 3 2 152 3 1 14a a     ，得 3 19 8a  ，故选 C. 6．圆 2 2 4 0x y   与圆 2 2 4 4 12 0x y x y     的公共弦长为( ) A． 2 B． 3 C． 2 2 D．3 2 【答案】C 【解析】两圆的方程相减可得，两圆公共弦所在的直线方程为： - +2 0x y  ，圆 2 2 4 0x y   的圆心到公 共弦的距离为 0-0+2= = 2 2 d ，所以公共弦长为  22=2 2 - 2 =2 2l .故选 C. 7．已知 为第二象限角， 2sin 4 10      ，则 tan 2  的值为（ ） A． 1 2  B． 1 3 C． 2 D． 3 【答案】C 【解析】由题意可得：  2 2sin sin cos cos sin sin cos4 4 4 2 10                ， 则： 1sin cos 5    ，据此有： 2 2 2 2 2 2 2sin cos cos sin 2tan tan 11 12 2 2 2 2 2,5 5sin cos tan 12 2 2                  ， 解得： tan 22   或 1tan 2 3    ， 为第二象限角，则 tan 02   ，综上可得： tan 2  的值为 2.故选 C. 8．已知 1e ， 2e 是夹角为 60 的两个单位向量，若 21 eea  ， 21 24 eeb  ，则 a 与b 的夹角为（ ） A．30 B． 60 C．120 D．150 【答案】C 【解析】试题分析：因为 21 eea  ， 21 24 eeb  ，所以 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2( ) ( 4 2 ) 4 2 2a b e e e e e e e e                    ，而 0 1 2 1 2 1cos60 2e e e e      ，所以 2 2 1 1 2 24 2 2 4 1 2 3a b e e e e                 ，而 2 2 1 2 1 1 2 22 1 1 1 3a e e e e e e                ， 2 2 1 2 1 1 2 24 2 16 16 4 16 8 4 2 3b e e e e e e                 ，所以与 b 的夹角的余弦值为 3 1cos 23 2 3 a b a b            ，所以 a 与b 的夹角为120 ，故选 C． 9．已知函数   2 22cos sin 2f x x x   ，则（ ） A．  f x 的最小正周期为 ，最大值为3 B．  f x 的最小正周期为 ，最大值为 4 C．  f x 的最小正周期为 2π，最大值为3 D．  f x 的最小正周期为 2π，最大值为 4 【答案】B 【解析】根据题意有   1 cos2 3 5cos2 1 2 cos22 2 2 xf x x x      ，所以函数  f x 的最小正周期为 2 2T    ，且最大值为  max 3 5 42 2f x    ，故选 B. 10．如图所示的正方形 1 2 3SG G G 中， E F， 分别是 1 2G G ， 2 3G G 的中点，现沿 SE ，SF ，EF 把这个正方 形折成一个四面体，使 1G ， 2G ， 3G 重合为点G ，则有（ ） A．  SG  平面  EFG B． EG  平面 SEF C．  GF  平面  SEF D． SG  平面 SEF 【答案】A 【解析】由题意： SG FG ， SG EG ， FG EG G ， FG EG ， 平面 EFG , 所以 SG  平面 EFG 正确，D 不正确；又若 EG 平面 SEF ，则 EG  EF ，由平面图形可知显然不成立； 同理  GF  平面  SEF 不正确；故选 A. 11．已知 ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c .若 2c  ， ABC 的面积为 2 2 4 4 a b  ，则 ABC 面积的最大值为（ ） A． 2 3 B． 3 1 C． 2 2 D． 2 1 【答案】D 【解析】∵ 2c  ， 2 2 2 2 24 4 4ABC a b a b cS      2 cos 1 sin4 2 ab C ab C  . ∴ tan 1 4C C = Þ = ，由余弦定理得 2 2 2 2 24 2 cos 2c a b ab C a b ab       2 2ab ab  ， ∴ 4 4 2 2 2 2 ab     ，∴  1 1 2sin 4 2 22 2 2ABCS ab C      2 1  .故选 D. 12．若存在唯一的正整数 0x ，使关于 x 的不等式 3 23 5 0x x ax a     成立，则实数 a 的取值范围是 ( ) A． 1(0, )3 B． 1 5( , ]3 4 C． 1 3( , ]3 2 D． 5 3( , ]4 2 【答案】B 【解析】设 3 2( ) 3 5f x x x ax a     ，则存在唯一的正整数 0x ，使得 0( ) 0f x  ， 设 3 2( ) 3 5g x x x   ， ( ) ( 1)h x a x  ，因为 2( ) 3 6g x x x   ， 所以当 ( , 0)x   以及 (2, ) 时， ( )g x 为增函数，当 (0,2)x 时， ( )g x 为减函数， 在 0x  处， ( )g x 取得极大值 5，在 2x  处， ( )g x 取得极大值1.而 ( )h x 恒过定点 ( 1,0) ， 两个函数图像如图， 要使得存在唯一的正整数 0x ，使得 0( ) 0f x  ，只要满足 (1) (1) (2) (2) (3) (3) g h g h g h      ，即 1 3 5 2 8 12 5 3 27 27 5 4 a a a            ，解得 1 5 3 4a  ，故选 B. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．曲线 lny x x 在 x e 处的切线的斜率 k  ． 【答案】2 【解析】因为 lny x x ，所以 ' ln 1y x  ，所以它在 x e 处的切线的斜率 ln 1 2k e   . 14． 若函数 sin( ) cos a xf x x  在区间 π π( , )6 3 上单调递增，则实数 a 的取值范围是 ． 【答案】[2, ) 【解析】因为函数 sin( ) cos a xf x x  在区间 π π( , )6 3 上单调递增， 所以 ( ) 0f x  在区间 π π( , )6 3 恒成立， 2 2 cos sin ( sin ) ( sin ) sin 1( ) cos cos x x a x x a xf x x x          因为 2cos 0x  ，所以 sin 1 0a x   在区间 π π( , )6 3 恒成立，所以 1 sina x  ， 因为 ( , )6 3x   ，所以 1 3 2 3 1sin 22 2 3 sinx x      ， 所以 a 的取值范围是[2, ) . 15．已知 0, 0, 0a b c   ，若点  ,P a b 在直线 2x y c   上，则 4 a b a b c  的最小值为___________. 【答案】 2 2 2 【解析】  ,P a b 在 2x y c   上， 2a b c    ， 2 0a b c    ， 4 4 2 2 a b c a b c c c      4 2 12 c c    ，设 2 c m c n     ，则 2m n  ， 4 2 4 2 4 2 2 2 m n c c m n m n            2 23 3 2 3 2 2n m m m m n m n         ， 当 2 22m n ，即 2 2 2c   时，“=”成立， 4 2 1 3 2 2 1 2 2 22 c c         ， 即 4 a b a b c  的最小值为 2 2 2 ，故答案为 2 2 2 . 16．如图，公路 MN 和 PQ 在 P 处交汇，且∠QPN ＝30°，在 A 处有一所中学， AP ＝160m，假设拖拉 机行驶时，周围 100 米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校受影响， 已知拖拉机的速度为 18 km/h，那么学校受影响的时间为________s. 【答案】24 【解析】学校受到噪音影响。理由如下：作 AH⊥MN 于 H，如图， ∵PA=160m,∠QPN=30∘ ，∴AH= 1 2 PA=80m， 而 80m<100m，∴拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校受到噪音影响， 以点 A 为圆心，100m 为半径作 A 交 MN 于 B. C，如图，∵AH⊥BC， ∴BH=CH，在 Rt△ABH 中，AB=100m，AH=80m， 2 2 60BH AB AH m   ，∴BC=2BH=120m， ∵拖拉机的速度=18km/h=5m/s，∴拖拉机在线段 BC 上行驶所需要的时间=120÷5=24(秒)， ∴学校受影响的时间为 24 秒。 三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(12 分）设{ }na 是等比数列 ，其前 n 项的和为 nS ，且 2 2a  , 2 13 0S a  . （1）求{ }na 的通项公式； （2）若 48n nS a  ，求 n 的最小值. 【解析】（1）设 na 的公比为 q，因为 2 13 0S a  ，所以 2 12 0a a  ，所以 2 1 2aq a   ， 又 2 2a  ，所以 1 1a  ，所以 1 1 1 2n n na a q    . （2）因为  1 1 2 11 n n n a q S q     ，所以 1 12 1 2 3 2 1n n n n nS a         ，由 13 2 1 48n   ，得 13 2 49n  ，即 1 492 3 n  ，解得 6n  ，所以 n 的最小值为 6. 18．(12 分）如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，已知 1 1AB BB C C 侧面 ， 1AB BC  ， 1 2BB  ， 1 3BCC   . （1）求证： 1C B ABC 平面 ； （2）求点 1B 到平面 1 1ACC A 的距离. 【解析】（1）因为侧面 AB  1 1BB C C , 1BC  侧面 1 1BB C C ，故 1AB BC , 在 1BCC△ 中, 1 1 11, 2, 3BC CC BB BCC      ， 由余弦定理得： 2 2 2 2 2 1 1 1 12 cos 1 2 2 1 2 cos 33BC BC CC BC CC BCC              ， 所以 1 3BC = 故 2 2 2 1 1BC BC CC  ,所以 1BC BC , 而 1,BC AB B BC ABC   平面 . （2）点 1B 转化为点 B ， 1 3 6C ABCV   ， 1 7 2ACCS  , 又 1 1 1C ABC B ACCV V  ,所以点 1B 到平面 1 1ACC A 的 距离为 21 7 . 19．(12 分）贵广高速铁路自贵阳北站起，经黔南州、黔东南、广西桂林、贺州、广东肇庆、佛山终至广州 南站. 其中广东省内有怀集站、广宁站、肇庆东站、三水南站、佛山西站、广州南站共 6 个站. 记者对广 东省内的 6 个车站的外观进行了满意度调查，得分情况如下： 车站 怀集站 广宁站 肇庆东站 三水南站 佛山西站 广州南站 满意度得分 70 76 72 70 72 x 已知 6 个站的平均得分为 75 分. （1）求广州南站的满意度得分 x，及这 6 个站满意度得分的标准差； （2）从广东省内前 5 个站中，随机地选 2 个站，求恰有 1 个站得分在区间（68，75）中的概率． 【解析】（1）由题意，得 1 (70 76 72 70 72 ) 756 x      ，解得 90x  . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 6 1 1[( ) ( ) ( ) ] (5 1 3 5 3 15 ) 76 6s x x x x x x              . （2）前 5 个站中随机选出的 2 个站，基本事件有 （怀集站，广宁站），（怀集站，肇庆东站），（怀集 站，三水南站），（怀集站，佛山西站），（广宁站，肇庆东站），（广宁站，三水南站），（广宁站， 佛三西站），（肇庆东站，三水南站），（肇庆东站，佛山西站），（三水南站，佛山西站）共 10 种， 这 5 个站中，满意度得分不在区间（68，75）中的只有广宁站. 设 A 表示随机事件“从前 5 个站中，随机地选 2 个站，恰有 1 个站得分在区间（68，75）中”，则 A 中的 基本事件有 4 种，则 4 2( ) 10 5P A   . 20．(12 分）已知抛物线 2 2y x ，过点 (1,1)P 分别作斜率为 1k ， 2k 的抛物线的动弦 AB 、CD ，设 M 、N 分别为线段 AB 、 CD 的中点． （1）若 P 为线段 AB 的中点，求直线 AB 的方程； （2）若 1 2 1k k  ，求证直线 MN 恒过定点，并求出定点坐标． 【解析】（1）设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，则 2 1 12y x ①， 2 2 22y x ②． ①－②，得     1 2 1 2 1 22y y y y x x    ．又因为  1,1P 是线段 AB 的中点，所以 1 2 2y y  所以， 2 1 1 2 1 2 1 2= 1y yk x x y y    ．又直线 AB 过  1,1P ，所以直线 AB 的方程为 y x . （2）依题设  ,M MM x y ，直线 AB 的方程为  11 1y k x   ，即 1 11y k x k   ， 亦即 1 2y k x k  ，代入抛物线方程并化简得  2 2 2 1 1 2 22 2 0k x k k x k    ． 所以， 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2k k k kx x k k      ,于是， 1 2 2 1 1 M k kx k  ， 1 2 1 2 1 22 11 1 1 M M k ky k x k k k kk        ． 同理， 1 2 2 2 1 N k kx k  ， 2 1 Ny k ．易知 1 2 0k k  ，所以直线 MN 的斜率 2 1 2 11 M N M N y y k kk x x k k    ． 故直线 MN 的方程为 2 1 1 2 2 1 2 1 1 11 1 k k k ky xk k k k        ，即 2 1 2 1 11 k ky xk k  ．此时直线过定点 0,1 ． 故直线 MN 恒过定点 0,1 ． 21．(12 分）已知     21 xf x ax e x   . （1）当 1a  时，讨论函数  f x 的零点个数，并说明理由； （2）若 0x  是  f x 的极值点，证明     2ln 1 1f x ax x x     . 【解析】（1）当 1a  时，     21 xf x x e x   ，   2 32 4 0f e     ，  0 1 0f    ，  1 1 0f   ，    2 0 0xf x x e x     ，   0 0f x x   ，∴  f x 在 ,0 上递减，在 0, 上递增，∴  f x 恒有两个零点. （2）∵    1 2xf x e ax a x    ，∵ 0x  是  f x 的极值点，∴  0 1 0 1f a a     ；∴     21 xf x x e x   ,故要证：    1 ln 1 1xx e x x     ，令 1x t  ，即证 1 ln 2tte t t    ， 设    ln 2 0xh x ex e x x x      ，即证   0h x  ，      1 11 1 1x xh x e e x e x ex ex            ，令   1xu x e ex   ，   2 1 0xu x e ex    ， ∴  u x 在  0, 上递增，又   11 0u e e    ，   22 0eu e e e    , 故   0u x  有唯一的根  0 0,1x  ， 0 0 1xe ex  ， 当 00 x x  时，    0 0u x h x   ，当 0x x 时，    0 0u x h x   ， ∴     0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1ln 2 ln 2x xh x h x ex e x x ex e xex            0 01 1 2 0x x      . 综上得证. (二)、选考题：共 10 分．请考生从 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【极坐标与参数方程】（10 分） 设 A 为椭圆 1C ： 2 2 14 24 x y  上任意一点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 2 10 cos 24 0     ， B 为 2C 上任意一点. （1）写出 1C 参数方程和 2C 普通方程； （2）求 AB 最大值和最小值. 【解析】（1）由题意可得 1C 的参数方程为： 2cos , 2 6 sin , x y     （ 为参数）， 又∵ 2 10 cos 24 0     ，且 2 2 2x y   ， cosx   ，∴ 2C 的普通方程为 2 2 10 24 0x y x    ， 即 2 25 1x y   . （2）由（1）得，设  2cos ,2 6 sinA   ，圆 2C 的圆心  5,0M ， 则    22| | 2cos 5 2 6 sinAM     220cos 20cos 49     2120 cos 542        ， ∵  cos 1,1   ，∴当 1cos 2    时， max| | 3 6AM  ； 当 cos 1  时， min| | 3AM  .当 1cos 2    时， max max| | | | 1 3 6 1AB AM    ； 当 cos 1  时， min min| | | | 1 2AB AM   . 23．【选修 4-5：不等式选讲】（10 分） 已知函数 ( ) 2f x x a   ， ( ) 4g x x  ， a R . （1）解不等式 ( ) ( )f x g x a  ； （2）任意 xR ， 2( ) ( )f x g x a  恒成立，求 a 的取值范围. 【解析】（1）不等式    f x g x a  即 2 4x x   ，两边平方得 2 24 4 8 16x x x x     ，解得 1x   ，所以原不等式的解集为 1,  . （2）不等式     2f x g x a  可化为 2 2 4a a x x     ， 又    2 4 2 4 6x x x x        ，所以 2 6a a  ，解得 2 3a   ， 所以 a 的取值范围为 2,3 .