2021高考数学大一轮复习考点规范练17定积分与微积分基本定理理新人教A版 5页

考点规范练17　定积分与微积分基本定理 ‎　考点规范练A册第11页　 ‎ 基础巩固 ‎1.若‎0‎π‎2‎(sin x-acos x)dx=2,则实数a等于(　　)‎ A.-1 B.1 C.-‎3‎ D‎.‎‎3‎ 答案:A 解析:‎∵‎‎0‎π‎2‎(sinx-acosx)dx=(-cosx-asinx)‎|‎‎0‎π‎2‎=-a+1=2,∴a=-1.‎ ‎2.若f(x)=x2+2‎0‎‎1‎f(x)dx,则‎0‎‎1‎f(x)dx=(　　)‎ A.-1 B.-‎1‎‎3‎ C‎.‎‎1‎‎3‎ D.1‎ 答案:B 解析:设‎0‎‎1‎f(x)dx=c,∴f(x)=x2+2c,‎ 则‎0‎‎1‎f(x)dx=‎1‎‎3‎x3‎|‎‎0‎‎1‎+2cx‎|‎‎0‎‎1‎‎=‎‎1‎‎3‎+2c=c⇒c=-‎1‎‎3‎,故选B.‎ ‎3.(2019河北张家口质检)如图,由曲线y=x2-4,直线x=0,x=4和x轴围成的封闭图形(阴影部分)的面积是(　　)‎ A‎.‎‎0‎‎4‎(x2-4)dx B‎.‎‎0‎‎4‎x‎2‎‎-4)dx C‎.‎‎0‎‎4‎|x2-4|dx D‎.‎‎0‎‎2‎(x2-4)dx+‎2‎‎4‎(x2-4)dx 答案:C 5‎ 解析:当0≤x≤2时,S1=‎0‎‎2‎[0-(x2-4)]dx=‎0‎‎2‎(4-x2)dx;当2≤x≤4时,S2=‎2‎‎4‎(x2-4)dx.‎ 故S=S1+S2=‎0‎‎2‎(4-x2)dx+‎2‎‎4‎(x2-4)dx=‎0‎‎4‎|x2-4|dx.‎ ‎4.由曲线f(x)=x与y轴及直线y=m(m>0)围成的图形的面积为‎8‎‎3‎,则m的值为(　　)‎ A.2 B.3 C.1 D.8‎ 答案:A 解析:S=‎0‎m‎2‎(m-x)dx=mx-‎‎2‎‎3‎x‎3‎‎2‎‎|‎‎0‎m‎2‎=m3-‎2‎‎3‎m3=‎8‎‎3‎,解得m=2.‎ ‎5.一质点运动时速度与时间的关系为v(t)=t2-t+2,质点做直线运动,则时间在区间[1,2]内此质点的位移为(　　)‎ A‎.‎‎17‎‎6‎ B‎.‎‎14‎‎3‎ C‎.‎‎13‎‎6‎ D‎.‎‎11‎‎6‎ 答案:A 解析:s=‎1‎‎2‎(t2-t+2)dt=‎‎1‎‎3‎t‎3‎‎-‎1‎‎2‎t‎2‎+2t‎|‎‎1‎‎2‎‎=‎17‎‎6‎.‎ ‎6.由直线y=2x及曲线y=4-2x2围成的图形的面积为(　　)‎ A.1 B.3 C.6 D.9‎ 答案:D 解析:由y=2x,‎y=4-2x‎2‎,‎得x=1,‎y=2‎或x=-2,‎y=-4,‎ 故直线y=2x及曲线y=4-2x2围成的封闭图形的面积为S=‎-2‎‎1‎(4-2x2-2x)dx=‎4x-‎2‎‎3‎x‎3‎-‎x‎2‎‎|‎‎-2‎‎1‎=9.‎ ‎7.设f(x)=‎0‎xsin tdt,则ffπ‎2‎的值等于(　　)‎ A.-1 B.1 C.-cos 1 D.1-cos 1‎ 答案:D 解析:∵fπ‎2‎‎=‎‎0‎π‎2‎sintdt=(-cost)‎|‎‎0‎π‎2‎=1,‎ ‎∴ffπ‎2‎=f(1)=‎0‎‎1‎sintdt=(-cost)‎|‎‎0‎‎1‎=1-cos1.‎ 5‎ ‎8.设函数f(x)=xm+ax的导函数f'(x)=2x+1,则‎1‎‎2‎f(-x)dx的值等于(　　)‎ A‎.‎‎5‎‎6‎ B‎.‎‎1‎‎2‎ C‎.‎‎2‎‎3‎ D‎.‎‎1‎‎6‎ 答案:A 解析:因为f(x)=xm+ax的导函数为f'(x)=2x+1,所以f(x)=x2+x,‎ 于是‎1‎‎2‎f(-x)dx=‎1‎‎2‎(x2-x)dx=‎‎1‎‎3‎x‎3‎‎-‎‎1‎‎2‎x‎2‎‎|‎‎1‎‎2‎‎=‎5‎‎6‎.‎ ‎9‎.‎‎0‎‎1‎(ex+x)dx=　　　　　. ‎ 答案:e-‎‎1‎‎2‎ 解析:‎0‎‎1‎(ex+x)dx=ex‎+‎‎1‎‎2‎x‎2‎‎|‎‎0‎‎1‎=e+‎1‎‎2‎-1=e-‎‎1‎‎2‎‎.‎ ‎10.若函数f(x)在R上可导,f(x)=x3+x2f'(1),则‎0‎‎2‎f(x)dx=.‎ 答案:-4‎ 解析:因为f(x)=x3+x2f'(1),‎ 所以f'(x)=3x2+2xf'(1).‎ 所以f'(1)=3+2f'(1),‎ 解得f'(1)=-3.‎ 所以f(x)=x3-3x2.‎ 所以‎0‎‎2‎f(x)dx=‎0‎‎2‎(x3-3x2)dx=x‎4‎‎4‎‎-‎x‎3‎‎|‎‎0‎‎2‎=-4.‎ 能力提升 ‎11.设函数f(x)=ax2+b(a≠0),若‎0‎‎2‎f(x)dx=2f(x0),x0>0,则x0=(　　)‎ A.2 B‎.‎‎3‎‎2‎ C.1 D‎.‎‎2‎‎3‎‎3‎ 答案:D 解析:∵函数f(x)=ax2+b(a≠0),‎ ‎∴‎‎0‎‎2‎f(x)dx=ax‎3‎‎3‎‎+bx‎|‎‎0‎‎2‎‎=‎‎8‎‎3‎a+2b,‎ 5‎ 又‎0‎‎2‎f(x)dx=2f(x0),‎∴‎‎8‎‎3‎a+2b=2ax‎0‎‎2‎+2b.‎ 又x0>0,∴x0=‎‎2‎‎3‎‎3‎‎.‎ ‎12.某物体在力F(x)=‎10,0≤x≤2,‎‎3x+4,x>2‎(单位:N)的作用下沿与力F(x)相同的方向运动了4 m,则力F(x)做的功为(　　)‎ A.44 J B.46 J C.48 J D.50 J 答案:B 解析:力F(x)所做的功为‎0‎‎2‎10dx+‎2‎‎4‎(3x+4)dx=20+26=46(J).‎ ‎13.如图所示,曲线y=x2和直线x=0,x=1及y=‎1‎‎4‎所围成的图形(阴影部分)的面积为(　　)‎ A‎.‎‎2‎‎3‎ B‎.‎‎1‎‎3‎ C‎.‎‎1‎‎2‎ D‎.‎‎1‎‎4‎ 答案:D 解析:由x2=‎1‎‎4‎,得x=‎1‎‎2‎或x=-‎1‎‎2‎(舍),‎ 则阴影部分的面积为S=‎0‎‎1‎‎2‎‎1‎‎4‎‎-‎x‎2‎dx+‎1‎‎2‎‎1‎x‎2‎‎-‎‎1‎‎4‎dx=‎‎1‎‎4‎x-‎‎1‎‎3‎x‎3‎‎|‎‎0‎‎1‎‎2‎‎+‎1‎‎3‎x‎3‎‎-‎1‎‎4‎x‎|‎‎1‎‎2‎‎1‎=‎1‎‎4‎.‎ ‎14‎.‎e‎1‎‎1‎xdx+‎-2‎‎2‎‎4-‎x‎2‎dx=　　　　　. ‎ 答案:2π+1‎ 解析:因为e‎1‎‎1‎xdx=lnx‎|‎e‎1‎=lne-ln1=1,‎ 又‎-2‎‎2‎‎4-‎x‎2‎dx的几何意义表示为y=‎4-‎x‎2‎对应上半圆的面积,‎ 即‎-2‎‎2‎‎4-‎x‎2‎dx=‎1‎‎2‎‎×‎π×22=2π,‎ 5‎ 所以e‎1‎‎1‎xdx+‎-2‎‎2‎‎4-‎x‎2‎dx=2π+1.‎ ‎15.欧阳修《卖油翁》中写道:(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿.可见“行行出状元”,卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为bπ‎0‎2sin xdx cm的圆面,中间有边长为a=‎4‎π‎0‎‎1‎‎1-‎x‎2‎dx的正方形孔,若随机向铜钱上滴一滴油,则油滴(油滴大小忽略不计)正好落入孔中的概率是　　　　　. ‎ 答案:‎‎1‎‎4π 解析:因为直径为b=π‎0‎2sinxdx=(-2cosx)‎|‎π‎0‎=4cm的圆中有边长为a=‎4‎π‎0‎‎1‎‎1-‎x‎2‎dx=‎4‎π‎×‎π‎4‎=1cm的正方形,由几何概型的概率公式,得“正好落入孔中”的概率为P=‎S正方形S圆‎=‎1‎‎2‎π×‎‎2‎‎2‎=‎1‎‎4π.‎ 高考预测 ‎16.如图所示,在一个边长为1的正方形AOBC内,曲线y=x2和曲线y=x围成一个叶形图(阴影部分),向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的),则所投的点落在叶形图内部的概率是(　　)‎ A‎.‎‎1‎‎2‎ B‎.‎‎1‎‎6‎ C‎.‎‎1‎‎4‎ D‎.‎‎1‎‎3‎ 答案:D 解析:依题意知,题图中的正方形区域的面积为12=1,阴影区域的面积等于‎0‎‎1‎‎(‎x-x2)dx=‎1‎‎3‎,因此所投的点落在叶形图内部的概率等于‎1‎‎3‎,选D.‎ 5‎