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- 2021-06-10 发布
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高中数学人教A版选2-1 同步练习
直线l的方向向量,平面α的法向量分别是a=(3,2,1),u=(-1,2,-1),则l与α的位置关系是( )
A.l⊥α B.l∥α
C.l与α相交但不垂直 D.l∥α或l⊂α
解析:选D.∵a·u=-3+4-1=0,
∴a⊥u,∴l∥α或l⊂α.
若平面α,β的法向量分别为u=(2,-3,5),v=(-3,1,-4),则( )
A.α∥β B.α⊥β
C.α,β相交但不垂直 D.以上均不正确
解析:选C.∵≠≠,
∴α与β不平行.
又∵u·v=2×(-3)+(-3)×1+5×(-4)=-29≠0.
∴α,β相交但不垂直.
平面α,β的法向量分别为m=(1,2,-2),n=(-2,-4,k),若α⊥β,则k等于________.
解析:由α⊥β知,m·n=0.
∴-2-8-2k=0,解得k=-5.
答案:-5
已知A(1,0,1),B(0,1,1),C(1,1,0),则平面ABC的一个法向量为__________.
解析:设平面ABC的一个法向量n=(x,y,z),
由题意可得:=(-1,1,0),=(1,0,-1).
由
得
令x=1,得y=z=1.∴n=(1,1,1).
答案:(1,1,1)(答案不惟一)
[A级 基础达标]
设平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量为(-2,-4,k),若α∥β,则k=( )
A.2 B.-4
C.4 D.-2
解析:选C.∵α∥β,∴(1,2,-2)=λ(-2,-4,k),
∴k=4.
已知平面α内有一个点A(2,-1,2),它的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P中,在平面α内的是( )
A.(1,-1,1) B.
C. D.
解析:选B.要判断点P是否在平面内,只需判断向量与平面的法向量n是否垂直,即·n是否为0即可,因此,要对各个选项进行逐个检验.
对于选项A,=(1,0,1),则·n=(1,0,1)·(3,1,2)=5≠0,故排除A;对于选项B,=,
则·n=·(3,1,2)=0.故选B.
已知平面α内的三点A(0,0,1)、B(0,1,0)、C(1,0,0),平面β的一个法向量为n=(-1,-1,-1),且β与α不重合,则( )
A.α∥β B.α⊥β
C.α与β相交但不垂直 D.以上都不对
解析:选A.=(0,1,-1),=(1,0,-1),
n·=(-1,-1,-1)·(0,1,-1)
=-1×0+(-1)×1+(-1)×(-1)=0,
n·=(-1,-1,-1)·(1,0,-1)
=-1×1+0+(-1)×(-1)=0,
∴n⊥,n⊥.
∴n也为α的一个法向量.又α与β不重合,∴α∥β.
已知=(2,2,1),=(4,5,3),则平面ABC的单位法向量的坐标为__________.
解析:设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z),
则即
令z=1,得
∴平面ABC的一个法向量n=,则平面ABC的单位法向量为±=±.
答案:或
已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).对于结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③是平面ABCD的法向量;④∥.其中正确的是__________.
解析:·=-2-2+4=0,∴AP⊥AB,①正确;
·=-4+4=0,∴AP⊥AD,②正确;
是平面ABCD的法向量,∴③正确;④错误.
答案:①②③
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
(1)求面ABCD的一个法向量;
(2)求面A1BC1的一个法向量;
(3)若M为CD的中点,求面AMD1的一个法向量.
解:以A为坐标原点,分别以,,所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为a.
(1)∵面ABCD即为坐标平面xOy,
∴n1=(0,0,1)为其一个法向量.
(2)连接B1D,∵B1D⊥面A1BC1,
又∵=(0,a,0)-(a,0,a)=(-a,a,-a),
∴n2==(-1,1,-1)为面A1BC1的一个法向量.
(3)设n3=(x0,y0,z0)为面AMD1的一个法向量,
∵=,=(0,a,a),
∴.
令x0=2,则y0=-1,z0=1,
∴n3=(2,-1,1) 为面AMD1的一个法向量.
[B级 能力提升]
已知直线l1的方向向量a=(2,4,x),直线l2的方向向量b=(2,y,2),若|a|=6,且a⊥b,则x+y的值是( )
A.-3或1 B.3或-1
C.-3 D.1
解析:选A.|a|= =6,∴x=±4,
又∵a⊥b,∴a·b=2×2+4y+2x=0,
∴y=-1-x,∴当x=4时,y=-3,
当x=-4时,y=1,∴x+y=1或-3.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于( )
A.AC B.BD
C.A1D D.A1A
解析:选B.建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1.
则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1),E,
∴=,
=(-1,1,0),=(-1,-1,0),
=(-1,0,-1),=(0,0,-1).
∵·=0,∴CE⊥BD.
已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且⊥平面ABC,则=__________.
解析:∵·=0,
∴3+5-2z=0,即z=4.
∵=(x-1,y,-3),
⊥平面ABC,
∴即
解之得
即=.
答案:
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O1为B1D1的中点,求证:BO1∥平面ACD1.
证明:法一:以D为原点,,,分别为x,y,z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
设正方体的棱长为2,
则A(2,0,0),D1(0,0,2),C(0,2,0),B(2,2,0),O1(1,1,2),
∴=(-2,0,2),
=(0,-2,2),
=(-1,-1,2),
∴=+,
∴与,共面,
又BO1⊄平面ACD1,
∴BO1∥平面ACD1.
法二:在证法一建立的空间直角坐标系下,取AC的中点O,连接D1O,则O(1,1,0),
∴=(1,1,-2).
又=(-1,-1,2),∴=-,
∴∥.
又∵D1O与BO1不共线,∴D1O∥BO1.
又BO1⊄平面ACD1,∴BO1∥平面ACD1.
(创新题)如图,在四棱锥PABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E、F分别是AB、PB的中点.
(1)求证:EF⊥CD;
(2)在平面PAD内求一点G,使GF⊥平面PCB,并证明你的结论.
解:以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图),
设AD=a,
则D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a,a,0)、C(0,a,0)、
E、P(0,0,a)、F.
(1)证明:·=·(0,a,0)=0,
∴EF⊥DC.
(2)∵G∈平面PAD,设G(x,0,z),
∴=,
由题意要使GF⊥平面PCB,
只需·=·(a,0,0)
=a=0,
∴x=.
·=·(0,-a,a)
=+a=0,∴z=0.
∴点G的坐标为,即点G为AD的中点.