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  • 2021-06-10 发布

2018届二轮复习等差数列及其前n项和课件(文)(江苏专用)

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§6.2  等差数列及其前 n 项和 基础知识   自主学习 课时作业 题型分 类  深度剖析 内容索引 基础知识 自主学习 1. 等差数列的定义 一般地,如果一个数列 ___________________________________________ , 那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列 的 , 通常用 字母 表示 . 2. 等差数列的通项公式 如果等差数列 { a n } 的首项为 a 1 ,公差为 d ,那么它的通项公式 是 _________ . 3. 等差中项 由三个数 a , A , b 组成的等差数列可以看成最简单 的 等差数列 . 这时, A 叫做 a 与 b 的 . 知识梳理 从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差 都 等于同一个常数 公差 d a n = a 1 + ( n - 1) d 等差中项 4. 等差数列的常用性质 (1) 通项公式的推广: a n = a m + ( n , m ∈ N * ). (2) 若 { a n } 为等差数列,且 k + l = m + n ( k , l , m , n ∈ N * ) , 则 . (3) 若 { a n } 是等差数列,公差为 d ,则 { a 2 n } 也是等差数列,公差 为 . (4) 若 { a n } , { b n } 是等差数列,则 { pa n + qb n } 也是等差数列 . (5) 若 { a n } 是等差数列,公差为 d ,则 a k , a k + m , a k + 2 m , … ( k , m ∈ N * ) 是公差 为 的 等差数列 . (6) 数列 S m , S 2 m - S m , S 3 m - S 2 m , … 构成等差数列 . ( n - m ) d a k + a l = a m + a n 2 d md 5. 等差数列的前 n 项和公式 设等差数列 { a n } 的公差为 d ,其前 n 项和 S n = 或 S n = . 6. 等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 数列 { a n } 是等差数列 ⇔ S n = An 2 + Bn ( A , B 为常数 ). 7. 等差数列的前 n 项和的最值 在等差数列 { a n } 中, a 1 >0 , d <0 ,则 S n 存在 最 值 ;若 a 1 <0 , d >0 ,则 S n 存在 最 值 . 大 小 知识 拓展 等差数列的四种判断方法 (1) 定义法: a n + 1 - a n = d ( d 是常数 ) ⇔ { a n } 是等差数列 . (2) 等差中项法: 2 a n + 1 = a n + a n + 2 ( n ∈ N * ) ⇔ { a n } 是等差数列 . (3) 通项公式: a n = pn + q ( p , q 为常数 ) ⇔ { a n } 是等差数列 . (4) 前 n 项和公式: S n = An 2 + Bn ( A , B 为常数 ) ⇔ { a n } 是等差数列 . 思考辨析 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列 .(    ) (2) 等差数列 { a n } 的单调性是由公差 d 决定的 .(    ) (3) 等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数 .(    ) (4) 已知等差数列 { a n } 的通项公式 a n = 3 - 2 n ,则它的公差为- 2.(    ) × √ × √ 考点自测 1.( 教材改编 ) 设 S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和,若 a 3 = 3 , S 9 - S 6 = 27 , 则该 数列的首项 a 1 = ___. 答案 解析 2.( 教材改编 ) 已知五个数成等差数列,它们的和为 5 ,平方和 为 , 则 这五个数的积为 _____. 设第三个数为 a ,公差为 d ,则这五个数分别为 a - 2 d , a - d , a , a + d , a + 2 d , 由已知条件 得 答案 解析 3.(2016· 全国乙卷 ) 已知等差数列 { a n } 前 9 项的和为 27 , a 10 = 8 ,则 a 100 = _____. 得 a 5 = 3 ,而 a 10 = 8 ,因此公差 d = = 1 , ∴ a 100 = a 10 + 90 d = 98 . 答案 解析 98 4. 设数列 { a n } 是等差数列,若 a 3 + a 4 + a 5 = 12 ,则 a 1 + a 2 + … + a 7 = _____. ∵ a 3 + a 4 + a 5 = 3 a 4 = 12 , ∴ a 4 = 4 , ∴ a 1 + a 2 + … + a 7 = 7 a 4 = 28 . 答案 解析 28 5. 若等差数列 { a n } 满足 a 7 + a 8 + a 9 >0 , a 7 + a 10 <0 ,则当 n = _ _ _ 时, { a n } 的前 n 项和最大 . 因为数列 { a n } 是等差数列,且 a 7 + a 8 + a 9 = 3 a 8 > 0 ,所以 a 8 > 0 . 又 a 7 + a 10 = a 8 + a 9 < 0 ,所以 a 9 < 0 . 故 当 n = 8 时,其前 n 项和最大 . 答案 解析 8 题型分类 深度剖析 题型一 等差数列基本量的运算 例 1   ( 1)(2016· 北京 ) 已知 { a n } 为等差数列, S n 为其前 n 项和 . 若 a 1 = 6 , a 3 + a 5 = 0 ,则 S 6 = ____. ∵ a 3 + a 5 = 2 a 4 = 0 , ∴ a 4 = 0. 又 a 1 = 6 , ∴ a 4 = a 1 + 3 d = 0 , ∴ d =- 2 . 答案 解析 6 (2)(2016· 徐州、宿迁模拟 ) 已知公差为 d 的等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 若 = 3 , 则 的 值为 ____. 答案 解析 等差数列运算问题的通性通法 (1) 等差数列运算问题的一般求法是设出首项 a 1 和公差 d ,然后由通项公 式或前 n 项和公式转化为方程 ( 组 ) 求解 . (2) 等差数列的通项公式及前 n 项和公式,共涉及五个量 a 1 , a n , d , n , S n , 知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题 . 思维 升华 跟踪训练 1   (2016· 江苏 ) 已知 { a n } 是等差数列, S n 是其前 n 项和 . 若 a 1 + =- 3 , S 5 = 10 ,则 a 9 的值是 ______. 设等差数列 { a n } 的公差为 d , 答案 解析 20 题型二 等差数列的判定与 证明 例 2   已知数列 { a n } 中, a 1 = , a n = 2 - ( n ≥ 2 , n ∈ N * ) ,数列 { b n } 满足 b n = ( n ∈ N * ). (1) 求证:数列 { b n } 是等差数列 ; 因为 a n = 2 - ( n ≥ 2 , n ∈ N * ) , b n = ( n ∈ N * ) , 证明 所以数列 { b n } 是以 - 为 首项, 1 为公差的等差数列 . (2) 求数列 { a n } 中的最大项和最小项,并说明理由 . 由 ( 1) 知 b n = n - , 所以当 n = 3 时, a n 取得最小值- 1 ,当 n = 4 时, a n 取得最大值 3 . 解答 引申探究 例 2 中,若条件变为 a 1 = , na n + 1 = ( n + 1) a n + n ( n + 1) ,试求数列 { a n } 的通项公式 . 解答 等差数列的四个判定方法 (1) 定义法:证明对任意正整数 n 都有 a n + 1 - a n 等于同一个常数 . (2) 等差中项法:证明对任意正整数 n 都有 2 a n + 1 = a n + a n + 2 后,可递推得出 a n + 2 - a n + 1 = a n + 1 - a n = a n - a n - 1 = a n - 1 - a n - 2 = … = a 2 - a 1 ,根据定义得出数列 { a n } 为等差数列 . (3) 通项公式法:得出 a n = pn + q 后,得 a n + 1 - a n = p 对任意正整数 n 恒成立,根据定义判定数列 { a n } 为等差数列 . (4) 前 n 项和公式法:得出 S n = An 2 + Bn 后,根据 S n , a n 的关系,得出 a n ,再使用定义法证明数列 { a n } 为等差数列 . 思维 升华 跟踪训练 2   (1) 在数列 { a n } 中,若 a 1 = 1 , a 2 = ( n ∈ N * ) , 则 该数列的通项为 ______. 答案 解析 (2) 已知等差数列 { a n } 中, a 4 + a 6 = 10 ,若前 5 项的和 S 5 = 5 ,则其公差 为 ___. 因为 a 4 + a 6 = 10 ,所以 2 a 5 = 10 , 则 a 5 = 5 ,又 S 5 = = 5 a 3 = 5 , 故 a 3 = 1 ,从而 2 d = a 5 - a 3 = 4 ,故 d = 2 . 答案 解析 2 由 a n + 2 = 2 a n + 1 - a n + 2 , 得 a n + 2 - a n + 1 = a n + 1 - a n + 2 , 即 b n + 1 = b n + 2. 又 b 1 = a 2 - a 1 = 1 , 所以 { b n } 是首项为 1 ,公差为 2 的等差数列 . (3) 数列 { a n } 满足 a 1 = 1 , a 2 = 2 , a n + 2 = 2 a n + 1 - a n + 2. ① 设 b n = a n + 1 - a n ,证明 { b n } 是等差数列; 证明 由 ① 得 b n = 1 + 2( n - 1) = 2 n - 1 , 即 a n + 1 - a n = 2 n - 1. 于是 = 1( a k + 1 - a k ) = = 1(2 k - 1) , 所以 a n + 1 - a 1 = n 2 ,即 a n + 1 = n 2 + a 1 . 又 a 1 = 1 ,所以 { a n } 的通项公式为 a n = n 2 - 2 n + 2. ② 求 { a n } 的通项公式 . 解 答 题型三 等差数列性质的应用 命题点 1  等差数列项的性质 例 3   (1)(2015· 广东 ) 在等差数列 { a n } 中,若 a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 = 25 , 则 a 2 + a 8 = ____. 因为 { a n } 是等差数列,所以 a 3 + a 7 = a 4 + a 6 = a 2 + a 8 = 2 a 5 , a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 = 5 a 5 = 25 ,所以 a 5 = 5 ,故 a 2 + a 8 = 2 a 5 = 10 . 答案 解析 10 (2) 已知 { a n } , { b n } 都是等差数列,若 a 1 + b 10 = 9 , a 3 + b 8 = 15 ,则 a 5 + b 6 = _____. 因为 { a n } , { b n } 都是等差数列 , 所以 2 a 3 = a 1 + a 5 , 2 b 8 = b 10 + b 6 , 所以 2( a 3 + b 8 ) = ( a 1 + b 10 ) + ( a 5 + b 6 ) , 即 2 × 15 = 9 + ( a 5 + b 6 ) , 解 得 a 5 + b 6 = 21 . 答案 解析 21 命题点 2  等差数列前 n 项和的性质 例 4   (1) 设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,且 S 3 =- 12 , S 9 = 45 , 则 S 12 = _____. 因为 { a n } 是等差数列,所以 S 3 , S 6 - S 3 , S 9 - S 6 , S 12 - S 9 成等差数列,所以 2( S 6 - S 3 ) = S 3 + ( S 9 - S 6 ) , 即 2( S 6 + 12) =- 12 + (45 - S 6 ) ,解得 S 6 = 3. 又 2( S 9 - S 6 ) = ( S 6 - S 3 ) + ( S 12 - S 9 ) , 即 2 × (45 - 3) = (3 + 12) + ( S 12 - 45) ,解得 S 12 = 114 . 答案 解析 114 (2) 在等差数列 { a n } 中, a 1 =- 2 018 ,其前 n 项和为 S n , 若 = 2 ,则 S 2 018 的 值 为 _____ _ _. 由题意知,数列 { } 为等差数列,其公差为 1 , =- 2 018 + 2 017 =- 1. ∴ S 2 018 =- 2 018 . 答案 解析 - 2 018 等差数列的性质 (1) 项的性质:在等差数列 { a n } 中, a m - a n = ( m - n ) d ⇔ = d ( m ≠ n ) ,其几何意义是点 ( n , a n ) , ( m , a m ) 所在直线的斜率等于等差数列的公差 . (2) 和的性质:在等差数列 { a n } 中, S n 为其前 n 项和,则 ① S 2 n = n ( a 1 + a 2 n ) = … = n ( a n + a n + 1 ) ; ② S 2 n - 1 = (2 n - 1) a n . 思维 升华 跟踪训练 3   (1) 在等差数列 { a n } 中,已知 a 4 + a 8 = 16 ,则该数列前 11 项和 S 11 = ___. 答案 解析 88 (2) 等差数列 { a n } 与 { b n } 的前 n 项和分别为 S n 和 T n , 若 ,则 = ____. 答案 解析 考点分析  公差不为 0 的等差数列,求其前 n 项和与最值在高考中时常出现,题型有小题,也有大题,难度不大 . 典例 1   (1) 在等差数列 { a n } 中, 2( a 1 + a 3 + a 5 ) + 3( a 7 + a 9 ) = 54 ,则此数列前 10 项的和 S 10 = ____ 。 答案 解析 等差数列 的前 n 项和及其最值 高频小考点 6 45 由 题意得 a 3 + a 8 = 9 , ( 2) 在等差数列 { a n } 中, S 10 = 100 , S 100 = 10 ,则 S 110 = ______. 答案 解析 - 110 方法 一 设数列 { a n } 的首项为 a 1 ,公差为 d , 所以 a 11 + a 100 =- 2 , 典例 2  在等差数列 { a n } 中,已知 a 1 = 20 ,前 n 项和为 S n ,且 S 10 = S 15 , 求当 n 取何值时, S n 取得最大值,并求出它的最大值 . 规范解答 解   ∵ a 1 = 20 , S 10 = S 15 , 即 当 n ≤ 12 时, a n > 0 ,当 n ≥ 14 时, a n < 0. ∴ 当 n = 12 或 n = 13 时, S n 取得最大值, 得 a 13 = 0. ∵ n ∈ N * , ∴ 当 n = 12 或 n = 13 时, S n 有最大值 , 且 最大值为 S 12 = S 13 = 130. 方法三 由 S 10 = S 15 ,得 a 11 + a 12 + a 13 + a 14 + a 15 = 0. ∴ 5 a 13 = 0 ,即 a 13 = 0. ∴ 当 n = 12 或 n = 13 时, S n 有最大值 , 且 最大值为 S 12 = S 13 = 130. 课时作业 1.( 教材改编 ) 在等差数列 { a n } 中, a 3 = 7 , a 5 = a 2 + 6 ,则 a 6 = ____. ∵ { a n } 是等差数列,设公差为 d , ∴ 3 d = a 5 - a 2 = 6 . 则 a 6 = a 3 + 3 d = 7 + 6 = 13 . 答案 解析 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.( 教材改编 ) 设 S n 是等差数列 { a n } 的前 n 项和,已知 a 2 = 3 , a 6 = 11 ,则 S 7 = _____. 答案 解析 49 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. 数列 { a n } 的首项为 3 , { b n } 为等差数列,且 b n = a n + 1 - a n ( n ∈ N * ) ,若 b 3 =- 2 , b 10 = 12 ,则 a 8 = ____. 设 { b n } 的公差为 d , ∵ b 10 - b 3 = 7 d = 12 - ( - 2) = 14 , ∴ d = 2. ∵ b 3 =- 2 , ∴ b 1 = b 3 - 2 d =- 2 - 4 =- 6. ∴ b 1 + b 2 + … + b 7 = 7 b 1 + = 7 × ( - 6) + 21 × 2 = 0. 又 b 1 + b 2 + … + b 7 = ( a 2 - a 1 ) + ( a 3 - a 2 ) + … + ( a 8 - a 7 ) = a 8 - a 1 = a 8 - 3 = 0 , ∴ a 8 = 3 . 答案 解析 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4. 在等差数列 { a n } 中, a 9 = a 12 + 6 ,则数列 { a n } 的前 11 项和 S 11 = _____. 答案 解析 方法 一 由 a 1 + 8 d = ( a 1 + 11 d ) + 6 , 得 a 1 + 5 d = 12 , ∴ a 1 = 12 - 5 d . 又 S 11 = 11 a 1 + = 11 a 1 + 55 d = 11(12 - 5 d ) + 55 d = 132. 方法二 由 a 9 = a 12 + 6 ,得 2 a 9 - a 12 = 12 . 由等差数列的性质得, a 6 + a 12 - a 12 = 12 , a 6 = 12 , 132 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. 已知数列 { a n } 满足 a n + 1 = a n - , 且 a 1 = 5 ,设 { a n } 的前 n 项和为 S n ,则 使得 S n 取得最大值的序号 n 的值为 ______. 答案 解析 由 题意可知数列 { a n } 是首项为 5 ,公差为 - 的 等差数列 , 该数列前 7 项是正数项,第 8 项是 0 ,从第 9 项开始是负数项 , 所以 S n 取得最大值时, n = 7 或 n = 8 . 7 或 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.(2016· 南通模拟 ) 已知等差数列 { a n } 满足 a 2 = 3 , S n - S n - 3 = 51( n >3) , S n = 100 ,则 n 的值为 _____. 答案 解析 由 S n - S n - 3 = 51 ,得 a n - 2 + a n - 1 + a n = 51 , 所以 a n - 1 = 17 ,又 a 2 = 3 , 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.(2015· 安徽 ) 已知数列 { a n } 中, a 1 = 1 , a n = a n - 1 + ( n ≥ 2) ,则数列 { a n } 的前 9 项和等于 ____. 答案 解析 由 题意知数列 { a n } 是以 1 为首项, 以 为 公差的等差数列 , 27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9. 设等差数列 { a n } , { b n } 的前 n 项和分别为 S n , T n ,若对任意自然数 n 都 有 的 值为 ____. 答案 解析 ∵ { a n } , { b n } 为等差数列, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10. 设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,若 a 1 =- 3 , a k + 1 = , S k =- 12 ,则正整数 k = . 13 答案 解析 解得 k = 13. 11.(2016· 苏州暑假测试 ) 已知数列 { a n } 满足 a 1 = 1 , a 2 = , 且 a n ( a n - 1 + a n + 1 ) = 2 a n + 1 a n - 1 ( n ≥ 2) ,则 a 2 016 = ______. 答案 解析 又 a 1 = 1 , a 2 = , 所以数列 { } 是以 1 为首项, 1 为公差的等差数列 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. 已知等差数列 { a n } 前三项的和为- 3 ,前三项的积为 8. (1) 求等差数列 { a n } 的通项公式; 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 设等差数列 { a n } 的公差为 d ,则 a 2 = a 1 + d , a 3 = a 1 + 2 d . 所以由等差数列通项公式可得 a n = 2 - 3( n - 1) =- 3 n + 5 或 a n =- 4 + 3( n - 1) = 3 n - 7. 故 a n =- 3 n + 5 或 a n = 3 n - 7 . (2) 若 a 2 , a 3 , a 1 成等比数列,求数列 {| a n |} 的前 n 项和 . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 当 a n =- 3 n + 5 时, a 2 , a 3 , a 1 分别为- 1 ,- 4,2 ,不成等比数列; 当 a n = 3 n - 7 时, a 2 , a 3 , a 1 分别为- 1,2 ,- 4 ,成等比数列,满足条件 . 当 n = 1 时, S 1 = | a 1 | = 4 ;当 n = 2 时, S 2 = | a 1 | + | a 2 | = 5 ; 当 n ≥ 3 时, S n = S 2 + | a 3 | + | a 4 | + … + | a n | = 5 + (3 × 3 - 7) + (3 × 4 - 7) + … + (3 n - 7) 记数列 {| a n |} 的前 n 项和为 S n . 当 n = 2 时,满足此式,当 n = 1 时,不满足此式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 *13. 已知数列 { a n } 的各项均为正数,前 n 项和为 S n ,且满足 2 S n = a + n - 4( n ∈ N * ). (1) 求证:数列 { a n } 为等差数列; 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 当 n = 1 时,有 2 a 1 = + 1 - 4 , 即 - 2 a 1 - 3 = 0 , 当 n ≥ 2 时,有 2 S n - 1 = + n - 5 , 又 2 S n = + n - 4 , 因此 a n - 1 = a n - 1 或 a n - 1 =- a n - 1 . 若 a n - 1 =- a n - 1 ,则 a n + a n - 1 = 1. 而 a 1 = 3 , 所以 a 2 =- 2 ,这与数列 { a n } 的各项均为正数相矛盾, 所以 a n - 1 = a n - 1 ,即 a n - a n - 1 = 1 , 因此数列 { a n } 是首项为 3 ,公差为 1 的等差数列 . 解得 a 1 = 3( a 1 =- 1 舍去 ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2) 求数列 { a n } 的通项公式 . 解答 由 (1) 知 a 1 = 3 , d = 1 , 所以数列 { a n } 的通项公式 a n = 3 + ( n - 1) × 1 = n + 2 , 即 a n = n + 2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.(2016· 苏北四市摸底 ) 已知数列 { a n } 满足 2 a n + 1 = a n + a n + 2 + k ( n ∈ N * , k ∈ R ) ,且 a 1 = 2 , a 3 + a 5 =- 4. (1) 若 k = 0 ,求数列 { a n } 的前 n 项和 S n ; 解 答 当 k = 0 时, 2 a n + 1 = a n + a n + 2 ,即 a n + 2 - a n + 1 = a n + 1 - a n , 所以 数列 { a n } 是等差数列 . 设数列 { a n } 的公差为 d , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2) 若 a 4 =- 1 ,求数列 { a n } 的通项公式 . 解 答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由题意得 2 a 4 = a 3 + a 5 + k ,即- 2 =- 4 + k ,所以 k = 2. 当 n = 1 时, 2 a 2 = a 1 + a 3 + 2 , 当 n = 2 时, 2 a 3 = a 2 + a 4 + 2 , 所以 a 4 = 2 a 3 - a 2 - 2 = 3 a 2 - 2 a 1 - 6 =- 1 ,所以 a 2 = 3, 由 2 a n + 1 = a n + a n + 2 + 2 ,得 ( a n + 2 - a n + 1 ) - ( a n + 1 - a n ) =- 2 , 所以 数列 { a n + 1 - a n } 是以 a 2 - a 1 = 1 为首项,- 2 为公差的等差数列 , 所以 a n + 1 - a n =- 2 n + 3 . 当 n ≥ 2 时,有 a n - a n - 1 =- 2( n - 1) + 3 , 于是 a n - 1 - a n - 2 =- 2( n - 2) + 3 , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 a n - 2 - a n - 3 =- 2( n - 3) + 3 , … a 3 - a 2 =- 2 × 2 + 3 , a 2 - a 1 =- 2 × 1 + 3 , 叠加得, a n - a 1 =- 2 [1 + 2 + … + ( n - 1)] + 3( n - 1)( n ≥ 2) , 所以 a n =- 2 × + 3( n - 1) + 2 =- n 2 + 4 n - 1( n ≥ 2). 又当 n = 1 时, a 1 = 2 也适合上式 . 所以数列 { a n } 的通项公式为 a n =- n 2 + 4 n - 1 , n ∈ N * . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

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