安徽省芜湖市第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题 19页

芜湖一中2019-2020学年第一学期期中考试高二数学（文科）试卷 一、选择题 ‎1.直线的倾斜角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线倾斜角的正切值等于切线斜率求解即可.‎ ‎【详解】直线的斜率为,故倾斜角的正切值,‎ 又,故.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了直线倾斜角与斜率的关系,属于基础题型.‎ ‎2.下列说法正确的是（ ）‎ A. 有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫作棱柱 B. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥 C. 用平行于圆台底面平面截圆台，其截面是圆面 D. 直角三角形绕它的一边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据常见几何体的定义判断或举出反例即可.‎ ‎【详解】对A, 有两个面互相平行,其余各面都是四边形的几何体也可以是台体,故A错误.‎ 对B,如图所示多面体满足只有底面为四边形,其他面均为三角形,但不是锥体 对C, 用平行于圆台底面的平面截圆台,其截面是圆面正确.‎ 对D, 直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是两个圆锥的结合体,故D错误.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查基本几何体的判断与概念等,属于基础题型.‎ ‎3.如图正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（　　）‎ A. 8cm B. 6cm C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】由题意得，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以，对应原图形平行四边形的高为，如图所示，所以原图形中，，所以原图形的周长为，故选A．‎ ‎4.已知直线和互相平行，则实数的取值为（　　）‎ A. 或3 B. C. D. 1或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用两直线平行的等价条件求得实数m的值.‎ ‎【详解】∵两条直线x+my+6=0和（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，‎ ‎∴‎ 解得 m=﹣1，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】已知两直线的一般方程判定两直线平行或垂直时，记住以下结论，可避免讨论：‎ 已知，‎ ‎，‎ 则，‎ ‎ ．‎ ‎5.若是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　)‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正方体中的线面关系容易否定，故选．‎ ‎【详解】选取一个正方体，如下图：‎ 对于答案A，令,平面，平面,‎ 满足，但是与不平行，所以A答案错误.‎ 对于答案B，令，，平面，‎ 满足，但是与不平行，所以B答案错误.‎ 对于答案C，令，平面,,‎ 满足,但是与不平行，所以C答案错误.‎ 排除.‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了线面位置关系，考查空间思维能力及举特例方法，属于基础题．‎ ‎6.已知点A（2，-3），B（3，2），直线ax+y+2=0与线段AB相交，则实数a取值范围是（　　）‎ A. B. 或 C. D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直线ax+y+2=0经过定点C（0，-2），斜率为-a，，求出，数形结合得到直线的斜率范围，即可求得实数a的取值范围．‎ ‎【详解】解：如图：直线ax+y+2=0经过定点C（0，-2），斜率为-a，‎ 当直线ax+y+2=0经过点A（2，-3）时，有AC=．‎ 当直线ax+y+2=0经过点B（3，2）时，有BC=．‎ ‎∴，即，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了考查恒过定点的直线，直线的斜率公式的应用，考查了数形结合思想及计算能力，属于中档题．‎ ‎7.已知直线a、b是异面直线，直线c、d分别与a、b都相交，则直线c、d的位置关系（　　）‎ A. 可能是平行直线 B. 一定是异面直线 C. 可能是相交直线 D. 平行、相交、异面直线都有可能 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】本题考查空间直线位置关系判定,直线不可能平行（若平行则a、b共面），异面、相交都有可能，故选C.‎ ‎8.如图所示，在单位正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P使得AP+D1P取得最小值，则此最小值为（　　）‎ A. 2‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：将翻折到与四边形同一平面内，的最小值为，在中，由余弦定理可得 考点：1.翻折问题；2.空间距离 ‎9.一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为（ ）‎ A. B. C. D. 40‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 该几何体是四棱锥，如图：‎ 其中 平面 ，四边形 为直角梯形， ，所以几何体的体积 ，故选B.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查三视图及空间几何体的体积，属于中档题. 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：（1）求简单几何体的体积时若所给的几何体为柱体椎体或台体，则可直接利用公式求解；(2)求组合体的体积时若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解；(3)求以三视图为背景的几何体的体积时应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.‎ ‎【详解】‎ 请在此输入详解！‎ ‎10.在正三棱锥中，三条侧棱两两垂直，底面边长，则正三棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可得正三棱锥各顶点在以棱长为的正方体上,根据正方体体对角线等于外接球直径求解即可.‎ ‎【详解】由题得, 正三棱锥各顶点在以棱长为的正方体上,故正三棱锥的外接球外正方体的外接球,又,故,故体对角线即球直径,故正三棱锥的外接球的表面积为 ‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了墙角三棱锥的外接球表面积问题,属于基础题型.‎ ‎11.，动直线过定点动直线过定点，若与交于点（异于点，），则的最大值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意可得：，，且两直线斜率之积等于，∴直线和直线垂直，则，即，的最大值为，故选．‎ ‎12.正方体棱长为6，点在棱上，满足，过点的直线与直线、分别交于、两点，则（ ）‎ A. B. C. 18 D. 21‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画图分析可得过的直线与直线、的交点、在线段、的延长线上.再建立空间直角坐标系求解即可.‎ ‎【详解】画图分析可得过的直线与直线、的交点、在线段、的延长线上.以为坐标原点建立如图空间直角坐标系,则设,, ‎ 又共线,则,故,故 .‎ 故,,则.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了利用空间直角坐标系求解共线问题的方法等,属于中等题型.‎ 二、填空题 ‎13.已知直线过点且与直线：垂直，则直线的方程为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线与直线：垂直求得直线的斜率,再利用点斜式求出直线的方程即可.‎ ‎【详解】：的斜率为,故直线的斜率.‎ 故直线方程为,化简得 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线垂直的应用以及点斜式的方法,属于基础题型.‎ ‎14.若两平行直线3x-y+m=0，6x+ny+7=0之间的距离为，则m的值为______．‎ ‎【答案】6或1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由两直线平行可求得，把两条平行线方程中x、y的系数化为相同的，根据两条平行直线间的距离等于列方程，求得m的值．‎ ‎【详解】解：由两直线3x-y+m=0，6x+ny+7=0平行，‎ 可得，∴n=，m≠，故两平行直线方程为： 6x-2y+2m=0，6x-2y+7=0．‎ 又它们之间的距离为，‎ ‎∴，求得m=6或m=1，‎ 故答案为6或1．‎ ‎【点睛】本题主要考查了两条平行直线间的距离公式的应用及两平行线之间方程的系数关系，属于基础题．‎ ‎15.已知正三棱柱，，，，分别是棱，中点，则异面直线与夹角的余弦值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立空间直角坐标系利用空间向量求解即可.‎ ‎【详解】画出图形,建立如图空间直角坐标系,则，，，,，‎ ‎∴,,‎ 设直线与夹角为,则 ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用空间直角坐标系中空间向量的方法求解异面直线夹角的问题,属于基础题型.‎ ‎16.如图，在直角梯形中，，，，，，在线段上，是线段的中点，沿把平面折起到平面的位置，使平面，则下列命题正确的编号为______.‎ ‎①点到平面的距离为；‎ ‎②设折起后几何体的棱的中点，则平面；‎ ‎③；‎ ‎④四棱锥的内切球的表面积为.‎ ‎【答案】①②③④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出图形,显然 对①,利用等体积法计算即可 对②,去中点进行证明即可.‎ 对③,以为顶点, 进行求解即可.‎ 对④,利用等体积法求内切球半径,再求表面积即可.‎ ‎【详解】对①, ,又,设到平面的距离为,则.故①正确.‎ 对②,因为,故,又,故是平行四边形,所以,故平面.故②正确.‎ 对③,由①,成立,故③正确.‎ 对④, ,表面积,‎ 设内切球半径为则.故表面积为.故④正确.‎ 故答案：①②③④‎ ‎【点睛】本题主要考查了立体几何中的平行的证明与体积、点到面的距离问题与内切球的问题,属于中等题型.‎ 三、解答题 ‎17.在四边形中，，，，，，以所在的直线为轴，四边形旋转一周形成一旋转体，求此旋转体的表面积.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画图分析可得,旋转体为圆锥与圆台的组合体,故表面积为圆锥侧面积与圆台侧面积加底面面积即可.‎ ‎【详解】由图, ‎ 到的距离，,故,‎ 又到垂线的距离.‎ 故可得圆锥部分侧面积 ,‎ 圆台的侧面积,底面面积.‎ 故表面积 ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了旋转体的表面积问题,需要分析各个面的形状再代入公式进行运算即可.属于中等题型.‎ ‎18.已知直线方程为，.‎ ‎（1）求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标；‎ ‎（2）若直线在轴，轴上的截距相等，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将含有的项提取出来,再令所乘的式为0,不含的项也为0,列方程求解即可.‎ ‎(2)算出直线在轴上的截距令其相等求解即可.‎ ‎【详解】(1) 由化简得,‎ 令 ,故直线恒过定点 ‎(2)由题得中.‎ 令有 ,故在轴上的截距为.‎ 令有.故在轴上的截距为.‎ 故,故或.‎ 当时, 化简得,当时,化简得 故直线的方程为或 ‎【点睛】本题主要考查了直线方程的定点问题以及解决的问题等,属于中等题型.‎ ‎19.如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，，为的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析 ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)连接,利用中位线证明平行即可 (2)转换定点,三棱锥的体积等于的体积进行求解即可.‎ ‎【详解】(1)连接交与.连接,‎ 因为正方形,故为的中点,又为的中点,则为的中位线,‎ 故,又平面,平面.故平面 ‎(2)三棱锥的体积等于的体积,‎ 因为正方形与矩形所在平面互相垂直,且,‎ 平面平面,故平面,‎ 故.‎ ‎【点睛】本题主要考查了线与面的平行以及空间中的体积问题,属于基础题型.‎ ‎20.已知平面内两点A(8,-6),B(2,2).‎ ‎(1)求过点P(2,-3)且与直线AB平行的直线l的方程;‎ ‎(2)一束光线从B点射向(1)中直线l，若反射光线过点A,求反射光线所在的直线方程.‎ ‎【答案】(1) 直线l的方程4x+3y+1=0,(2) 11x+27y+74=0.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据平行得出斜率，从而由点斜式求出直线方程；‎ ‎（2）求得点B关于直线l的对称点B'的坐标，然后求出斜率，再由点斜式求出 试题解析：（1）由点斜式 ∴直线l的方程4x+3y+1=0‎ ‎（2）设B（2，2）关于直线l的对称点B'（m，n）∴ ‎ 解得 ∴ ；‎ 由点斜式可得 整理得11x+27y+74=0；‎ ‎21.如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.‎ ‎（1）证明：面；‎ ‎（2）证明：面面；‎ ‎（3）求直线与面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析 ‎（2）证明见解析 ‎（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)取中点,证明即可. (2)证明面即可.‎ ‎(3)利用等体积法,先求出三棱锥的体积,再求出的面积,进而求得到平面的体积,再求解与面所成角的正弦值即可.‎ ‎【详解】(1) 取中点,连接.‎ 因为为棱中点,所以且,又且,‎ 故且,故四边形为平行四边形,故,‎ 又面,面,故面.‎ ‎(2)因,故,又底面,故面面,‎ 又面面,,,故,‎ 故面,故.‎ 所以 ,面,面,故面.‎ 又,所以面.又面故面面.‎ ‎(3).‎ 又,,‎ ‎.故.‎ 故到平面的距离满足 即,所以.‎ 设直线与面所成角为,则 ‎ 即直线与面所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了线面平行与面面垂直的判定,同时也考查了直线与平面夹角的问题,属于中等题型.‎ ‎ ‎