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  • 2021-06-10 发布

黑龙江省大庆市大庆中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学(文)试题

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大庆中学2019---2020学年度上学期期中考试 高二年级文科数学试题 注意事项:‎ ‎1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷(选择题)‎ 一、单选题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分)‎ ‎1.直线经过点和,则直线的倾斜角为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 算出直线的斜率后可得其倾斜角.‎ ‎【详解】设直线的斜率为,且倾斜角为,则,‎ 根据,而,故,故选D.‎ ‎【点睛】本题考查直线倾斜角的计算,属于基础题.‎ ‎2.点是抛物线:上一点,若到的焦点的距离为8,则()‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线的定义,到的焦点的距离等于到抛物线准线的距离,列式求解。‎ ‎【详解】解:,则.‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查抛物线的定义以及焦半径公式,是基础题。‎ ‎3.直线与直线平行,则( )‎ A. B. 或 C. D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两直线平行的等价条件得出关于的方程,即可求出的值.‎ ‎【详解】直线与直线平行,,解得或,故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查利用两直线平行求参数,解题时要熟悉两直线平行的等价条件,考查计算能力,属于基础题.‎ ‎4.已知圆上两点,关于直线对称,则圆的半径为( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意知,圆心在直线2x+y=0上,∴2-m=0,解得m=4,‎ ‎∴圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=9,圆的半径为3.‎ ‎5.椭圆的焦距为,则的值为( )‎ A. 2 B. 2或 C. D. 1或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先将方程化为椭圆的标准方程,分情况讨论焦点的位置,然后根据求的值.‎ ‎【详解】椭圆化为标准方程: , ‎ 当焦点在轴时,,,那么 ‎ ‎;‎ 当焦点在轴时,,,那么,‎ ‎,‎ 或.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程和简单的几何性质,本题易错点是忽略椭圆焦点的位置,造成丢解情况,属于基础题型.‎ ‎6.经过点作圆的弦,使点为弦的中点,则弦所在直线的方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题知为弦AB的中点,可得直线与过圆心和点的直线垂直,可求的斜率,然后用点斜式求出的方程。‎ ‎【详解】由题意知圆的圆心为, ,由,得,∴弦所在直线的方程为,整理得.选A.‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系,直线的斜率,直线的点斜式方程,属于基础题。‎ ‎7. 为坐标原点, 为抛物线 的焦点, 为 上一点,若 ,则 的面积为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】设P(xP,yP)(yP>0)由抛物线定义知,xP+=4,‎ ‎∴xP=3,yP==2,‎ 因此S△POF=×2×=2.故选C.‎ ‎8.已知双曲线的左、右焦点分别为,直线过,与双曲线的左支交于两点,若,且双曲线的实轴长为,则的周长是()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的定义得到,,再由题中条件,即可求出结果.‎ ‎【详解】因为直线过,与双曲线的左支交于两点,,且双曲线的实轴长为,‎ 由双曲线的定义可得,,,‎ 所以的周长.‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查双曲线中焦点三角形的周长问题,熟记双曲线的定义即可,属于常考题型.‎ ‎9.如图,过抛物线()的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线于点C,若,且,则此抛物线的方程为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作垂直于准线于点,则,根据,可得,得,再根据抛物线的定义和性质,得到,即可求解.‎ ‎【详解】设,作垂直于准线于点,则,‎ 又,可得,所以,则,‎ 设,则,解得,‎ 又由,且,‎ 所以,解得,所以抛物线的方程为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用,其中解答中根据题设条件和抛物线的几何性质,得出关于的方程是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎10.已知椭圆C:的右焦点为F,直线l:,点,线段AF交椭圆C于点B,若,则=(  )‎ A. B. 2‎ C. D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设点,,易知F(1,0),根据,得,,根据点B在椭圆上,求得n=1,进而可求得 ‎【详解】根据题意作图:‎ 设点,.‎ 由椭圆C: ,知,,,‎ 即,所以右焦点F(1,0).‎ 由,得.‎ 所以,且.‎ 所以,.‎ 将x0,y0代入,‎ 得.解得,‎ 所以.‎ 故选A ‎【点睛】本题考查了椭圆的简单性质,考查了向量的模的求法,考查了向量在解析几何中的应用;正确表达出各点的坐标是解答本题的关键.‎ ‎11.已知分别为双曲线的左,右焦点。过右焦点的直线在第一象限内与双曲线E的渐近线交于点P,与y轴正半轴交于点Q,且点P为的中点,的面积为4,则双曲线E的方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得双曲线的一条渐近线方程,联立直线x+y=c可得P,Q的坐标,再由中点坐标公式,可得a=b,由三角形的面积公式可得c,进而得到a,b,可得双曲线的方程.‎ ‎【详解】双曲线E:l(a>0,b>0)一条渐近线方程为yx,‎ 代入直线x+y=c,可得P(,),‎ 且Q(0,c),(c,0),‎ 点P为QF2的中点,可得c,‎ 可得a=b,‎ ‎△QF1F2的面积为4,即•2c•c=4,‎ 解得c=2,a=b,‎ 则双曲线的方程为1.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的方程和性质,考查渐近线方程和中点坐标公式,以及化简运算能力,属于基础题.‎ ‎12.已知椭圆,,分别为椭圆的左右焦点,若椭圆上存在点使得,则椭圆的离心率的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 中,设设 ,,则根据余弦定理写出,解得,根据条件可知 ,求离心率的范围.‎ ‎【详解】设 ,,‎ 若椭圆上存在点使得,‎ ‎ ,‎ ‎,‎ ‎ ‎ 即 ,‎ ‎ ,‎ 即,‎ ‎ ‎ ‎.‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查椭圆的几何性质与应用,涉及余弦定理,以及不等式关系的建立,意在考查转化思想和计算能力.‎ 第II卷(非选择题)‎ 二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.已知经过椭圆的右焦点作垂直于轴的直线,交椭圆于,两点,是椭圆的左焦点,则的周长为______.‎ ‎【答案】32‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 为焦点三角形,周长等于两个长轴长,再根据椭圆方程,即可求出的周长.‎ ‎【详解】为椭圆的两个焦点 ‎ 由椭圆的定义可得 ‎ ‎ 的周长为,‎ 故答案为32.‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的定义,椭圆的标准方程,推理计算能力,属于中档题.‎ ‎14.已知双曲线C:的离心率为2,焦点到渐近线的距离为,则双曲线C的焦距为_____________.‎ ‎【答案】4.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用双曲线的性质及条件列a,b,c的方程组,求出c可得.‎ ‎【详解】因为双曲线的离心率为2,焦点到渐近线的距离为 ,所以,解得,所以双曲线的焦距为4.故答案为4.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的几何性质,注意隐含条件,考查运算求解能力,属于基础题.‎ ‎15.圆与圆的公共弦的长为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由两圆相减得公共弦的方程为,再选定其中一个圆与公共弦的方程,利用弦长公式求得公共弦长为。‎ ‎【详解】圆与圆相减得:‎ ‎,圆,所以圆心为,半径为,圆心到直线距离,‎ 所以公共弦长,故填:。‎ ‎【点睛】本题考查两圆的位置关系、弦长公式的应用,考查数形结合思想与运算求解能力。‎ ‎16.已知抛物线的焦点为,直线过点与抛物线交于,两点,与其准线交于点(点在点,之间),若,且,则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设直线的倾斜角为,利用抛物线的定义并结合条件可求出,利用同角三角函数的基本关系求出直线的斜率,于此得出直线的方程,将直线的方程与抛物线的方程联立,利用韦达定理与抛物线的定义,结合弦长可求出的值。‎ ‎【详解】如下图所示:‎ 过点作,垂足为点,设直线的倾斜角为锐角,则,‎ 与抛物线的定义得,‎ 所以,,,,‎ 又知抛物线的焦点为,所以,直线的方程为,‎ 设点、,将直线的方程与抛物线的方程联立,‎ 消去并整理得,由韦达定理得,‎ 由抛物线的定义可得,解得,故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题,考查抛物线的定义以及抛物线的焦点弦长的计算,在抛物线的焦点弦长的计算,常用办法就是将直线与抛物线的方程联立,结合韦达定理与抛物线的定义求解,在求解时,适当分析抛物线的几何性质,寻找边与角的关系,可以简化计算。‎ 三、解答题(本大题共6个小题,17题10分,18---22题每小题12分,共70分)‎ ‎17.已知直线经过点(-2,5),且斜率为 ‎ ‎(1)求直线的方程;‎ ‎(2)若直线与平行,且点到直线的距离为3,求直线的方程.‎ ‎【答案】(1) 3x+4y-14=0;(2) 3x+4y+1=0或3x+4y-29=0.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)代入点斜式方程求直线 的方程;(2)根据(1)设的方程为,将点到直线的距离转化为平行线的距离求.‎ ‎【详解】(1)由点斜式方程得,,∴.‎ ‎(2)设的方程为,则由平线间的距离公式得,,‎ 解得:或.‎ ‎∴或 ‎【点睛】本题考查求直线方程,意在考查基础知识,属于简单题型.‎ ‎18.已知圆外有一点,过点作直线.‎ ‎(1)当直线与圆相切时,求直线的方程;‎ ‎(2)当直线的倾斜角为时,求直线被圆所截得的弦长.‎ ‎【答案】(1) 或(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析:(1)当斜率不存在时,直线的方程为,当斜率存在时,设直线的方程为,由直线与圆相切,可求得,则直线方程可求;(2)由直线的倾斜角求得斜率,得到直线方程,利用点到直线的距离公式求出弦心距,再由垂径定理求得直线被圆所截得的弦长.‎ 试题解析:(1)当斜率不存在时,直线的方程为;‎ 当斜率存在时,设直线的方程为,‎ 则,解得,所以方程为,‎ 所以直线的方程为或.‎ ‎(2)当直线的倾斜角为时,直线的方程为,‎ ‎,所求弦长为.‎ ‎19.已知抛物线:的焦点为,过的直线与抛物线交于,两点,弦的中点的横坐标为,.‎ ‎(Ⅰ)求抛物线的方程;‎ ‎(Ⅱ)若直线的倾斜角为锐角,求与直线平行且与抛物线相切的直线方程.‎ ‎【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由题得,再利用抛物线的定义求p的值,即得抛物线的方程;(Ⅱ)设直线的方程为,.根据已知求出k=2, 设与直线平行的直线的方程为,根据直线和抛物线相切求出b的值得解.‎ ‎【详解】(Ⅰ)设,,‎ 因为的中点的横坐标为,所以.‎ 根据抛物线定义知.‎ 所以,解得,‎ 所以抛物线的方程为.‎ ‎(Ⅱ)设直线的方程为,.‎ 则由得.‎ 所以,即,解得.‎ 设与直线平行的直线的方程为,‎ 由得.‎ 依题知,解得.‎ 故所求的切线方程为.‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程的求法,考查抛物线的定义,考查直线和抛物线的位置关系,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎20.已知椭圆的中心在原点,其中一个焦点为,离心率为,过点的直线交椭圆于两点,‎ ‎(l)求椭圆的方程:‎ ‎(2)若直线的倾斜角为度,求.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题中条件,得到,再由离心率求出,进而得到值,从而可求出椭圆方程;‎ ‎(2)由题中条件,得到直线的方程为,联立直线与椭圆的方程,根据韦达定理,以及弦长公式,即可求出结果.‎ ‎【详解】(1)由条件知,,又由离心率知,‎ ‎,‎ 椭圆的方程为.‎ ‎(2)由条件知,直线的方程为,‎ 联立椭圆方程,‎ 得到,‎ 易知,设,,‎ 则由韦达定理,,‎ 故.‎ ‎【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程,以及求椭圆的弦长,熟记椭圆的标准方程,以及弦长公式即可,属于常考题型.‎ ‎21.已知抛物线上一点到其焦点的距离为.‎ ‎(1)求与的值;‎ ‎(2)若斜率为的直线与抛物线交于、两点,点为抛物线上一点,其横坐标为1,记直线的斜率为,直线的斜率为,试问:是否为定值?并证明你的结论.‎ ‎【答案】(1),;(2)为定值,证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由抛物线的定义可得,解出将代入到抛物线方程即可得的值;(2)设直线的方程为,设,,联立直线与抛物线运用韦达定理可得,根据斜率的定义化简可得,进而可得结果.‎ ‎【详解】(1)根据抛物线定义,点到焦点的距离等于它到准线的距离,‎ 即,解得,‎ ‎∴抛物线方程为,‎ 点在抛物线上,得,∴。‎ ‎(2)设直线的方程为,设,,‎ 消元化简得,‎ 当即即时,直线与抛物线有两交点,‎ ‎∴。‎ 点坐标为(1,1),,,‎ ‎∴,,‎ ‎∴,‎ 所以为定值。‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的求法,考查两直线的斜率之和是否为定值的判断与求法,根的判别式、韦达定理,考查推理论证能力、运算求解能力,是中档题.‎ ‎22.定义:若两个椭圆的离心率相等,则称两个椭圆是“相似”的.如图,椭圆与椭圆是相似的两个椭圆,并且相交于上下两个顶点,椭圆的长轴长是4,椭圆长轴长是2,点,分别是椭圆的左焦点与右焦点.‎ ‎(1)求椭圆,的方程;‎ ‎(2)过的直线交椭圆于点,,求面积的最大值.‎ ‎【答案】(1)椭圆的方程为,椭圆的方程是(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设椭圆的半焦距为,椭圆的半焦距为,直接利用椭圆的定义得到答案.‎ ‎(2)设直线的方程为,联立方程得到,‎ ‎,,利用均值不等式得到答案.‎ ‎【详解】解:(1)设椭圆的半焦距为,椭圆的半焦距为,由已知,=1,‎ ‎∵椭圆与椭圆的离心率相等,即,‎ ‎∴,即,‎ ‎∴,即,∴,‎ ‎∴椭圆的方程为,椭圆的方程是;‎ ‎(2)显然直线的斜率不为0,故可设直线的方程为.‎ 联立:,得,即,‎ ‎∴,设,,‎ 则,,∴,‎ 的高即为点到直线:的距离,‎ ‎∴的面积,‎ ‎∵,等号成立当且仅当,即时成立 ‎∴,即的面积的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆方程,直线和椭圆关系,面积最值,将面积用韦达定理表示出来是解题的关键,意在考查学生的综合应用能力和计算能力.‎ ‎ ‎

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