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- 2021-06-10 发布
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§6.2
等差数列及其前
n
项和
基础知识
自主学习
课时作业
题型分
类
深度剖析
内容索引
基础知识 自主学习
1.
等差数列的定义
一般地,如果一个数列
___________________________________________
,
那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列
的
,
通常用
字母
表示
.
2.
等差数列的通项公式
如果等差数列
{
a
n
}
的首项为
a
1
,公差为
d
,那么它的通项公式
是
_________
.
3.
等差中项
由三个数
a
,
A
,
b
组成的等差数列可以看成最简单
的
等差数列
.
这时,
A
叫做
a
与
b
的
.
知识梳理
从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差
都
等于同一个常数
公差
d
a
n
=
a
1
+
(
n
-
1)
d
等差中项
4.
等差数列的常用性质
(1)
通项公式的推广:
a
n
=
a
m
+
(
n
,
m
∈
N
*
).
(2)
若
{
a
n
}
为等差数列,且
k
+
l
=
m
+
n
(
k
,
l
,
m
,
n
∈
N
*
)
,
则
.
(3)
若
{
a
n
}
是等差数列,公差为
d
,则
{
a
2
n
}
也是等差数列,公差
为
.
(4)
若
{
a
n
}
,
{
b
n
}
是等差数列,则
{
pa
n
+
qb
n
}
也是等差数列
.
(5)
若
{
a
n
}
是等差数列,公差为
d
,则
a
k
,
a
k
+
m
,
a
k
+
2
m
,
…
(
k
,
m
∈
N
*
)
是公差
为
的
等差数列
.
(6)
数列
S
m
,
S
2
m
-
S
m
,
S
3
m
-
S
2
m
,
…
构成等差数列
.
(
n
-
m
)
d
a
k
+
a
l
=
a
m
+
a
n
2
d
md
5.
等差数列的前
n
项和公式
设等差数列
{
a
n
}
的公差为
d
,其前
n
项和
S
n
=
或
S
n
=
.
6.
等差数列的前
n
项和公式与函数的关系
数列
{
a
n
}
是等差数列
⇔
S
n
=
An
2
+
Bn
(
A
,
B
为常数
).
7.
等差数列的前
n
项和的最值
在等差数列
{
a
n
}
中,
a
1
>0
,
d
<0
,则
S
n
存在
最
值
;若
a
1
<0
,
d
>0
,则
S
n
存在
最
值
.
大
小
知识
拓展
等差数列的四种判断方法
(1)
定义法:
a
n
+
1
-
a
n
=
d
(
d
是常数
)
⇔
{
a
n
}
是等差数列
.
(2)
等差中项法:
2
a
n
+
1
=
a
n
+
a
n
+
2
(
n
∈
N
*
)
⇔
{
a
n
}
是等差数列
.
(3)
通项公式:
a
n
=
pn
+
q
(
p
,
q
为常数
)
⇔
{
a
n
}
是等差数列
.
(4)
前
n
项和公式:
S
n
=
An
2
+
Bn
(
A
,
B
为常数
)
⇔
{
a
n
}
是等差数列
.
思考辨析
判断下列结论是否正确
(
请在括号中打
“√”
或
“×”
)
(1)
若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列
.(
)
(2)
等差数列
{
a
n
}
的单调性是由公差
d
决定的
.(
)
(3)
等差数列的前
n
项和公式是常数项为
0
的二次函数
.(
)
(4)
已知等差数列
{
a
n
}
的通项公式
a
n
=
3
-
2
n
,则它的公差为-
2.(
)
×
√
×
√
考点自测
1.(
教材改编
)
设
S
n
为等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和,若
a
3
=
3
,
S
9
-
S
6
=
27
,
则该
数列的首项
a
1
=
___.
答案
解析
2.(
教材改编
)
已知五个数成等差数列,它们的和为
5
,平方和
为
,
则
这五个数的积为
_____.
设第三个数为
a
,公差为
d
,则这五个数分别为
a
-
2
d
,
a
-
d
,
a
,
a
+
d
,
a
+
2
d
,
由已知条件
得
答案
解析
3.(2016·
全国乙卷
)
已知等差数列
{
a
n
}
前
9
项的和为
27
,
a
10
=
8
,则
a
100
=
_____.
得
a
5
=
3
,而
a
10
=
8
,因此公差
d
=
=
1
,
∴
a
100
=
a
10
+
90
d
=
98
.
答案
解析
98
4.
设数列
{
a
n
}
是等差数列,若
a
3
+
a
4
+
a
5
=
12
,则
a
1
+
a
2
+
…
+
a
7
=
_____.
∵
a
3
+
a
4
+
a
5
=
3
a
4
=
12
,
∴
a
4
=
4
,
∴
a
1
+
a
2
+
…
+
a
7
=
7
a
4
=
28
.
答案
解析
28
5.
若等差数列
{
a
n
}
满足
a
7
+
a
8
+
a
9
>0
,
a
7
+
a
10
<0
,则当
n
=
_
_
_
时,
{
a
n
}
的前
n
项和最大
.
因为数列
{
a
n
}
是等差数列,且
a
7
+
a
8
+
a
9
=
3
a
8
>
0
,所以
a
8
>
0
.
又
a
7
+
a
10
=
a
8
+
a
9
<
0
,所以
a
9
<
0
.
故
当
n
=
8
时,其前
n
项和最大
.
答案
解析
8
题型分类 深度剖析
题型一 等差数列基本量的运算
例
1
(
1)(2016·
北京
)
已知
{
a
n
}
为等差数列,
S
n
为其前
n
项和
.
若
a
1
=
6
,
a
3
+
a
5
=
0
,则
S
6
=
____.
∵
a
3
+
a
5
=
2
a
4
=
0
,
∴
a
4
=
0.
又
a
1
=
6
,
∴
a
4
=
a
1
+
3
d
=
0
,
∴
d
=-
2
.
答案
解析
6
(2)(2016·
徐州、宿迁模拟
)
已知公差为
d
的等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
,
若
=
3
,
则
的
值为
____.
答案
解析
等差数列运算问题的通性通法
(1)
等差数列运算问题的一般求法是设出首项
a
1
和公差
d
,然后由通项公
式或前
n
项和公式转化为方程
(
组
)
求解
.
(2)
等差数列的通项公式及前
n
项和公式,共涉及五个量
a
1
,
a
n
,
d
,
n
,
S
n
,
知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题
.
思维
升华
跟踪训练
1
(2016·
江苏
)
已知
{
a
n
}
是等差数列,
S
n
是其前
n
项和
.
若
a
1
+
=-
3
,
S
5
=
10
,则
a
9
的值是
______.
设等差数列
{
a
n
}
的公差为
d
,
答案
解析
20
题型二 等差数列的判定与
证明
例
2
已知数列
{
a
n
}
中,
a
1
=
,
a
n
=
2
-
(
n
≥
2
,
n
∈
N
*
)
,数列
{
b
n
}
满足
b
n
=
(
n
∈
N
*
).
(1)
求证:数列
{
b
n
}
是等差数列
;
因为
a
n
=
2
-
(
n
≥
2
,
n
∈
N
*
)
,
b
n
=
(
n
∈
N
*
)
,
证明
所以数列
{
b
n
}
是以
-
为
首项,
1
为公差的等差数列
.
(2)
求数列
{
a
n
}
中的最大项和最小项,并说明理由
.
由
(
1)
知
b
n
=
n
-
,
所以当
n
=
3
时,
a
n
取得最小值-
1
,当
n
=
4
时,
a
n
取得最大值
3
.
解答
引申探究
例
2
中,若条件变为
a
1
=
,
na
n
+
1
=
(
n
+
1)
a
n
+
n
(
n
+
1)
,试求数列
{
a
n
}
的通项公式
.
解答
等差数列的四个判定方法
(1)
定义法:证明对任意正整数
n
都有
a
n
+
1
-
a
n
等于同一个常数
.
(2)
等差中项法:证明对任意正整数
n
都有
2
a
n
+
1
=
a
n
+
a
n
+
2
后,可递推得出
a
n
+
2
-
a
n
+
1
=
a
n
+
1
-
a
n
=
a
n
-
a
n
-
1
=
a
n
-
1
-
a
n
-
2
=
…
=
a
2
-
a
1
,根据定义得出数列
{
a
n
}
为等差数列
.
(3)
通项公式法:得出
a
n
=
pn
+
q
后,得
a
n
+
1
-
a
n
=
p
对任意正整数
n
恒成立,根据定义判定数列
{
a
n
}
为等差数列
.
(4)
前
n
项和公式法:得出
S
n
=
An
2
+
Bn
后,根据
S
n
,
a
n
的关系,得出
a
n
,再使用定义法证明数列
{
a
n
}
为等差数列
.
思维
升华
跟踪训练
2
(1)
在数列
{
a
n
}
中,若
a
1
=
1
,
a
2
=
(
n
∈
N
*
)
,
则
该数列的通项为
______.
答案
解析
(2)
已知等差数列
{
a
n
}
中,
a
4
+
a
6
=
10
,若前
5
项的和
S
5
=
5
,则其公差
为
___.
因为
a
4
+
a
6
=
10
,所以
2
a
5
=
10
,
则
a
5
=
5
,又
S
5
=
=
5
a
3
=
5
,
故
a
3
=
1
,从而
2
d
=
a
5
-
a
3
=
4
,故
d
=
2
.
答案
解析
2
由
a
n
+
2
=
2
a
n
+
1
-
a
n
+
2
,
得
a
n
+
2
-
a
n
+
1
=
a
n
+
1
-
a
n
+
2
,
即
b
n
+
1
=
b
n
+
2.
又
b
1
=
a
2
-
a
1
=
1
,
所以
{
b
n
}
是首项为
1
,公差为
2
的等差数列
.
(3)
数列
{
a
n
}
满足
a
1
=
1
,
a
2
=
2
,
a
n
+
2
=
2
a
n
+
1
-
a
n
+
2.
①
设
b
n
=
a
n
+
1
-
a
n
,证明
{
b
n
}
是等差数列;
证明
由
①
得
b
n
=
1
+
2(
n
-
1)
=
2
n
-
1
,
即
a
n
+
1
-
a
n
=
2
n
-
1.
于是
=
1(
a
k
+
1
-
a
k
)
=
=
1(2
k
-
1)
,
所以
a
n
+
1
-
a
1
=
n
2
,即
a
n
+
1
=
n
2
+
a
1
.
又
a
1
=
1
,所以
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
=
n
2
-
2
n
+
2.
②
求
{
a
n
}
的通项公式
.
解
答
题型三 等差数列性质的应用
命题点
1
等差数列项的性质
例
3
(1)(2015·
广东
)
在等差数列
{
a
n
}
中,若
a
3
+
a
4
+
a
5
+
a
6
+
a
7
=
25
,
则
a
2
+
a
8
=
____.
因为
{
a
n
}
是等差数列,所以
a
3
+
a
7
=
a
4
+
a
6
=
a
2
+
a
8
=
2
a
5
,
a
3
+
a
4
+
a
5
+
a
6
+
a
7
=
5
a
5
=
25
,所以
a
5
=
5
,故
a
2
+
a
8
=
2
a
5
=
10
.
答案
解析
10
(2)
已知
{
a
n
}
,
{
b
n
}
都是等差数列,若
a
1
+
b
10
=
9
,
a
3
+
b
8
=
15
,则
a
5
+
b
6
=
_____.
因为
{
a
n
}
,
{
b
n
}
都是等差数列
,
所以
2
a
3
=
a
1
+
a
5
,
2
b
8
=
b
10
+
b
6
,
所以
2(
a
3
+
b
8
)
=
(
a
1
+
b
10
)
+
(
a
5
+
b
6
)
,
即
2
×
15
=
9
+
(
a
5
+
b
6
)
,
解
得
a
5
+
b
6
=
21
.
答案
解析
21
命题点
2
等差数列前
n
项和的性质
例
4
(1)
设等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
,且
S
3
=-
12
,
S
9
=
45
,
则
S
12
=
_____.
因为
{
a
n
}
是等差数列,所以
S
3
,
S
6
-
S
3
,
S
9
-
S
6
,
S
12
-
S
9
成等差数列,所以
2(
S
6
-
S
3
)
=
S
3
+
(
S
9
-
S
6
)
,
即
2(
S
6
+
12)
=-
12
+
(45
-
S
6
)
,解得
S
6
=
3.
又
2(
S
9
-
S
6
)
=
(
S
6
-
S
3
)
+
(
S
12
-
S
9
)
,
即
2
×
(45
-
3)
=
(3
+
12)
+
(
S
12
-
45)
,解得
S
12
=
114
.
答案
解析
114
(2)
在等差数列
{
a
n
}
中,
a
1
=-
2 018
,其前
n
项和为
S
n
,
若
=
2
,则
S
2 018
的
值
为
_____
_
_.
由题意知,数列
{ }
为等差数列,其公差为
1
,
=-
2 018
+
2 017
=-
1.
∴
S
2 018
=-
2 018
.
答案
解析
-
2 018
等差数列的性质
(1)
项的性质:在等差数列
{
a
n
}
中,
a
m
-
a
n
=
(
m
-
n
)
d
⇔
=
d
(
m
≠
n
)
,其几何意义是点
(
n
,
a
n
)
,
(
m
,
a
m
)
所在直线的斜率等于等差数列的公差
.
(2)
和的性质:在等差数列
{
a
n
}
中,
S
n
为其前
n
项和,则
①
S
2
n
=
n
(
a
1
+
a
2
n
)
=
…
=
n
(
a
n
+
a
n
+
1
)
;
②
S
2
n
-
1
=
(2
n
-
1)
a
n
.
思维
升华
跟踪训练
3
(1)
在等差数列
{
a
n
}
中,已知
a
4
+
a
8
=
16
,则该数列前
11
项和
S
11
=
___.
答案
解析
88
(2)
等差数列
{
a
n
}
与
{
b
n
}
的前
n
项和分别为
S
n
和
T
n
,
若
,则
=
____.
答案
解析
考点分析
公差不为
0
的等差数列,求其前
n
项和与最值在高考中时常出现,题型有小题,也有大题,难度不大
.
典例
1
(1)
在等差数列
{
a
n
}
中,
2(
a
1
+
a
3
+
a
5
)
+
3(
a
7
+
a
9
)
=
54
,则此数列前
10
项的和
S
10
=
____
。
答案
解析
等差数列
的前
n
项和及其最值
高频小考点
6
45
由
题意得
a
3
+
a
8
=
9
,
(
2)
在等差数列
{
a
n
}
中,
S
10
=
100
,
S
100
=
10
,则
S
110
=
______.
答案
解析
-
110
方法
一 设数列
{
a
n
}
的首项为
a
1
,公差为
d
,
所以
a
11
+
a
100
=-
2
,
典例
2
在等差数列
{
a
n
}
中,已知
a
1
=
20
,前
n
项和为
S
n
,且
S
10
=
S
15
,
求当
n
取何值时,
S
n
取得最大值,并求出它的最大值
.
规范解答
解
∵
a
1
=
20
,
S
10
=
S
15
,
即
当
n
≤
12
时,
a
n
>
0
,当
n
≥
14
时,
a
n
<
0.
∴
当
n
=
12
或
n
=
13
时,
S
n
取得最大值,
得
a
13
=
0.
∵
n
∈
N
*
,
∴
当
n
=
12
或
n
=
13
时,
S
n
有最大值
,
且
最大值为
S
12
=
S
13
=
130.
方法三 由
S
10
=
S
15
,得
a
11
+
a
12
+
a
13
+
a
14
+
a
15
=
0.
∴
5
a
13
=
0
,即
a
13
=
0.
∴
当
n
=
12
或
n
=
13
时,
S
n
有最大值
,
且
最大值为
S
12
=
S
13
=
130.
课时作业
1.(
教材改编
)
在等差数列
{
a
n
}
中,
a
3
=
7
,
a
5
=
a
2
+
6
,则
a
6
=
____.
∵
{
a
n
}
是等差数列,设公差为
d
,
∴
3
d
=
a
5
-
a
2
=
6
.
则
a
6
=
a
3
+
3
d
=
7
+
6
=
13
.
答案
解析
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2.(
教材改编
)
设
S
n
是等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和,已知
a
2
=
3
,
a
6
=
11
,则
S
7
=
_____.
答案
解析
49
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3.
数列
{
a
n
}
的首项为
3
,
{
b
n
}
为等差数列,且
b
n
=
a
n
+
1
-
a
n
(
n
∈
N
*
)
,若
b
3
=-
2
,
b
10
=
12
,则
a
8
=
____.
设
{
b
n
}
的公差为
d
,
∵
b
10
-
b
3
=
7
d
=
12
-
(
-
2)
=
14
,
∴
d
=
2.
∵
b
3
=-
2
,
∴
b
1
=
b
3
-
2
d
=-
2
-
4
=-
6.
∴
b
1
+
b
2
+
…
+
b
7
=
7
b
1
+
=
7
×
(
-
6)
+
21
×
2
=
0.
又
b
1
+
b
2
+
…
+
b
7
=
(
a
2
-
a
1
)
+
(
a
3
-
a
2
)
+
…
+
(
a
8
-
a
7
)
=
a
8
-
a
1
=
a
8
-
3
=
0
,
∴
a
8
=
3
.
答案
解析
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
4.
在等差数列
{
a
n
}
中,
a
9
=
a
12
+
6
,则数列
{
a
n
}
的前
11
项和
S
11
=
_____.
答案
解析
方法
一 由
a
1
+
8
d
=
(
a
1
+
11
d
)
+
6
,
得
a
1
+
5
d
=
12
,
∴
a
1
=
12
-
5
d
.
又
S
11
=
11
a
1
+
=
11
a
1
+
55
d
=
11(12
-
5
d
)
+
55
d
=
132.
方法二 由
a
9
=
a
12
+
6
,得
2
a
9
-
a
12
=
12
.
由等差数列的性质得,
a
6
+
a
12
-
a
12
=
12
,
a
6
=
12
,
132
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
5.
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
+
1
=
a
n
-
,
且
a
1
=
5
,设
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
,则
使得
S
n
取得最大值的序号
n
的值为
______.
答案
解析
由
题意可知数列
{
a
n
}
是首项为
5
,公差为
-
的
等差数列
,
该数列前
7
项是正数项,第
8
项是
0
,从第
9
项开始是负数项
,
所以
S
n
取得最大值时,
n
=
7
或
n
=
8
.
7
或
8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
6.(2016·
南通模拟
)
已知等差数列
{
a
n
}
满足
a
2
=
3
,
S
n
-
S
n
-
3
=
51(
n
>3)
,
S
n
=
100
,则
n
的值为
_____.
答案
解析
由
S
n
-
S
n
-
3
=
51
,得
a
n
-
2
+
a
n
-
1
+
a
n
=
51
,
所以
a
n
-
1
=
17
,又
a
2
=
3
,
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
7.(2015·
安徽
)
已知数列
{
a
n
}
中,
a
1
=
1
,
a
n
=
a
n
-
1
+
(
n
≥
2)
,则数列
{
a
n
}
的前
9
项和等于
____.
答案
解析
由
题意知数列
{
a
n
}
是以
1
为首项,
以
为
公差的等差数列
,
27
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
解析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
9.
设等差数列
{
a
n
}
,
{
b
n
}
的前
n
项和分别为
S
n
,
T
n
,若对任意自然数
n
都
有
的
值为
____.
答案
解析
∵
{
a
n
}
,
{
b
n
}
为等差数列,
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
10.
设等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
,若
a
1
=-
3
,
a
k
+
1
=
,
S
k
=-
12
,则正整数
k
=
.
13
答案
解析
解得
k
=
13.
11.(2016·
苏州暑假测试
)
已知数列
{
a
n
}
满足
a
1
=
1
,
a
2
=
,
且
a
n
(
a
n
-
1
+
a
n
+
1
)
=
2
a
n
+
1
a
n
-
1
(
n
≥
2)
,则
a
2 016
=
______.
答案
解析
又
a
1
=
1
,
a
2
=
,
所以数列
{ }
是以
1
为首项,
1
为公差的等差数列
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
12.
已知等差数列
{
a
n
}
前三项的和为-
3
,前三项的积为
8.
(1)
求等差数列
{
a
n
}
的通项公式;
解答
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
设等差数列
{
a
n
}
的公差为
d
,则
a
2
=
a
1
+
d
,
a
3
=
a
1
+
2
d
.
所以由等差数列通项公式可得
a
n
=
2
-
3(
n
-
1)
=-
3
n
+
5
或
a
n
=-
4
+
3(
n
-
1)
=
3
n
-
7.
故
a
n
=-
3
n
+
5
或
a
n
=
3
n
-
7
.
(2)
若
a
2
,
a
3
,
a
1
成等比数列,求数列
{|
a
n
|}
的前
n
项和
.
解答
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
当
a
n
=-
3
n
+
5
时,
a
2
,
a
3
,
a
1
分别为-
1
,-
4,2
,不成等比数列;
当
a
n
=
3
n
-
7
时,
a
2
,
a
3
,
a
1
分别为-
1,2
,-
4
,成等比数列,满足条件
.
当
n
=
1
时,
S
1
=
|
a
1
|
=
4
;当
n
=
2
时,
S
2
=
|
a
1
|
+
|
a
2
|
=
5
;
当
n
≥
3
时,
S
n
=
S
2
+
|
a
3
|
+
|
a
4
|
+
…
+
|
a
n
|
=
5
+
(3
×
3
-
7)
+
(3
×
4
-
7)
+
…
+
(3
n
-
7)
记数列
{|
a
n
|}
的前
n
项和为
S
n
.
当
n
=
2
时,满足此式,当
n
=
1
时,不满足此式
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
*13.
已知数列
{
a
n
}
的各项均为正数,前
n
项和为
S
n
,且满足
2
S
n
=
a
+
n
-
4(
n
∈
N
*
).
(1)
求证:数列
{
a
n
}
为等差数列;
证明
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
当
n
=
1
时,有
2
a
1
=
+
1
-
4
,
即
-
2
a
1
-
3
=
0
,
当
n
≥
2
时,有
2
S
n
-
1
=
+
n
-
5
,
又
2
S
n
=
+
n
-
4
,
因此
a
n
-
1
=
a
n
-
1
或
a
n
-
1
=-
a
n
-
1
.
若
a
n
-
1
=-
a
n
-
1
,则
a
n
+
a
n
-
1
=
1.
而
a
1
=
3
,
所以
a
2
=-
2
,这与数列
{
a
n
}
的各项均为正数相矛盾,
所以
a
n
-
1
=
a
n
-
1
,即
a
n
-
a
n
-
1
=
1
,
因此数列
{
a
n
}
是首项为
3
,公差为
1
的等差数列
.
解得
a
1
=
3(
a
1
=-
1
舍去
).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(2)
求数列
{
a
n
}
的通项公式
.
解答
由
(1)
知
a
1
=
3
,
d
=
1
,
所以数列
{
a
n
}
的通项公式
a
n
=
3
+
(
n
-
1)
×
1
=
n
+
2
,
即
a
n
=
n
+
2
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
14.(2016·
苏北四市摸底
)
已知数列
{
a
n
}
满足
2
a
n
+
1
=
a
n
+
a
n
+
2
+
k
(
n
∈
N
*
,
k
∈
R
)
,且
a
1
=
2
,
a
3
+
a
5
=-
4.
(1)
若
k
=
0
,求数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
;
解
答
当
k
=
0
时,
2
a
n
+
1
=
a
n
+
a
n
+
2
,即
a
n
+
2
-
a
n
+
1
=
a
n
+
1
-
a
n
,
所以
数列
{
a
n
}
是等差数列
.
设数列
{
a
n
}
的公差为
d
,
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(2)
若
a
4
=-
1
,求数列
{
a
n
}
的通项公式
.
解
答
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
由题意得
2
a
4
=
a
3
+
a
5
+
k
,即-
2
=-
4
+
k
,所以
k
=
2.
当
n
=
1
时,
2
a
2
=
a
1
+
a
3
+
2
,
当
n
=
2
时,
2
a
3
=
a
2
+
a
4
+
2
,
所以
a
4
=
2
a
3
-
a
2
-
2
=
3
a
2
-
2
a
1
-
6
=-
1
,所以
a
2
=
3,
由
2
a
n
+
1
=
a
n
+
a
n
+
2
+
2
,得
(
a
n
+
2
-
a
n
+
1
)
-
(
a
n
+
1
-
a
n
)
=-
2
,
所以
数列
{
a
n
+
1
-
a
n
}
是以
a
2
-
a
1
=
1
为首项,-
2
为公差的等差数列
,
所以
a
n
+
1
-
a
n
=-
2
n
+
3
.
当
n
≥
2
时,有
a
n
-
a
n
-
1
=-
2(
n
-
1)
+
3
,
于是
a
n
-
1
-
a
n
-
2
=-
2(
n
-
2)
+
3
,
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
a
n
-
2
-
a
n
-
3
=-
2(
n
-
3)
+
3
,
…
a
3
-
a
2
=-
2
×
2
+
3
,
a
2
-
a
1
=-
2
×
1
+
3
,
叠加得,
a
n
-
a
1
=-
2
[1
+
2
+
…
+
(
n
-
1)]
+
3(
n
-
1)(
n
≥
2)
,
所以
a
n
=-
2
×
+
3(
n
-
1)
+
2
=-
n
2
+
4
n
-
1(
n
≥
2).
又当
n
=
1
时,
a
1
=
2
也适合上式
.
所以数列
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
=-
n
2
+
4
n
-
1
,
n
∈
N
*
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14