人教版高三数学总复习课时作业11 9页

课时作业11　函数与方程 一、选择题 ‎1．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)‎ A.，0 B．－2,0‎ C. D．0‎ 解析：当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为x>1，所以此时方程无解．综上函数f(x)的零点只有0.‎ 答案：D ‎2．设f(x)＝x3＋bx＋c是[－1,1]上的增函数，且f·f<0，则方程f(x)＝0在[－1,1]内(　　)‎ A．可能有3个实数根 B．可能有2个实数根 C．有唯一的实数根 D．没有实数根 解析：由f(x)在[－1,1]上是增函数，且f·f<0，知f(x)在上有唯一零点，所以方程f(x)＝0在[－1，1]上有唯一实数根．‎ 答案：C ‎3．函数f(x)＝－|x－5|＋2x－1的零点所在的区间是(　　)‎ A．(0,1) B．(1,2)‎ C．(2,3) D．(3,4)‎ 解析：依题意得f(0)·f(1)>0，f(1)·f(2)>0，f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)>0，故f(x)的零点所在区间是(2,3)，故选C.‎ 答案：C ‎4．(2014·湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x.则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为(　　)‎ A．{1,3} B．{－3，－1,1,3}‎ C．{2－，1,3} D．{－2－，1,3}‎ 解析：当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋3x]＝－x2－3x，易求得g(x)解析式g(x)＝当x2－4x＋3＝0时，可求得x1＝1，x2＝3，当－x2－4x＋3＝0时可求得x3＝－2－，x4＝－2＋(舍去)，故g(x)的零点为1,3，－2－，故选D.‎ 答案：D ‎5．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝ex－ax，若函数在R上有4个零点，则a的取值范围是(　　)‎ A．(e，＋∞) B．(－∞，e)‎ C．(0，＋∞) D．(－∞，0)‎ 解析：当x＝0时，f(0)＝1，当x≥0时，f′(x)＝ex－a，要使函数在R上有4个零点，必有a>0.令f′(x)＝0得x＝lna，所以当x∈(0，lna)时，f(x)为减函数，当x∈(lna，＋∞)时，f(x)为增函数，只需f(lna)＝elna－alna＝a－alna<0，即a>e.所以a∈(e，＋∞)．‎ 答案：A ‎6．(2014·山东卷)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是(　　)‎ A. B. C．(1,2) D．(2，＋∞)‎ 解析：画出f(x)＝|x－2|＋1的图象如图所示．‎ 由数形结合知识，可知若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则函数g(x)与f(x)的图象应有两个不同的交点．‎ 所以函数g(x)＝kx的图象应介于直线y＝x和y＝x之间，所以k的取值范围是.‎ 答案：B 二、填空题 ‎7．函数f(x)＝的零点个数为________．‎ 解析：法1：令f(x)＝0，得或解得x＝－3或x＝e2，所以函数f(x)有两个零点．‎ 法2：画出函数f(x)的图象(图略)可得，图象与x轴有两个交点，则函数f(x)有两个零点．‎ 答案：2‎ ‎8．已知函数f(x)＝－m|x|有三个零点，则实数m的取值范围为________．‎ 解析：‎ 函数f(x)有三个零点等价于方程＝m|x|有且仅有三个实根．当m＝0时，不合题意，舍去；当m≠0时，∵＝m|x|⇔＝|x|(x＋2)，作函数y＝|x|(x＋2)的图象，如图所示，由图象可知m应满足0<<1，解得m>1.‎ 答案：m>1‎ ‎9．若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈[－1，1]时，f(x)＝1－x2，函数g(x)＝则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,10]内零点的个数为________．‎ 解析：如图，当x∈[0,5]时，结合图象知f(x)与g(x)的图象共有5个交点，故在区间[－5,0]上共有5个交点；‎ 当x∈(0,10]时，结合图象知共有9个交点．‎ 故函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,10]上共有14个零点．‎ 答案：14‎ 三、解答题 ‎10．已知函数f(x)＝x3－x2＋＋.‎ 证明：存在x0∈，使f(x0)＝x0.‎ 证明：令g(x)＝f(x)－x.‎ ‎∵g(0)＝，g＝f－＝－，‎ ‎∴g(0)·g<0，又函数g(x)在上连续，‎ ‎∴存在x0∈，使g(x0)＝0，即f(x0)＝x0.‎ ‎11．是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴有且只有一个交点．若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由．‎ 解：∵Δ＝(3a－2)2－4(a－1)＝92＋>0，‎ ‎∴若存在实数a满足条件，则只需f(－1)·f(3)≤0即可．‎ f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0，‎ 所以a≤－或a≥1.‎ 检验：①当f(－1)＝0时，a＝1.所以f(x)＝x2＋x.‎ 令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.‎ 方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠1.‎ ‎②当f(3)＝0时，a＝－，‎ 此时f(x)＝x2－x－.‎ 令f(x)＝0，即x2－x－＝0，‎ 解得x＝－或x＝3.‎ 方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠－.‎ 综上所述，a的取值范围是∪(1，＋∞)．‎ ‎1．方程log5x＝|sinx|的解的个数为(　　)‎ A．1 B．3‎ C．4 D．5‎ 解析：函数y＝log5x和y＝|sinx|的图象的交点的个数即为方程解的个数，作出这两个函数的图象(如图)，log5<1，＝1，但当x>2π时，log5x>1，而|sinx|≤1，故两个函数图象有三个交点，即原方程有三个解．‎ 答案：B ‎2．已知定义在R上的函数f(x)满足：在[－1,1)上，f(x)＝且f(x ‎＋2)＝f(x)，g(x)＝，则方程f(x)＝g(x)在区间[－5,1]上的所有实根之和为(　　)‎ A．－7 B．－6‎ C．－8 D．0‎ 解析：∵f(x)＝，且f(x＋2)＝f(x)，又g(x)＝＝2＋，∴g(x－2)－2＝.可知当x≠2k－1，k∈Z时，函数f(x)，g(x)的图象都关于(－2,2)对称．‎ 由图象可得：方程f(x)＝g(x)在区间[－5,1]上的实根有3个，设分别为x1，x2，x3，则可取x1＝－3，x2满足－50.当x>0，a≥2时，函数y＝f(x)与y＝a|x|有一个交点；当x>0,01时，函数y＝f(x)与y＝a|x|有两个交点；当x<0，a＝1时，函数y＝f(x)与y＝a|x|有三个交点；当x<0,00.‎ ‎∴f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1.‎ 故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.‎ ‎(2)∵g(x)＝－4lnx＝x－－4lnx－2(x>0)，‎ ‎∴g′(x)＝1＋－＝.‎ 当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下：‎ x ‎(0,1)‎ ‎1‎ ‎(1,3)‎ ‎3‎ ‎(3，＋∞)‎ g′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ g(x)‎  极大值  极小值  当0