内蒙古包头市包钢第四中学2019届高三第四次模拟考试数学（文）试题 11页

文科数学试题 一、选择题（本大题共12小题，共60分）‎ 1. 已知集合2，3，4，5，6，，集合，则　　‎ A. 2，3，5，6， B. 3，4， C. 3， D. ‎ 2. 若其中i是虚数单位，则实数　　‎ A. B. C. 1 D. 3‎ 3. 当时，在同一坐标系中，函数与的图象是　　‎ A. B. C. D. ‎ 4. 已知直线平面，直线平面，有下列命题： ， 正确的命题是　　‎ A. 与  B. 与 C. 与 D. 与 5. 从1，2，3，4，5，6中任意取出两个不同的数，其和为7的概率为　　‎ A. B. C. D. ‎ 6. 设等差数列的前n项和为，若，，则　　‎ A. 45 B. 54 C. 72 D. 81‎ 7. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为　　‎ A. B. C. D. ‎ 8. 若函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为　　‎ A. ‎ B. ‎ C. D. ‎ 9. 如图，是以ABCD为底面的长方体的一个斜截面，其中，，，，，则该几何体的体积为　　 A. 96 B. 102 C. 104 D. 144‎ 1. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数例如：，，已知函数，则函数的值域为　　‎ A. B. C. 1， D. 1，2，‎ 2. 已知抛物线C：的焦点为F，直线l过焦点F与抛物线C分别交于A，B两点，且直线l不与x轴垂直，线段AB的垂直平分线与x轴交于点，则的面积为　　‎ A. B. C. D.‎ 3. 如图是函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是　　‎ A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ 4. 若变量x，y满足约束条件则的最大是______．‎ 5. 在中，D为BC的中点，E为AD的中点，F为BE的中点，若，则______．‎ 6. 数列满足，则数列的通项公式为______．‎ 7. 已知双曲线的右焦点为F，以F为圆心，焦距为半径的圆交y轴正半轴于点M，线段FM交双曲线于点P，且，则双曲线的离心率为______．‎ 三、解答题（本大题共7小题，共70分）‎ 8. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 Ⅰ求角C的大小； Ⅱ若，，求的面积． ‎ 9. 如图，在三棱锥中，，，平面PAB，D、E分别是AC，BC上的点，平面PAB． Ⅰ求证：平面PDE； Ⅱ若D为线段AC中点，求点B到平面PDE的距离． ‎ 10. 十九大提出，坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村真脱贫，坚持扶贫 同扶智相结合，帮助贫困村种植蜜柚，并利用电商进行销售，为了更好地销售，现从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，其质量分别在，，，，，单位：克中，其频率分布直方图如图所示， Ⅰ已经按分层抽样的方法从质量落在，的蜜柚中抽取了5个，现从这5个蜜柚中随机抽取2个求这2个蜜柚质量均小于2000克的概率： Ⅱ以各组数据的中间值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚等待出售，某电商提出了两种收购方案： 方案一：所有蜜柚均以30元千克收购； 方案二：低于2250克的蜜柚以60元个收购，高于或等于2250克的以80元个收购． 请你通过计算为该村选择收益最好的方案．‎ 1. 已知F是椭圆的右焦点，过点F的直线交椭圆于A，B两点是AB的中点，直线OM与直线交于点N． Ⅰ求征：； Ⅱ求四边形OANB面积的最小值． ‎ 2. 已知函数 Ⅰ若，求函数的单调区间； Ⅱ若函数有两个极值点，求征：． ‎ 3. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是． Ⅰ求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； Ⅱ设直线l与曲线C相交于A，B两点，当时，求的取值范围． ‎ 4. 已知函数 Ⅰ求不等式的解集； Ⅱ若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围． ‎ 答案（文科）‎ ‎1. B 2. A 3. C 4. D 5. B 6. B 7. C 8. D 9. B 10. C 11. A 12. D ‎ ‎13. 7  14.  15.    16.  ‎ ‎【解析】‎ ‎1. 解：集合2，3，4，5，6，， 集合3，4，， 3，4，．故选：B． 2. 解：，， ，故选：A．‎ ‎3. 解：函数与可化为 函数，其底数大于1，是增函数， 又，当时是减函数， 两个函数是一增一减，前增后减．故选：C． 4. 解：，，，又直线，故有，即正确； ，，，或，此时l与m可能平行，相交或异面，即错误； ，，，又，故有，即正确． ，，又，此时与可能相交可能平行，故错误；故选：D． 本题应逐个判断：需用熟知的定理即线线垂直，面面垂直来说明，可举出反例来即可． 5. 解：从1，2，3，4，5，6中任意取出两个不同的数，共有15种不同的取法， 它们分别是，，，，，，，，，，，，，，， 从1，2，3，4，5，6中任意取出两个不同的数，它们的和为7，则不同的取法为：，，，共有3种情形， 故所求的概率为，故选：B． 6. 解：由等差数列的性质可得：，，成等差数列． ，解得．故选：B． 由等差数列的性质可得：，，成等差数列即可得出． 7. 解：，为R上的增函数， ， 因为，所以，所以，但， 所以的零点在区间，故选：C． 8. 解：由函数的部分图象可知，‎ ‎， 故， 所以，即：． 由函数图象的对称轴为， 所以：，， 因， 故， 所以故选：D． 根据图象得到函数的振幅和周期，从而得到A，的值，再根据对称轴得到的值后可得函数的解析式． 已知的图象，求其解析式时可遵循“两看一算”，“两看”指从图象上看出振幅和周期，“一算”指利用最高点或最低点的坐标计算．‎ ‎9. 解：过作，垂足为E， 平面平面，． 过作，垂足为H， ， ． 平面平面，和是它们分别与截面的交线， ． 过作，垂足为H， 则，． 作，垂足为G，作，垂足为F，连接EF，EH， 则几何体被分割成一个长方体， 一个斜三棱柱，一个直三棱柱． 从而几何体的体积为： ． 故选：B． 过作，垂足为E，通过平面平面，说明过作，垂足为H，然后求的长，作，垂足为G，作，垂足为F，连接EF，EH，则几何体被分割成一个长方体，一个斜三棱柱，一个直三棱柱分别求出体积，即可求这个几何体的体积． 本题考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎10.解析：本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ A．，‎ B．，‎ C．，‎ D．.‎ ‎ 故选：C．‎ ‎11. 解：的焦点坐标是， 则过焦点且垂直x轴的直线是，代入得， 故． 故选：D． 先求出抛物线的焦点坐标，从而得出垂直x轴的直线方程，将直线方程代入求得y的值，即可求出． 直线与圆锥曲线相交时的产生的对称问题，应利用两个几何性质来构造不同变量之间的关系，这个两个几何性质就是中点和垂直．‎ ‎12. 解：由函数的部分图象得，，即有， 从而， 而在定义域内单调递增， ， 由函数的部分图象，结合抛物线的对称轴得到： ，解得， ， 函数的零点所在的区间是； 故选：D． 由二次函数图象的对称轴确定a的范围，据的表达式计算和的值的符号，从而确定零点所在的区间． 本题主要考查了导数的运算，以及函数零点的判断，同时考查了运算求解能力和识图能力，属于基础题．‎ ‎13. 解：不等式组对应的可行域所示： 其中， 当动直线过A时，z有最大值为7． 故答案为：7‎ ‎． 画出不等式组对应的可行域后平移动直线可得z的最大值． 二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如表示动直线的横截距的三倍，而则表示动点与的连线的斜率．‎ ‎14.【解答】 解：联立，得， ， 设，，则， ． 故答案为．‎ ‎15. 解：当时，， ， 两式相减得， 则， 当时，满足， 综上． 故答案为： 构造新数列，利用作差法即可． 本题主要考查数列通项公式的求解，根据作差法是解决本题的关键．‎ ‎16. 解：如图， 为BC的中点，E为AD的中点，F为BE的中点； ； 又； ‎ 根据平面向量基本定理得，； ． 故答案为：． 可画出图形，根据D为BC的中点，E为AD的中点，F为BE的中点即可得出，而根据平面向量基本定理即可求出，，从而得出． 考查向量加法的平行四边形法则，以及向量数乘的几何意义，平面向量基本定理．‎ ‎17. 解：Ⅰ因为， 所以，即， 由正弦定理得到：，即：， 因为， 故，所以， 又， 可得：． Ⅱ由Ⅰ得由余弦定理可得：， 所以：，由于，，得， 可得：．  ‎ ‎18. 证明：Ⅰ平面PAB，平面ABC， 平面平面， ，又平面PDE，平面PDE． 解：Ⅱ取AB的中点为F，连接EF， ，， 平面平面ABC， 平面平面，平面PAB， 平面ABC， 又，，故PF为等腰直角三角形斜边AB上的高，故， 点P到平面ABC的距离为， 为线段AC中点，，故E为BC的中点，故DE， 平面PAB，平面PAB，，同理， ，，故AD， 而，故EF， 又平面ABC，平面ABC，故AB， ，故AB平面PEF，而平面PEF， ，故DE， 在中，，，故， 在中，，，故 ‎， 故， 又， 设点B到平面PDE的距离为d， 则， 解得．  ‎ ‎19. 解：Ⅰ质量落在和中的频率分别是和，分层抽样的方法抽取5个蜜柚，则中抽取2个，中抽取3个，2个蜜柚质量均小于2000的概率为； Ⅱ根据题意， 方案一收益为： 元 方案二收益为：     元 ， 选择方案二．  ‎ ‎20. 解：设，为曲线C：上两点， 则直线AB的斜率为； 设直线AB的方程为，代入曲线C：， 可得，即有，， 再由的导数为， 设，可得M处切线的斜率为， 由C在M处的切线与直线AB平行，可得， 解得，即， 由可得，， 即为， 化为， 即为， 解得． 则直线AB的方程为．    ‎ ‎21. 解：Ⅰ当时，， ， 当时，，当时，， 的增区间为，减区间为． Ⅱ， 有两个极值点，，故，为的两个正数解， ，， ， 令，则， 在上单调递增，， ．  ‎ ‎22. 解Ⅰ由消去参数可得直线l的普通方程为：； 由得曲线C的直角坐标方程为：． Ⅱ将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得：， 设A，B对应的参数为，， 则，， 则， ，．  ‎ ‎23. 解：Ⅰ函数； 画出函数的图象，如图所示， 根据函数图象知，当时，x的取值范围是，或 ‎； 所以不等式的解集为； Ⅱ恒成立，即恒成立， 令， 则， 所以的最小值为， 则a的取值范围是．  ‎