2021届课标版高考理科数学大一轮复习课件：6-4　数列求和、数列的综合应用（讲解部分） 17页

6.4 　数列求和、数列的综合应用 高考理数 考点一    数列求和 考点清单 考向基础 1.公式法 直接用等差、等比数列的求和公式求解. 2.分组求和法 根据数列或数列通项公式的特征,将其分解为一些可以直接求和的数列 (如等差数列、等比数列、常数列等),再分组求和. 3.错位相减法 在数列{ a n b n }中,{ a n }是等差数列,{ b n }是等比数列,可用错位相减法求此数 列的前 n 项和.如 等比数列 的前 n 项和公式就是用此方法推导的. 4.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差,相加过程中消去中间项,只剩有限项再求和, 分式型数列的求和多用此法. 常见的裂项方法: (1)   =   -   ; (2)   =     ; (3)   =   -   ; (4)   =   -   ; (5)   =     ; (6)若{ a n }为等差数列,公差为 d ( d ≠ 0),则   =     . 5.倒序相加法 已知数列的特征是“与首末两端等距离的两项之和等于首末两项之和”. 先把求和的式子倒过来写,然后对两个求和的式子进行相加,即可求出该数 列的前 n 项和.如等差数列的前 n 项和公式就是用此方法推导的. 6.并项求和法 一个数列的前 n 项和中,可两两结合求解,则称为并项求和.形如 a n =(-1) n f ( n ), 可采用并项求和法. 考向突破 考向    数列求和 例     (2020届江西临川一中第一次联考,17)已知数列{ a n }满足   -   =0,且 a 1 =   . (1)求数列{ a n }的通项公式; (2)求数列   的前 n 项和 S n . 解析 　(1)因为   -   =0,所以 a n +1 =   a n , 又 a 1 =   ,所以数列{ a n }为等比数列, 且首项为   ,公比为   .故 a n =   . (2)由(1)知   =2 n ,所以   +2 n =2 n +2 n . 所以 S n =   +   =2 n +1 + n 2 + n -2. 考点二    数列的综合应用 考向基础 1.数列与函数综合问题 (1)已知函数解决数列问题时,一般利用函数的性质、图象来解决. (2)已知数列解决函数问题时,一般要利用数列的通项公式、前 n 项和公 式、求和方法等对式子化简变形. 注意数列与函数的不同,数列只能看作自变量为正整数的一类函数,在解决 问题时要注意这一特殊性. 2.数列与不等式的综合问题 (1)判断数列问题中的一些不等关系时,可以利用数列的单调性比较大小, 或者借助数列对应函数的单调性比较大小,还可以作差或作商比较大小; (2)以数列为载体,考查不等式的恒成立问题时,可转化为函数的最值问题; (3)考查与数列有关的不等式的证明问题时,常通过构造函数证明,或者直 接利用放缩法证明. 考向突破 考向一    数列与函数的综合应用 例1     (2018江西南昌莲塘一中质量检测,16)函数 f ( x )=   , g ( x )= f ( x -1)+1, a n = g   + g   + g   + … + g   , n ∈N * ,则数列{ a n }的通项公式为 　　　    . 解析 　由题意知 f ( x )的定义域为R, 又 f (- x )=   =   =- f ( x ), ∴函数 f ( x )=   为奇函数. g ( x )+ g (2- x )= f ( x -1)+1+ f (2- x -1)+1= f ( x -1)+ f (1- x )+2,由 f ( x )=   为奇函数,知 f ( x -1)+ f (1- x )=0, ∴ g ( x )+ g (2- x )=2. a n = g   + g   + g   + … + g   , n ∈N * ,① a n = g   + g   + g   + … + g   , n ∈N * ,② 由①+②得2 a n =   +   + … +   = (2 n -1) × 2, 则数列{ a n }的通项公式为 a n =2 n -1. 答案      a n =2 n -1 考向二    数列与不等式的综合应用 例2     (2019河南郑州一模,10)已知数列{ a n }满足2 a n +1 + a n =3( n ∈N * ),且 a 3 =   , 其前 n 项之和为 S n ,则满足不等式| S n - n -6|<   的最小整数 n 是   (　　) A.8　　　　    B.9　　　　    C.10　　　　    D.11 解析 　由2 a n +1 + a n =3,得 a n +1 -1=-   ( a n -1),又 a 3 =   ,∴ a 2 -1=-2( a 3 -1)=-   , a 1 -1=-2( a 2 -1)=9.∴{ a n -1}是首项为9,公比为-   的等比数列,则 a n -1=9·   , a n =1+9·   ,则 S n = n +9·   = n +6-6·   ,则| S n - n -6|=3·   ,| S n - n -6|<   即3·   <   ,解得 n >9, ∴满足不等式| S n - n -6|<   的最小整数 n 是10.故选C. 答案     C 方法1      错位相减法求和 1.如果数列{ a n }是等差数列,{ b n }是等比数列,求数列{ a n · b n }的前 n 项和时,常 采用错位相减法. 2.用错位相减法求和时,应注意: (1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形. (2)在写出“ S n ”与“ qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以 便于下一步准确地写出“ S n - qS n ”的表达式. (3)应用等比数列求和公式必须注意公比 q 是否等于1,如果 q =1,应用公式 S n = na 1 . 方法技巧 例1     (2018河南、河北两省联考,18)已知数列{ a n }的前 n 项和为 S n , a 1 =5, nS n +1 -( n +1) S n = n 2 + n . (1)求证:数列   为等差数列; (2)令 b n =2 n a n ,求数列{ b n }的前 n 项和 T n . 解题导引   解析 　(1)证明:由 nS n +1 -( n +1) S n = n 2 + n 得   -   =1, 又   =5,所以数列   是首项为5,公差为1的等差数列. (2)由(1)可知   =5+( n -1)= n +4,所以 S n = n 2 +4 n . 当 n ≥ 2时, a n = S n - S n -1 = n 2 +4 n -( n -1) 2 -4( n -1)=2 n +3. 又 a 1 =5符合上式,所以 a n =2 n +3( n ∈N * ), 所以 b n =(2 n +3)2 n ,所以 T n =5 × 2+7 × 2 2 +9 × 2 3 + … +(2 n +3)2 n ,   ① 2 T n =5 × 2 2 +7 × 2 3 +9 × 2 4 + … +(2 n +1)2 n +(2 n +3)2 n +1 ,   ② 所以②-①得 T n =(2 n +3)2 n +1 -10-(2 3 +2 4 + … +2 n +1 )=(2 n +3)2 n +1 -10-   =(2 n +3)2 n +1 -10-(2 n +2 -8)=(2 n +1)2 n +1 -2. 方法2      裂项相消法求和 1.对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列,在求和时常用“裂项法”, 分式型数列的求和多用此法. 2.利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一 项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项.将通项裂项后,有时需要调整前面 的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等. 例2     (2019全国Ⅰ卷高三五省优创名校联考,17)设数列{ a n }的前 n 项和为 S n , a 1 =3,且 S n = na n +1 - n 2 - n . (1)求{ a n }的通项公式; (2)若数列{ b n }满足 b n =   ,求{ b n }的前 n 项和 T n . 解析 　(1)当 n =1时, a 2 - a 1 =2; 当 n ≥ 2时,由 S n = na n +1 - n 2 - n 得 S n -1 =( n -1) a n -( n -1) 2 -( n -1), 两式相减得 a n = na n +1 -( n -1) a n -2 n , 整理得 a n +1 - a n =2. 综上可知,数列{ a n }是首项为3、公差为2的等差数列,从而得 a n =2 n +1. (2)由(1)得 b n =   =     , 所以 T n =     =     =   -   .