【数学】甘肃省天水一中2020届高三下学期诊断考试（理） 11页

甘肃省天水一中2020届高三下学期诊断考试（理）‎ 参考答案 一、单选题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．A 2．C 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．D 9．C 10．A 11．B 12．C 二、填空题 ‎13．200 14． 15． 16．‎ 三、解答题 ‎17．（1）；（2）‎ ‎（1）当时，，所以，‎ 当时，因为，所以，‎ 两式作差得，即，因为，‎ 所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，故；‎ ‎（2）令，则，，‎ 所以数列的公差，故，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎18．（1）证明见解析；（2）.‎ ‎（1）证明：取中点，连结，设交于，连结，，‎ 在菱形中，，‎ ‎∵平面，平面，∴，‎ 又，，平面，∴平面，‎ ‎∵，分别是，的中点，∴，，‎ 又，，∴，且，‎ ‎∴四边形是平行四边形，则，∴平面，‎ 又平面，∴平面平面.‎ ‎（2）由（1）中证明知，平面，则，，两两垂直，以，‎ ‎，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 由及是菱形，‎ 得，，，则，‎ ‎，，，‎ ‎，，，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则，即，‎ 取，求得，所以，‎ 同理，可求得平面的一个法向量为，‎ 设平面与平面构成的二面角的平面角为，则 ‎，又，，‎ ‎∴，‎ ‎∴平面与平面构成的二面角的正弦值为.‎ 选出的种商品中至多有一种是家电商品有种 所以至多有一种是家电商品的概率为 ‎（Ⅱ）奖券总额是一随机变量,设为,可能值为,,,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎0‎ 所以 所以,因此要使促销方案对商场有利，则最少为元 ‎20．（1）（2）‎ ‎（1）当点的坐标为时，，所以．‎ 由对称性，，‎ 所以，得 将点代入椭圆方程 中，解得， ‎ 所以椭圆方程为.‎ ‎（2）当直线的斜率不存在时，，‎ 此时． ‎ 当直线的斜率存在时，设直线的方程为．‎ 由消去整理得：． 显然，‎ 设，则 ‎ 故 ．‎ 因为，所以，‎ 所以点到直线的距离即为点到直线的距离，‎ 所以 ‎，‎ 因为，所以，所以．综上，．‎ ‎21．（1）；（2）.‎ 设x>0时，结合函数的奇偶性得到： ‎ （1） 当x>0时，有，‎ ‎；‎ 所以在（0，1）上单调递增，在上单调递减，函数在处取得唯一的极值．由题意，且，解得所求实数的取值范围为 ‎ ‎（2）当时，‎ 令，由题意，在上恒成立 ‎ 令，则，当且仅当时取等号． ‎ 所以在上单调递增，‎ 因此， 在上单调递增，． ‎ 所以．所求实数的取值范围为 ‎22．（1）点 ；（2）‎ 试题解析:（1）点的直角坐标为；‎ 由得①‎ 将，，代入①，‎ 可得曲线的直角坐标方程为．‎ ‎（2）直线 的直角坐标方程为，‎ 设点的直角坐标为，则，‎ 那么到直线的距离：‎ ‎ ，‎ ‎（当且仅当时取等号），‎ 所以到直线的距离的最小值为．‎ ‎23．(1) .‎ ‎(2) .‎ 详解：（1）显然，当时，解集为，，无解；‎ 当时，解集为，，，‎ 综上所述. ‎ ‎(2)当时，令 由此可知在上单调递减，在上单调递增，当时，取到最小值-2，由题意知，，. ‎