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  • 2021-06-10 发布

高中数学选修第3章3_2第1课时同步练习

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高中数学人教A版选2-1 同步练习 直线l的方向向量,平面α的法向量分别是a=(3,2,1),u=(-1,2,-1),则l与α的位置关系是(  )‎ A.l⊥α            B.l∥α C.l与α相交但不垂直 D.l∥α或l⊂α 解析:选D.∵a·u=-3+4-1=0,‎ ‎∴a⊥u,∴l∥α或l⊂α.‎ 若平面α,β的法向量分别为u=(2,-3,5),v=(-3,1,-4),则(  )‎ A.α∥β B.α⊥β C.α,β相交但不垂直 D.以上均不正确 解析:选C.∵≠≠,‎ ‎∴α与β不平行.‎ 又∵u·v=2×(-3)+(-3)×1+5×(-4)=-29≠0.‎ ‎∴α,β相交但不垂直.‎ 平面α,β的法向量分别为m=(1,2,-2),n=(-2,-4,k),若α⊥β,则k等于________.‎ 解析:由α⊥β知,m·n=0.‎ ‎∴-2-8-2k=0,解得k=-5.‎ 答案:-5‎ 已知A(1,0,1),B(0,1,1),C(1,1,0),则平面ABC的一个法向量为__________.‎ 解析:设平面ABC的一个法向量n=(x,y,z),‎ 由题意可得:=(-1,1,0),=(1,0,-1).‎ 由 得 令x=1,得y=z=1.∴n=(1,1,1).‎ 答案:(1,1,1)(答案不惟一)‎ ‎[A级 基础达标]‎ 设平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量为(-2,-4,k),若α∥β,则k=(  )‎ A.2 B.-4‎ C.4 D.-2‎ 解析:选C.∵α∥β,∴(1,2,-2)=λ(-2,-4,k),‎ ‎∴k=4.‎ 已知平面α内有一个点A(2,-1,2),它的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P中,在平面α内的是(  )‎ A.(1,-1,1) B. C. D. 解析:选B.要判断点P是否在平面内,只需判断向量与平面的法向量n是否垂直,即·n是否为0即可,因此,要对各个选项进行逐个检验.‎ 对于选项A,=(1,0,1),则·n=(1,0,1)·(3,1,2)=5≠0,故排除A;对于选项B,=,‎ 则·n=·(3,1,2)=0.故选B.‎ 已知平面α内的三点A(0,0,1)、B(0,1,0)、C(1,0,0),平面β的一个法向量为n=(-1,-1,-1),且β与α不重合,则(  )‎ A.α∥β B.α⊥β C.α与β相交但不垂直 D.以上都不对 解析:选A.=(0,1,-1),=(1,0,-1),‎ n·=(-1,-1,-1)·(0,1,-1)‎ ‎=-1×0+(-1)×1+(-1)×(-1)=0,‎ n·=(-1,-1,-1)·(1,0,-1)‎ ‎=-1×1+0+(-1)×(-1)=0,‎ ‎∴n⊥,n⊥.‎ ‎∴n也为α的一个法向量.又α与β不重合,∴α∥β.‎ 已知=(2,2,1),=(4,5,3),则平面ABC的单位法向量的坐标为__________.‎ 解析:设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z),‎ 则即 令z=1,得 ‎∴平面ABC的一个法向量n=,则平面ABC的单位法向量为±=±.‎ 答案:或 已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).对于结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③是平面ABCD的法向量;④∥.其中正确的是__________.‎ 解析:·=-2-2+4=0,∴AP⊥AB,①正确;‎ ·=-4+4=0,∴AP⊥AD,②正确;‎ 是平面ABCD的法向量,∴③正确;④错误.‎ 答案:①②③‎ 在正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,‎ ‎(1)求面ABCD的一个法向量;‎ ‎(2)求面A1BC1的一个法向量;‎ ‎(3)若M为CD的中点,求面AMD1的一个法向量.‎ 解:以A为坐标原点,分别以,,所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为a.‎ ‎(1)∵面ABCD即为坐标平面xOy,‎ ‎∴n1=(0,0,1)为其一个法向量.‎ ‎(2)连接B1D,∵B1D⊥面A1BC1,‎ 又∵=(0,a,0)-(a,0,a)=(-a,a,-a),‎ ‎∴n2==(-1,1,-1)为面A1BC1的一个法向量.‎ ‎(3)设n3=(x0,y0,z0)为面AMD1的一个法向量,‎ ‎∵=,=(0,a,a),‎ ‎∴.‎ 令x0=2,则y0=-1,z0=1,‎ ‎∴n3=(2,-1,1) 为面AMD1的一个法向量.‎ ‎[B级 能力提升]‎ 已知直线l1的方向向量a=(2,4,x),直线l2的方向向量b=(2,y,2),若|a|=6,且a⊥b,则x+y的值是(  )‎ A.-3或1 B.3或-1‎ C.-3 D.1‎ 解析:选A.|a|= =6,∴x=±4,‎ 又∵a⊥b,∴a·b=2×2+4y+2x=0,‎ ‎∴y=-1-x,∴当x=4时,y=-3,‎ 当x=-4时,y=1,∴x+y=1或-3.‎ 在正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,若E为A‎1C1的中点,则直线CE垂直于(  )‎ A.AC B.BD C.A1D D.A‎1A 解析:选B.建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1.‎ 则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1),E,‎ ‎∴=,‎ =(-1,1,0),=(-1,-1,0),‎ =(-1,0,-1),=(0,0,-1).‎ ‎∵·=0,∴CE⊥BD.‎ 已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且⊥平面ABC,则=__________.‎ 解析:∵·=0,‎ ‎∴3+5-2z=0,即z=4.‎ ‎∵=(x-1,y,-3),‎ ⊥平面ABC,‎ ‎∴即 解之得 即=.‎ 答案: 在正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,O1为B1D1的中点,求证:BO1∥平面ACD1.‎ 证明:法一:以D为原点,,,分别为x,y,z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 设正方体的棱长为2,‎ 则A(2,0,0),D1(0,0,2),C(0,2,0),B(2,2,0),O1(1,1,2),‎ ‎∴=(-2,0,2),‎ =(0,-2,2),‎ =(-1,-1,2),‎ ‎∴=+,‎ ‎∴与,共面,‎ 又BO1⊄平面ACD1,‎ ‎∴BO1∥平面ACD1.‎ 法二:在证法一建立的空间直角坐标系下,取AC的中点O,连接D1O,则O(1,1,0),‎ ‎∴=(1,1,-2).‎ 又=(-1,-1,2),∴=-,‎ ‎∴∥.‎ 又∵D1O与BO1不共线,∴D1O∥BO1.‎ 又BO1⊄平面ACD1,∴BO1∥平面ACD1.‎ (创新题)如图,在四棱锥PABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E、F分别是AB、PB的中点.‎ ‎(1)求证:EF⊥CD;‎ ‎(2)在平面PAD内求一点G,使GF⊥平面PCB,并证明你的结论.‎ 解:以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图),‎ 设AD=a,‎ 则D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a,a,0)、C(0,a,0)、‎ E、P(0,0,a)、F.‎ ‎(1)证明:·=·(0,a,0)=0,‎ ‎∴EF⊥DC.‎ ‎(2)∵G∈平面PAD,设G(x,0,z),‎ ‎∴=,‎ 由题意要使GF⊥平面PCB,‎ 只需·=·(a,0,0)‎ ‎=a=0,‎ ‎∴x=.‎ ·=·(0,-a,a)‎ ‎=+a=0,∴z=0.‎ ‎∴点G的坐标为,即点G为AD的中点.‎

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