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  • 2021-06-10 发布

高中数学选修2-2课件数学:第一章《导数及其应用》课件(1)(新人教A版选修2-2)

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导数及其应用 知识结构 Ⅰ 、导数的概念 Ⅱ 、几种常见函数的导数公式 Ⅲ 、求导法则 Ⅳ 、复合函数求导 Ⅴ 、导数的几何意义 Ⅵ 、导数的应用 1 .判断函数的单调性 2 .求函数的极值 3 .求函数的最值 例 2 :用公式法求下列导数: ( 1 ) y= ( 3 ) y=ln(x+sinx) ( 2 ) y= ( 4 ) y= 解 (1) y′= (2) (3) (4) 例 3 、已知 f ( x ) =2x 2 +3x f  ( 1 ) , f  ( 0 )= 解 : 由已知得 : f  ( x ) =4x+3 f  ( 1 ) , ∴ f  ( 1 ) =4+3 f  ( 1 ) , ∴ f  ( 1 ) = - 2 ∴ f  ( 0 ) = 4×0+3 f  ( 1 ) =3×(-2)=-6 例 4 ( 2001 文)已知函数 f(x)=x 3 -3ax 2 +2bx 在点 x=1 处有极小值 -1 ,试确定 a 、 b 的值,并求出 f(x) 的单调区间。 分析: f(x) 在 x=1 处有极小值 -1 ,意味着 f(1)=-1 且 f`(1)=0 ,故取点可求 a 、 b 的值,然后根据求函数单调区间的方法,求出单调区间 。 略 解: 单增区间为( -∞ , -1/3 )和( 1 , +∞ ) 单间区间为( -1/3 , 1 ) 练习巩固: 设函数 y=x 3 +ax 2 +bx+c 的图象如图所示,且与 y=0 在原点相切,若函数的极小值为 -4 ( 1 )求 a 、 b 、 c 的值 ( 2 )求函数的单调区间 答案( 1 ) a=-3,b=0,c=0 ( 2 )单增区间为 (-∞,0) 和 (2,+∞) 解 : 由已知 , 函数 f ( x ) 过原点 (0,0), ∴ f ( 0 ) =c=0 ∵ f  ( x )=3x 2 +2ax+b 且函数 f ( x ) 与 y=0 在原点相切, ∴ f  ( 0 )=b=0 即 f ( x )=x 3 +ax 2 由 f  ( x )=3x 2 +2ax=0, 得 x 1 =0,x 2 =(-2/3)a 由已知 即 解得 a=-3 小结: 利用导数的几何意义求切线的斜率; 求函数的单调区间,只要解不等式 f(x) > 0 或 f(x) < 0 即可; 求函数 f(x) 的极值,首先求 f `(x), 在求 f ` (x)=0 的根,然后检查方程根左右两侧的导数符号而作出判定; 函数 f(x) 在[ a,b ]内的最值求法:①求 f(x) 在( a,b )内的极值;②将 f(x) 的各极值与 f(a),f(b) 比较,其中最大的是最大值,最小的为最小值。 导数的应用主要表现在: 定积分及其应用 1 、求曲边梯形的思想方法是什么? 2 、定积分的几何意义、物理是什么? 3 、微积分基本定理是什么? 求由连续曲线 y = f ( x ) 对应的 曲边梯形 面积的方法 (2) 取近似求和 : 任取 x i  [ x i - 1 , x i ] ,第 i 个小曲边梯形的面积用高为 f ( x i ) 而宽为 D x 的小矩形面积 f ( x i ) D x 近似之。 (3) 取极限 : , 所求曲边 梯形的面积 S 为 取 n 个小矩形面积的和作为曲边梯形面积 S 的近似值: x i y = f ( x ) x y O b a x i +1 x i (1) 分割 : 在区间 [0,1] 上等间隔地插入 n-1 个点 , 将它等分成 n 个小区间 : 每个小区间宽度⊿ x 定积分的定义 如果当 n  ∞ 时, S 的无限接近某个常数, 这个常数为函数 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上的定积分,记作 从求曲边梯形面积 S 的过程中可以看出 , 通过 “四步曲” : 分割 --- 近似代替 ---- 求和 ------ 取极限得到解决 . 定积分的定义 : 定积分的相关名称:  ——— 叫做积分号, f ( x ) —— 叫做被积函数, f ( x ) dx — 叫做被积表达式, x ——— 叫做积分变量, a ——— 叫做积分下限, b ——— 叫做积分上限, [ a , b ] — 叫做积分区间。 被积函数 被积表达式 积分变量 积分下限 积分上限 按定积分的定义,有 (1) 由连续曲线 y = f ( x ) ( f ( x )  0) ,直线 x = a 、 x = b 及 x 轴所围成的曲边梯形的面积为 (2) 设物体运动的速度 v = v ( t ) ,则此物体在时间区间 [ a , b ] 内运动的距离 s 为 定积分的定义: 例 1 、求曲线 与直线 x 轴所围成的图形面积。 略解:根据定积分的几何意义所求面积为 ( 一)利用定积分求平面图形的面积 平面图形的面积 平面图形的面积 平面图形的面积 平面图形的面积 平面图形的面积 特别注意图形面积与定积分不一定相等 , 的图像与 轴围成的图形的面积为 4, 而其定积分为 0. 如函数 1 、求直线 与抛物线 所围成的图形面积。 略解:如图直线 与抛物线 的交点 坐标为(- 1 , 1 ) 和( 3 , 9 ),则 2 、求由抛物线 及其在点 M ( 0 ,- 3 ) 和 N ( 3 , 0 )处的两条切线所围成的图形的面积。 x y o y= - x 2 +4x-3 略解: 则在 M 、 N 点处的切线方程分别为 、 ( 3/2 , 3 ) 3 、 在曲线 上的某点 A 处作一切线使之与曲线以及 轴所围成的面积为 . 试求:切点 A 的坐标以及切线方程 . x y O y=x 2 A B C 略解: 设切点坐标为 则切线方程为 切线与 x 轴的交点坐标为 则由题可知有 所以切点坐标与切线方程分别为 x y O y=x 2 A B C ( 1 )画图 , 并将图形分割为若干个曲边梯形; ( 2 )对每个曲边梯形确定其存在的范围 , 从而确定积分的上、下限; ( 3 )确定被积函数; ( 4 )求出各曲边梯形的面积和 , 即各积分的绝对值的和。 小结 : 求平面图形面积的方法与步骤: 以及 (1) 曲线 与直线 轴所围成的曲边梯形的面积: 以及 (2) 曲线 与直线 轴所围成的曲边梯形的面积: y a b x y a b x b 课题: 定积分的应用 我行 我能 我要成功 我能成功 几种常见的曲边梯形面积的计算方法: (3) 两条曲线 与直线 围成的曲边梯形的面积 : y a x b y a b x b 4 、求曲线 与曲线 以及 轴所围成的图形面积。 略解: 如图 由 得 当 时 则所求图形的面积为 由 得

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