2019届二轮复习（文）第十章计数原理、概率第8节课件（30张）（全国通用） 30页

第 8 节　离散型随机变量的均值与方差 最新考纲　 了解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念 . 1. 离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 X 的分布列为 知 识 梳 理 X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n （ 1 ）均值 称 E （ X ） ＝ ________________________________ 为 随机变量 X 的均值 或 _________ ， 它反映了离散型随机变量取值 的 ________________. x 1 p 1 ＋ x 2 p 2 ＋ … ＋ x i p i ＋ … ＋ x n p n 数学期望 平均水平 （ 2 ）方差 2. 均值与方差的性质 （ 1 ） E （ aX ＋ b ） ＝ _________ . （ 2 ） D （ aX ＋ b ） ＝ __________ （ a ， b 为常数） . 3. 两点分布与二项分布的均值、方差 （ 1 ）若 X 服从两点分布，则 E （ X ） =_____ ， D （ X ） ＝ ______________ . （ 2 ）若 X ～ B （ n ， p ），则 E （ X ） ＝ ______ ， D （ X ） ＝ _______________ . 平均偏离程度 标准差 aE ( X ) ＋ b a 2 D ( X ) p p (1 － p ) np np (1 － p ) [ 常用结论与微点提醒 ] 1. 已知随机变量 X 的均值、方差，求 X 的线性函数 Y ＝ aX ＋ b 的均值、方差和标准差，可用均值、方差的性质求解； 2. 如能分析所给随机变量服从常用的分布（如二项分布），可直接利用它们的均值、方差公式求解 . 诊 断 自 测 1. 思考辨析（在括号内打 “√” 或 “×” ） （ 1 ）期望值就是算术平均数，与概率无关 . （　　） （ 2 ）随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量 . （　　） （ 3 ）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小 . （　　） （ 4 ）均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事 . （　　 ） 解析　 均值即期望值刻画了离散型随机变量取值的平均水平，而方差刻画了离散型随机变量的取值偏离期望值的平均程度，因此它们不是一回事，故（ 1 ）（ 4 ）均不正确 . 答案 　（ 1 ） × 　（ 2 ） √ 　（ 3 ） √ 　（ 4 ） × 2. （选修 2 － 3P68T1 改编） 已知 X 的分布列为 设 Y ＝ 2 X ＋ 3 ，则 E （ Y ）的值为（　　） 答案　 A 答案 　 8 4. （ 2017· 全国 Ⅱ 卷） 一批产品的二等品率为 0.02 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100 次， X 表示抽到的二等品件数，则 D （ X ）＝ 　　　　 . 解 析 　有放回地抽取，是一个二项分布模型，则 X ～ B （ 100 ， 0.02 ），所以 D （ X ）＝ np （ 1 － p ）＝ 100 × 0.02 × 0.98 ＝ 1.96. 答 案 　 1.96 5. （ 2018· 金华十校联考） 已知随机变量 X 的分布列如下： 则 a ＝ 　　　　　 ，数学期望 E （ X ）＝ 　　　　　 . 6. （ 2018· 湖州调研） 甲、乙两人被随机分配到 A ， B ， C 三个不同的岗位（一个人只能去一个工作岗位） . 记分配到 A 岗位的人数为随机变量 X ，则随机变量 X 的数学期 望 E （ X ）＝ 　　　　　 ，方差 D （ X ）＝ 　　　　　 . 考点一　一般分布列的均值与方差 【例 1 】 （ 1 ） （ 2018· 浙江三市联考） 已知某口袋中有 3 个白球和 a 个黑球（ a ∈ N * ），现从中随机取出一球，再放回一个不同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球），记换好球后袋中白球的个数是 ξ . 若 E （ ξ ）＝ 3 ，则 D （ ξ ）＝（　　） （ 2 ） （ 2018· 浙江五校联考） 从装有大小相同的 3 个红球和 6 个白球的袋子中，不放回地每摸出 2 个球为一次试验，直到摸出的球中有红球时试验结束，则第一次试验恰摸到一个红球和一个白球的概率是 　　　　 ；若记试验次数为 X ，则 X 的数学期望 E （ X ）＝ 　　　　 . 规律方法 　（ 1 ）求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算 . （ 2 ）注意 E （ aX ＋ b ）＝ aE （ X ）＋ b ， D （ aX ＋ b ）＝ a 2 D （ X ）的应用 . 【训练 1 】 （ 1 ） （ 2018· 浙江名校三联） 随机变量 X 的分布列如下： 则 p ＝ 　　　　 ；若 Y ＝ 2 X ＋ 3 ，则 E （ Y ）＝ 　　　　 . （ 2 ） （ 2018· 温州九校联考） 将四位同学等可能地分到甲、乙、丙三个班级，则甲班级至少有一位同学的概率是 　　　　　　　　 ，用随机变量 ξ 表示分到丙班级的人数，则 E （ ξ ）＝ 　　　　　 . X － 2 0 1 P p 考点二　与二项分布有关的均值、方差 所以在 2 次试验中成功次数 X 的分布列为 规律方法 　二项分布的期望与方差 （ 1 ）如果 ξ ～ B （ n ， p ），则用公式 E （ ξ ）＝ np ； D （ ξ ）＝ np （ 1 － p ）求解，可大大减少计算量 . （ 2 ）有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用 E （ aξ ＋ b ）＝ aE （ ξ ）＋ b 以及 E （ ξ ）＝ np 求出 E （ aξ ＋ b ），同样还可求出 D （ aξ ＋ b ） . ∴ ξ 的分布列为：