数学文卷·2017届北京昌平临川育人学校高三上学期期末考试（2017 17页

北京临川育人学校2016—2017学年上学期期末考试 高三文科数学试卷 ‎ 命题 ——李永刚 一、选择题：共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合A={0，l，3}，B={x|x2﹣3x=0}，则A∩B=（　　）‎ A．{0} B．{0，1} C．{0，3} D．{0，1，3}‎ ‎2．已知z=（i为虚数单位），则复数z=（　　）‎ A．﹣1 B．l C．i D．﹣i ‎3．设命题p：∀x＞0，x＞lnx．则￢p为（　　）‎ A．∀x＞0，x≤lnx B．∀x＞0，x＜lnx C．∃x0＞0，x0＞lnx0 D．∃x0＞0，x0≤lnx0‎ ‎4．已知向量、，其中||=，||=2，且（﹣）⊥，则向量和的夹角是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的为某几何体的三视图，则此几何体的体积为（　　）‎ A． B．1 C． D．2‎ ‎6．已知2sin2α=1+cos2α，则tan（α+）的值为（　　）‎ A．﹣3 B．3 C．﹣3或3 D．﹣1或3‎ ‎7．执行如图所示的程序框图，则输出的c的值为（　　）‎ A．6 B．8 C．13 D．21‎ ‎8．同步通讯卫星B定位于地球赤道上一点C的上空，且与地面的距离等于地球的半径，点C与地球上某点A在同一条子午线上，若A点的纬度60°，则从A点看B点的结果是（　　）‎ A．在地平线上 B．仰角为30° C．仰角为45° D．仰角为60°‎ ‎9．已知f（x）=asinx+cosx，若f（+x）=f（﹣x），则f（x）的最大值为（　　）‎ A．1 B． C．2 D．2‎ ‎10．设数列{an}的前n项和为S，若Sn+1，Sn+2，Sn+3成等差数列，且a2=﹣2，则a7=（　　）‎ A．16 B．32 C．64 D．128‎ ‎11．设双曲线=1的两焦点分别为F1，F2，P为双曲线上的一点，若PF1与双曲线的一条渐近线平行，则•=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，满足f′（x）=f（x），且f（0）=2，设函数g（x）=f（x）﹣lnf3（x）的一个零点为x0，则以下正确的是（　　）‎ A．x0∈（0，1） B．x0∈（1，2） C．x0∈（2，3） D．x0∈（3，4）‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 ‎13．已知实数x，y满足，若x﹣y的最大值为6，则实数m=　　　　　　．‎ ‎14．曲线f（x）=x3+x在（1，f（1））处的切线方程为　　　　　　．‎ ‎15．已知{an}是公差不为0的等差数列，{bn}为等比数列，满足a1=3，b1=1，a2=b2，3a5=b3，若对于每一个正整数n，均有an=a1+logabn，则常数a=　　　　　　．‎ ‎16．已知△ABC的三个顶点均在抛物线y2=x上，边AC的中线BM∥x轴，|BM|=2，则△ABC的面积为　　　　　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：第17-21题每题12分，解答赢下答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acosA=bcosC+ccosB ‎（1）求cosA ‎（2）若a=3，求△ABC的面积的最大值．‎ ‎18．如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是AA1和CC1的中点，且BE⊥B1F．‎ ‎（Ⅰ）求证B1F⊥平面BEC1；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥B1﹣BEC1的体积．‎ ‎19．某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下：‎ 甲运动员得分：34，21，13，30，29，33，28，27，10‎ 乙运动员得分：49，24，12，31，31，44，36，15，37，25，36‎ ‎（Ⅰ）根据两组数据完成甲、乙两名运动员得分的茎叶图，并通过茎叶图比较两名运动员成绩的平均值及稳定程度；（不要求计算出具体值，给出结论即可）‎ ‎（Ⅱ）若从甲运动员的9次比赛的得分中选2个得分，求两个得分都超过25分的概率．‎ ‎【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎20．在直角坐标系xOy中，圆x2+y2=4上一点P（x0，y0）（x0y0＞0）处的切线l分别交x轴、y轴于点A，B，以A，B为顶点且以O为中心的椭圆记作C，直线OP交C于M，N两点．‎ ‎（Ⅰ）若P点坐标为（，1），求椭圆C的离心率；‎ ‎（Ⅱ）证明|MN|＜4．‎ ‎21．已知函数f（x）=+elnx﹣ax在x=1处取的极值．‎ ‎（Ⅰ）求实数a的值；‎ ‎（Ⅱ）求证：f（x）≥0．‎ ‎　‎ 请考生在第23、24题中任选一题作答，并将所选的题号下的“○”涂黑，如果多做，则按所做的第一题记分，满分10分.[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎　[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．在平面直角坐标系xoy中，直线，（t为参数）与抛物线y2=2px（p＞0）相交于横坐标分别为x1，x2的A，B两点 ‎（1）求证：x02=x1x2；‎ ‎（2）若OA⊥OB，求x0的值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．已知a，b∈R+，设x=，y=，求证：‎ ‎（1）xy≥ab；‎ ‎（2）x+y≤a+b．‎ ‎　‎ 北京临川育人学校2016—2017学年上学期期末考试高三文科数学答案 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合A={0，l，3}，B={x|x2﹣3x=0}，则A∩B=（　　）‎ A．{0} B．{0，1} C．{0，3} D．{0，1，3}‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】求出B中方程的解确定出B，找出A与B的交集即可．‎ ‎【解答】解：由B中方程变形得：x（x﹣3）=0，‎ 解得：x=0或x=3，即B={0，3}，‎ ‎∵A={0，1，3}，‎ ‎∴A∩B={0，3}，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．已知z=（i为虚数单位），则复数z=（　　）‎ A．﹣1 B．l C．i D．﹣i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ ‎【解答】解：z==．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．设命题p：∀x＞0，x＞lnx．则￢p为（　　）‎ A．∀x＞0，x≤lnx B．∀x＞0，x＜lnx C．∃x0＞0，x0＞lnx0 D．∃x0＞0，x0≤lnx0‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断．‎ ‎【解答】解；∵命题是全称命题的否定，是特称命题，只否定结论．‎ ‎∴￢p：x0≤lnx0‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．已知向量、，其中||=，||=2，且（﹣）⊥，则向量和的夹角是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】数量积表示两个向量的夹角．‎ ‎【分析】利用向量垂直的数量积为0列出方程；利用向量的平方等于向量模的平方及向量的数量积公式将方程用模与夹角表示求出夹角．‎ ‎【解答】解：设两个向量的夹角为θ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 即 ‎∴‎ ‎∵θ∈[0，π]‎ ‎∴‎ 故选A ‎　‎ ‎5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的为某几何体的三视图，则此几何体的体积为（　　）‎ A． B．1 C． D．2‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】依三视图知该几何体为三棱锥，画出直观图、判断出位置关系和求出长度，利用椎体的体积公式求出答案．‎ ‎【解答】解：依三视图知该几何体为三棱锥P﹣ABC，‎ 且PD⊥平面ABD，AD⊥BD，C是AD的中点，PD=AD=BD=2，‎ 所以其体积，【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．已知2sin2α=1+cos2α，则tan（α+）的值为（　　）‎ A．﹣3 B．3 C．﹣3或3 D．﹣1或3‎ ‎【考点】两角和与差的正切函数．‎ ‎【分析】由倍角公式求得sinα与cosα的数量关系，结合正弦、余弦以及正切函数的转化关系进行解答即可．‎ ‎【解答】解：∵2sin2α=1+cos2α，‎ ‎∴4sinαcosα=1+2cos2α﹣1，‎ 即2sinαcosα=cos2α，‎ ‎①当cosα=0时，，此时，‎ ‎②当cosα≠0时，，此时，‎ 综上所述，tan（α+）的值为﹣1或3．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．执行如图所示的程序框图，则输出的c的值为（　　）‎ A．6 B．8 C．13 D．21‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的c，a，b，k的值，当k=6时不满足条件k＜6，退出循环，输出c的值即可得解．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序，可得 a=1，b=1，k=0‎ k=1，‎ 满足条件k＜6，执行循环体，c=2，a=1，b=2，k=2‎ 满足条件k＜6，执行循环体，c=3，a=2，b=3，k=3‎ 满足条件k＜6，执行循环体，c=5，a=3，b=5，k=4‎ 满足条件k＜6，执行循环体，c=8，a=5，b=8，k=5‎ 满足条件k＜6，执行循环体，c=13，a=8，b=13，k=6‎ 不满足条件k＜6，退出循环，输出c的值为13．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．同步通讯卫星B定位于地球赤道上一点C的上空，且与地面的距离等于地球的半径，点C与地球上某点A在同一条子午线上，若A点的纬度60°，则从A点看B点的结果是（　　）‎ A．在地平线上 B．仰角为30° C．仰角为45° D．仰角为60°‎ ‎【考点】球面距离及相关计算．‎ ‎【分析】在三角形ABC中利用余弦定理求出AC值，再利用勾股定理得出BA⊥AC，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，∠B=60°，AB=R，BC=2R，‎ 由余弦定理得，AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcos60°=R2+（2R）2﹣2R•2R×=3R2，‎ ‎∴AC=R，‎ ‎∴BC2=AB2+AC2，‎ 则BA⊥AC，‎ ‎∴从A点看B点的结果是在地平线上．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．已知f（x）=asinx+cosx，若f（+x）=f（﹣x），则f（x）的最大值为（　　）‎ A．1 B． C．2 D．2‎ ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用．‎ ‎【分析】由题意得f（x）的对称轴为，及f（x）=sin（x+α），由此得到f（x）的最值的关系式，得到a=1，由此得到f（x）的最大值．‎ ‎【解答】选B．解：由题意得f（x）的对称轴为，‎ f（x）=asinx+cosx=sin（x+α）‎ 当时，f（x）取得最值 即，得a=1，‎ ‎∴f（x）的最大值为．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎10．设数列{an}的前n项和为S，若Sn+1，Sn+2，Sn+3成等差数列，且a2=﹣2，则a7=（　　）‎ A．16 B．32 C．64 D．128‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】由题意得Sn+2+Sn+1=2Sn，得an+2=﹣2an+1，从而得到{an}从第二项起是公比为﹣2的等比数列，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}的前n项和为Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列，且a2=﹣2，‎ ‎∴由题意得Sn+2+Sn+1=2Sn，得an+2+an+1+an+1=0，即an+2=﹣2an+1，‎ ‎∴{an}从第二项起是公比为﹣2的等比数列，‎ ‎∴a7=a2q5=64．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．设双曲线=1的两焦点分别为F1，F2，P为双曲线上的一点，若PF1与双曲线的一条渐近线平行，则•=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求得双曲线的a，b，c，可得两焦点的坐标和渐近线方程，可设PF1与直线平行，求得平行线的方程代入双曲线的方程，求得P的坐标，再由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：由双曲线=1的a=，b=1，c=2，‎ 得F1（﹣2，0），F2（2，0），‎ 渐近线为，‎ 由对称性，不妨设PF1与直线平行，‎ 可得，‎ 由得，‎ 即有，，‎ ‎•=﹣×+（﹣）2=﹣．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎12．已知f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，满足f′（x）=f（x），且f（0）=2，设函数g（x）=f（x）﹣lnf3（x）的一个零点为x0，则以下正确的是（　　）‎ A．x0∈（0，1） B．x0∈（1，2） C．x0∈（2，3） D．x0∈（3，4）‎ ‎【考点】函数零点的判定定理．‎ ‎【分析】求出f（x）的表达式，得到g（x）的表达式，求出g（0）和g（1）的值，从而求出x0的范围．‎ ‎【解答】解：设f（x）=kex，‎ 则f（x）满足f′（x）=f（x），‎ 而f（0）=2，∴k=2，【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎∴f（x）=2ex，‎ ‎∴g（x）=2ex﹣3x﹣3ln2，‎ ‎∴g（0）=2﹣3ln2＜0，g（1）=2e﹣3﹣3ln2＞0，【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 即在（0，1）上存在零点，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 ‎13．已知实数x，y满足，若x﹣y的最大值为6，则实数m=　8　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】依题意，在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线x﹣y=6，结合图形可知，要使直线x﹣y=6经过该平面区域内的点时，其在x轴上的截距达到最大，直线x+y﹣m=0必经过直线x﹣y=6与直线y=1的交点（7，1），于是有7+1﹣m=0，即m=8．‎ ‎【解答】解：由约束条件作出可行域如图，‎ 图形可知，要使直线x﹣y=6经过该平面区域内的点时，其在x轴上的截距达到最大，‎ 直线x+y﹣m=0必经过直线x﹣y=6与直线y=1的交点A（7，1），于是有7+1﹣m=0，即m=8．‎ 故答案为：8．‎ ‎　‎ ‎14．曲线f（x）=x3+x在（1，f（1））处的切线方程为　4x﹣y﹣2=0　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程．‎ ‎【解答】解：f（x）=x3+x的导数为f′（x）=3x2+1，‎ 可得在（1，f（1））处的切线斜率为4，切点为（1，2），‎ 即切线的方程为y﹣2=4（x﹣1），‎ 即为4x﹣y﹣2=0．‎ 故答案为：4x﹣y﹣2=0．‎ ‎　‎ ‎15．已知{an}是公差不为0的等差数列，{bn}为等比数列，满足a1=3，b1=1，a2=b2，3a5=b3，若对于每一个正整数n，均有an=a1+logabn，则常数a=　　．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由题意列式求得d，q的值，则等差数列和等比数列的通项公式可求，代入an=a1+logabn，求解即可得到a值．‎ ‎【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，‎ ‎∵a1=3，b1=1，a2=b2，3a5=b3，‎ ‎∴，解得d=6，q=9，‎ ‎∴an=3+6（n﹣1）=6n﹣3，，‎ 代入an=a1+logabn得，‎ ‎，‎ 即loga9=6，‎ ‎∴．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．已知△ABC的三个顶点均在抛物线y2=x上，边AC的中线BM∥x轴，|BM|=2，则△ABC的面积为　　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】作AH⊥BM交BM的延长线于H，求出|BM|，|AH|，即可求得△ABC的面积．‎ ‎【解答】解：根据题意设A（a2，a），B（b2，b），C（c2，c），不妨设a＞c，‎ ‎∵M为边AC的中点，∴，又BM∥x轴，则，‎ 故，‎ ‎∴（a﹣c）2=8，即，‎ 作AH⊥BM交BM的延长线于H．‎ 故．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题：第17-21题每题12分，解答赢下答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acosA=bcosC+ccosB ‎（1）求cosA ‎（2）若a=3，求△ABC的面积的最大值．‎ ‎【考点】正弦定理；余弦定理．‎ ‎【分析】（1）根据正弦定理将边化角，利用两角和的正弦函数公式化简得出cosA；‎ ‎（2）利用余弦定理和基本不等式得出bc的最大值，代入三角形的面积公式求出面积最大值．‎ ‎【解答】解：（1）在△ABC中，∵3acosA=bcosC+ccosB，‎ ‎∴3sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，即3sinAcosA=sinA，‎ 又A∈（0，π），∴sinA≠0，‎ ‎∴．‎ ‎（2）∵a2=b2+c2﹣2bccosA，即，∴b2+c2=9+bc≥2bc，∴．‎ ‎∵sinA==，‎ ‎∴△ABC的面积，（时取等号）‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎18．如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是AA1和CC1的中点，且BE⊥B1F．‎ ‎（Ⅰ）求证B1F⊥平面BEC1；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥B1﹣BEC1的体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（I）分别取BC1，BC中点D，G，连结DE，AG，DG，则可证四边形AGDE是平行四边形，AG⊥平面BCC1B1，于是AG⊥B1F，从而DE⊥B1F，结合BE⊥B1F得出B1F⊥平面BEC1；‎ ‎（II）由B1F⊥平面BEC1得出B1F⊥BC1，从而Rt△B1C1F∽Rt△BB1C1，根据相似比求出BB1，于是V=V=S•AG．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）分别取BC1，BC中点D，G，连结DE，AG，DG，‎ ‎∵D，G分别是BC1，BC的中点，‎ ‎∴DGCC1，又AECC1，‎ ‎∴四边形AGDE是平行四边形，‎ ‎∴DE∥AG．‎ ‎∵△ABC是等边三角形，G是BC的中点，‎ ‎∴AG⊥BC，‎ ‎∵BB1⊥平面ABC，AG⊂平面ABC，‎ ‎∴AG⊥BB1，又BB1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BB1∩BC=B，‎ ‎∴AG⊥平面BCC1B1，∵B1F⊂平面BCC1B1，‎ ‎∴AG⊥B1F，又∵DE∥AG．‎ ‎∴DE⊥B1F，又B1F⊥BE，BE⊂平面BEC1，DE⊂平面BEC1，BE∩DE=E，‎ ‎∴B1F⊥平面BEC1．‎ ‎（Ⅱ）∵B1F⊥平面BEC1．BC1⊂平面BEC1，‎ ‎∴B1F⊥BC1，∴Rt△B1C1F∽Rt△BB1C1，∴，‎ 设BB1=a，则C1F=，∴，解得a=2．‎ ‎∵G是BC的中点，∴AG=．‎ ‎∴V=V=S•AG==．‎ ‎　‎ ‎19．某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下：‎ 甲运动员得分：34，21，13，30，29，33，28，27，10‎ 乙运动员得分：49，24，12，31，31，44，36，15，37，25，36‎ ‎（Ⅰ）根据两组数据完成甲、乙两名运动员得分的茎叶图，并通过茎叶图比较两名运动员成绩的平均值及稳定程度；（不要求计算出具体值，给出结论即可）‎ ‎（Ⅱ）若从甲运动员的9次比赛的得分中选2个得分，求两个得分都超过25分的概率．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录能用出茎叶图，由茎叶图得，乙的平均值大于甲的平均数，甲比乙稳定．‎ ‎（Ⅱ）从9次比赛的得分中选2个得分，利用列举法能求出两个得分都超过25分的概率．‎ ‎【解答】‎ 解：（Ⅰ）茎叶图 由茎叶图得，乙的平均值大于甲的平均数，甲比乙稳定． …‎ ‎（Ⅱ）从9次比赛的得分中选2个得分，共有{34，21}，{34，13}，{34，30}，{34，29}，{34，33}，‎ ‎{34，28}，{34，27}，{34，10}，{21，13}，{21，30}，{21，29}，{21，33}，{21，28}，{21，27}，‎ ‎{21，10}，{13，30}，{13，29}，{13，33}，{13，28}，{13，27}，{13，10}，{30，29}，{30，33}，‎ ‎{30，28}，{30，27}，{30，10}，{29，33}，{29，28}，{29，27}，{29，10}，{33，28}，{33，27}，‎ ‎{33，10}，{28，27}，{28，10}，{27，10}，共36种，【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 得分都超过25分的有15种，‎ ‎∴两个得分都超过25分的概率p==．…‎ ‎　‎ ‎20．在直角坐标系xOy中，圆x2+y2=4上一点P（x0，y0）（x0y0＞0）处的切线l分别交x轴、y轴于点A，B，以A，B为顶点且以O为中心的椭圆记作C，直线OP交C于M，N两点．‎ ‎（Ⅰ）若P点坐标为（，1），求椭圆C的离心率；‎ ‎（Ⅱ）证明|MN|＜4．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）运用直线的斜率公式，可得直线l的方程，求得A，B的坐标，可得椭圆的方程，运用离心率公式可得；‎ ‎（Ⅱ）直线OP的斜率为k，依题意有k＞0且k≠1，直线OP的方程为y=kx，直线l的方程为，求得A，B的坐标，椭圆方程，代入直线y=kx，求得M，N的坐标，可得|OM|，运用基本不等式，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）kOP=，可得k1=﹣，直线l的方程为y﹣1=﹣（x﹣），‎ 令x=0，得y=4，令y=0，得x=，可得A（，0）B（0，4）．‎ 即有椭圆C的方程为+=1，‎ 离心率e===；‎ ‎（Ⅱ）证明：直线OP的斜率为k，依题意有k＞0且k≠1，‎ 直线OP的方程为y=kx，直线l的方程为，‎ 令x=0，得，令y=0，得x=ky0+x0，‎ 可得，‎ 椭圆C的方程，‎ 联立，‎ 解出，‎ 可得，，‎ 即有 ‎=‎ ‎=‎ ‎=4（1+）＜4（1+）=8，‎ 可得|OM|＜2，‎ 即有|MN|=2|OM|＜4．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=+elnx﹣ax在x=1处取的极值．‎ ‎（Ⅰ）求实数a的值；‎ ‎（Ⅱ）求证：f（x）≥0．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到f′（1）=0，解出a即可；（2）求出f（x）的导数，得到函数的单调区间，求出f（x）≥f（1）=0即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=+﹣a…①，‎ 依题意知f′（1）=0，∴a=e； …‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=+elnx﹣ex，（x＞0），‎ 则f′（x）=，‎ 令g（x）=ex﹣ex…②，‎ 则g′（x）=ex﹣e，由g′（x）=0，得x=1，‎ ‎∵当0＜x≤1时，g′（x）≤0，当x＞1时，g′（x）＞0，‎ ‎∴函数y=g（x）在（0，1]上递减，在[1，+∞）上递增，‎ ‎∴当0＜x≤1时，g（x）≥g（1）=0，当x＞1时，g（x）＞g（1）=0，‎ ‎∴对∀x∈（0，+∞），g（x）≥0，即ex≥ex…③‎ ‎∴由②③，当0＜x≤1时，x﹣1≤0，f′（x）≤0，‎ 当x＞1时，x﹣1＞0，f′（x）＞0，‎ ‎∴函数y=f（x）在（0，1]上递减，在[1，+∞）上递增，‎ ‎∴f（x）≥f（1）=0．…‎ ‎　‎ 请考生在第23、24题中任选一题作答，并将所选的题号下的“○”涂黑，如果多做，则按所做的第一题记分，满分10分.[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎ [选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．在平面直角坐标系xoy中，直线，（t为参数）与抛物线y2=2px（p＞0）相交于横坐标分别为x1，x2的A，B两点 ‎（1）求证：x02=x1x2；‎ ‎（2）若OA⊥OB，求x0的值．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质；参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（1）联立直线与抛物线方程的方程组，利用参数的几何意义化简求解即可．‎ ‎（2）通过向量垂直的充要条件，化简求解即可．‎ ‎【解答】‎ 解：（1）设直线…①与抛物线y2=2px（p＞0）…②‎ 交于点A（x1，y1），B（x2，y2），∴α≠0‎ 把①代入②，得关于t的一元二次方程 t2sin2α﹣2tpcosα﹣2px0=0，‎ 设点A，B所对应的参数分别为t1，t2，则，…③‎ ‎∴…④‎ 把③代入④得…．‎ ‎（2）∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，由（Ⅰ）知，‎ 又y1=t1sinα，y2=t2sinα，∴，‎ 由③知，∴x0=2p． …‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．已知a，b∈R+，设x=，y=，求证：‎ ‎（1）xy≥ab；‎ ‎（2）x+y≤a+b．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】（1）利用基本不等式的性质即可得出．‎ ‎（2）通过平方作差利用乘法公式即可得出．‎ ‎【解答】证明：（1）∵a，b∈R+，x=，y=，‎ ‎∴xy=≥=ab，当且仅当a=b时取等号．‎ ‎（2）∵a，b∈R+，x+y=+，‎ 则（a+b）2﹣（x+y）2=（a+b）2﹣=﹣，‎ 而（a+b）4﹣（a﹣b）4=8ab（a2+b2），∴（a+b）4﹣8ab（a2+b2）=（a﹣b）4，‎ ‎∴（a+b）2≥，‎ ‎∴（a+b）2﹣（x+y）2≥0，‎ ‎∴a+b≥x+y．‎