2020学年高一数学下册期末圆与方程知识点 4页

2020 学年高一数学下册期末圆与方程知识点 1．圆的定义及方程 定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 标准 方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心(a，b)，半径 r 一般 方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2 －4F＞0) 圆心 －D 2 ，－E 2 ， 半径1 2 D2＋E2－4F 2．点与圆的位置关系 点 M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的位置关系： (1)若 M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2． (2)若 M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2． (3)若 M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2． 3. 确定圆心的方法 求圆的标准方程，其关键是确定圆心，确定圆心的主要方法有： (1)当题目条件中出现直线与圆相切时，可利用圆心在过切点且与切线垂直的直线上来确 定圆心位置； (2)当题目条件中出现直线与圆相交，可考虑圆心在弦的垂直平分线上； (3)当题目条件出现两圆相切时，可考虑切点与两圆的圆心共线． 4. 求圆的方程的两种方法 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程． (2)待定系数法： ①若已知条件与圆心(a，b)和半径 r 有关，则设圆的标准方程，求出 a，b，r 的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D，E，F 的方程组，进而求出 D，E，F 的 值． 例 1．(2019·山东威海调研)若 x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0 表示圆，则实数 k 的取值范围是 ( ) A．R B．(－∞，1) C．(－∞，1] D．[1，＋∞) 【答案】B [由方程 x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0 可得(x－2)2＋(y＋1)2＝5－5k，此方程表示 圆，则 5－5k>0，解得 k<1.故实数 k 的取值范围是(－∞，1). ] 例 2．(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为 ____________． 【答案】x2＋y2－2x＝0 [方法一 设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0． ∵圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)， ∴ F＝0， 2＋D＋E＋F＝0， 4＋2D＋F＝0， 解得 D＝－2， E＝0， F＝0. ∴圆的方程为 x2＋y2－2x＝0． 方法二 画出示意图如图所示，则△OAB 为等腰直角三角形，故所求圆的圆心为(1,0)， 半径为 1，所以所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即 x2＋y2－2x＝0.] 练习．(2019·黑龙江伊春月考)过点 A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在 x＋y－2＝0 上的圆 的方程是( ) A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 【答案】C [AB 的中垂线方程为 y＝x，所以由 y＝x，x＋y－2＝0 的交点得圆心(1,1)， 半径为 2，因此圆的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4 .] 5. 与圆有关的最值问题的常见解法 (1)形如μ＝y－b x－a 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． (2)形如 t＝ax＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题． (3)形如(x－a)2＋(y－b)2 形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问 题． 例 3. 已知实数 x, y 满足方程 x2＋y2－4x＋1＝0． (1)求y x 的最大值和最小值； (2)求 y－x 的最大值和最小值． 解 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心， 3为半径的圆． (1) y x 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y x ＝k，即 y＝kx． 当直线 y＝kx 与圆相切时，斜率 k 取得最大值或最小值，此时|2k－0| k2＋1 ＝ 3，解得 k＝ ± 3(如图 1)． 所以y x 的最大值为 3，最小值为－ 3． 图 1 图 2 (2)y－x 可看作是直线 y＝x＋b 在 y 轴上的截距，当直线 y＝x＋b 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b| 2 ＝ 3，解得 b＝－2± 6(如图 2)． 所以 y－x 的最大值为－2＋ 6，最小值为－2－ 6． [变式探究] 在本例条件下，求 x2＋y2 的最大值和最小值． 解 x2＋y2 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与 圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图)． 又圆心到原点的距离为 2－02＋0－02＝2， 所以 x2＋y2 的最大值是(2＋ 3)2＝7＋4 3，x2＋y2 的最小值是(2－ 3)2＝7－4 3． 练习. 已知圆 C：(x－3)2＋(y－4)2＝1 和两点 A(－m,0)，B(m,0)(m>0)．若圆 C 上存在 点 P，使得∠APB＝90°，则 m 的最大值为( ) A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B [由(x－3)2＋(y－4)2＝1，知圆上点 P(x0，y0)可化为 x0＝3＋cos θ， y0＝4＋sin θ. ∵∠APB＝90°，即AP→ ·BP→＝0， ∴(x0＋m)(x0－m)＋y2 0＝0， ∴m2 ＝x 2 0 ＋y 2 0 ＝26＋6cos θ＋8sin θ＝26＋10sin(θ＋φ)≤36(其中 tanφ＝3 4 )，∴ 0