数学文卷·2018届辽宁省沈阳市郊联体高三上学期期中考试（2017 13页

‎2017-2018学年度上学期沈阳市郊联体期中考试高三试题 数 学（文）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2.下列有关命题的说法正确的是（ ）‎ A．命题“，均有”的否定是：“，使得” ‎ B．“”是“”成立的充分不必要条件 ‎ C．命题“若，则”的逆否命题为“若，则” ‎ D．若“”为真命题，则“”也为真命题 ‎3.已知向量，，若，则（ ）‎ A．-4 B．-3 C．-2 D．-1 ‎ ‎4.运行下图所示的程序框图，则输出结果为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.已知为坐标原点，点的坐标为，点的坐标满足，的最大值为（ ）‎ A．-1 B．0 C.1 D．2‎ ‎6. 的内角的对边分别为，已知，，，则（ ）‎ A． B．5 C. D．‎ ‎7.设不等式组表示的平面区域为，在区域内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于1的概率是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.已知，（），则数列的通项公式是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（ ）‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 ‎ C. 向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎11.抛物线在第一象限内图象上一点处的切线与轴交点的横坐标记为，其中，若，则等于（ ）‎ A．16 B．21 C.32 D．42‎ ‎12.如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且 ‎，若（）存在最大值，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知是第三象限角，，则 ．‎ ‎14.有3个兴趣小组，甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这三位同学中有且仅有两个同学参加同一兴趣小组的概率为 ．‎ ‎15.若偶函数（），满足，且时，，则方程在内的根的个数为 ．‎ ‎16.在数列中，，，为的前项和，记，则数列的最大项为第 项.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知，函数，数列的首项，.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎18. 某市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士—12369”的绿色环保活动小组对2016年1月—2016年12月（一年）内空气质量指数进行监测，下图是在这一年随机抽取的100天的统计结果：‎ 指数 空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中重度污染 重度污染 ‎（1）若某市某企业每天由空气污染造成的经济损失（单位：元）与空气质量指数（记）的关系为： ，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失元的概率；‎ ‎（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成列联表，并判断是否有95%的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关？‎ 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 非供暖季 合计 ‎100‎ 下面临界值表供参考：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参考公式：，其中.‎ ‎19. 已知函数，‎ ‎（1）当时，求函数的最小值和最大值；‎ ‎（2）设的内角的对应边分别为，且，，若向量与向量共线，求的值.‎ ‎20. 已知数列前项和为，满足，‎ ‎（1）求证：存在实数数使得列是等比数列；‎ ‎（2）设，求数列的前项和 ‎21. 已知函数在点处的切线方程为 ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若对函数定义域内的任一个实数，都有恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎22.已知 ‎（1）证明：；‎ ‎（2）设为正数，求证：.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:ABBCD 6-10:ADCDA 11、12：BD 二、填空题 ‎13. 14. 15. 10 16. 6‎ 三、解答题 ‎17. （Ⅰ） ， ‎ ‎(Ⅱ)由得，‎ 数列是以为首项，为公差的等差数列， ‎ ‎18. (Ⅰ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失元”为事件,‎ 由，得，‎ ‎ ‎（Ⅱ）根据以上数据得到如下表：‎ 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 非供暖季 合计 ‎ 所以有的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关.‎ ‎19. （Ⅰ） 当 ，即时，有最小值为 当 ，即时，有最大值为 ‎ ‎ (Ⅱ) 与向量共线 由正弦定理得① ‎ ，由余弦定理可得② ‎ ‎①②联立可得 ‎20. (Ⅰ）（1）当时， ‎（2）当时， 设，则 是以2为首项，2为公比的等比数列…6分 ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ）得， ‎ ‎ ‎ ‎21. 解：(Ⅰ） 点处的切线方程为，，‎ 解得： ‎ ‎ (Ⅱ)由(Ⅰ）得，由得， 令，，‎ 令，则，‎ ‎∴在区间上是减函数， ‎ ‎∴当时，，，在是增函数，‎ 当时，，，在是减函数，‎ ‎∴当时，有最大值， ‎ ‎∴m的取值范围是 ‎22. (Ⅰ） ‎ ‎ ‎ 当且仅当时取等号 ‎ ‎(Ⅱ)要证： 需证： 即证： 需证： ‎ 为正数，由基本不等式，可得 ，，，‎ 当且仅当时取等号 将以上三个同向不等式相乘得 即，‎ 所以原不等式成立 ‎2017----2018学年度上学期沈阳市郊联体期中考试高三试题 数 学（文科）参考答案 一、ABBCD ADCDA BD 二、13. 14. 15. 10 16. 6‎ 三、17.（Ⅰ） ，…………………2分 ……5分………………………………………………………………6分 ‎ (Ⅱ)由得，‎ 数列是以为首项，为公差的等差数列，…………8分 ‎ ……………………………9分 ‎ …………………………12分 18. ‎(Ⅰ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失元”为事件,‎ 由，得，‎ …………………………4分 ‎（Ⅱ）根据以上数据得到如下表：‎ 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 非供暖季 合计 ‎…………8分 …………………………10分 所以有的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关. ……………12分 ‎19.（Ⅰ） ‎…………………3分 ‎ ‎ 当 ，即时，有最小值为 ‎ 当 ，即时，有最大值为 …………………6分 ‎ ‎ (Ⅱ) ‎ ……………8分 ‎ 与向量共线 由正弦定理得① …………………………………10分 ‎ ，由余弦定理可得② ……………………11分 ‎①②联立可得…………………………12分 20. ‎(Ⅰ）（1）当时，………………………………1分 ‎ （2）当时， ‎ ‎ ……………3分 ‎ 设，则 ‎ ‎ 是以2为首项，2为公比的等比数列…6分 ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ）得， …………………………7分 ‎ ‎ …………………9分 …………………11分 …………………………………………………12分 ‎21.解：(Ⅰ） 点处的切线方程为，，‎ 解得： ……………………………4分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ）得，由得， 令，，………………………6分 令，则，‎ ‎∴在区间上是减函数， ………………………………8分 ‎∴当时，，，在是增函数，‎ ‎ 当时，，，在是减函数，‎ ‎∴当时，有最大值，……………………10分 ‎∴m的取值范围是 …………………………………12分 22. ‎(Ⅰ） ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当且仅当时取等号 …………………………………………5分 ‎(Ⅱ)要证： 需证： 即证： 需证： ………………………………8分 为正数，由基本不等式，可得 ，，，‎ 当且仅当时取等号 将以上三个同向不等式相乘得 即，‎ 所以原不等式成立 ………………………………10分 ‎ ‎